1. 判定直角三角形全等的“HL”定理
斜边和一条直角边分别的两个直角三角形全等.

1. 相等

【分析】
本题考查直角三角形全等“HL”定理的基础概念识记，解题思路为回忆教材中HL定理的完整表述即可：HL是直角三角形特有的全等判定规则，区别于一般三角形的全等判定，其核心表述明确了两个直角三角形只要满足斜边和一条直角边分别对应相等，就可判定全等，据此就能直接得出空缺处的内容。
【解析】
根据直角三角形全等“HL”定理的标准定义：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，因此空缺处应填入“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
HL定理；全等三角形判定
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，主要检验对教材核心定理的记忆熟练度，掌握教材中的基础定理内容是解答这类题的核心。
【难度系数】
0.9

【例1】如图，已知$AD⊥ BE$，垂足$C$是$BE$的中点，$AB=DE$. 求证: $\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC$.

证明:因为$AD⊥BE$,所以$∠ACB=∠DCE=90°$.
因为$C$是$BE$的中点,所以$BC=CE$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEC$中,$\begin{cases} AB=DE,\\ BC=EC, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEC(\mathrm{HL}).$

【分析】
本题要求证明两个直角三角形全等，可按以下思路推导：首先，由$AD⊥ BE$的条件可确定$△ ABC$和$△ DEC$都是直角三角形，直角三角形全等可通过HL定理判定；其次，HL定理需要斜边和一条直角边对应相等，题目已经给出斜边$AB=DE$，只需再找到一组对应直角边相等即可；最后，结合$C$是$BE$中点的条件，根据中点的定义能得到直角边$BC=EC$，刚好满足HL定理的判定条件，即可完成全等证明。
【解析】
证明：因为$AD⊥BE$，所以$∠ ACB=∠ DCE=90°$。
因为$C$是$BE$的中点，所以$BC=CE$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEC$中，
$\begin{cases} AB=DE\\ BC=EC \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEC(\mathrm{HL})$。
【答案】
证明:因为$AD⊥BE$,所以$∠ACB=∠DCE=90°$.
因为$C$是$BE$的中点,所以$BC=CE$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEC$中,$\begin{cases} AB=DE,\\ BC=EC, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEC(\mathrm{HL}).$
【知识点】
HL定理；中点的定义；垂直的定义
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础题型，解题关键是从题干中提取垂直、中点的隐含条件，结合已知等边，选择匹配的全等判定定理即可完成证明。
【难度系数】
0.9

【变式1】如图，已知$∠ ACB=∠ DBC=90°$，要根据“HL”证明$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DCB$，应添加的直接条件是。
【变式2】如图，点$E,F$在$BC$上，$AE⊥ BC$于点$E$，$DF⊥ BC$于点$F$，$AC = DB$，$BE=CF$.求证:$AC// BD$。

【变式1】 AB=CD
【变式2】 证明:因为$BE=CF$,
所以$BE+EF=CF+EF$,即$BF=CE$.
因为$AE⊥BC,DF⊥BC$,所以$∠AEC=∠DFB=90°$.
在$\mathrm{Rt}△AEC$和$\mathrm{Rt}△DFB$中,$\begin{cases} AC=DB,\\ CE=BF, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△AEC≌\mathrm{Rt}△DFB(\mathrm{HL}),$
所以$∠ACE=∠DBF$,所以$AC// BD.$

【分析】
变式1解题思路：首先明确“HL”判定定理的核心是斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。先梳理已知条件：Rt△ABC和Rt△DCB有公共直角边BC，已经满足一组直角边相等，因此只需添加斜边对应相等即可符合HL判定要求。
变式2解题思路：要证AC//BD，根据平行线判定规则，需证内错角∠ACE=∠DBF，因此需证明两个角所在的Rt△AEC和Rt△DFB全等。已知AC=DB，结合BE=CF可通过线段和的性质推出CE=BF，刚好满足HL全等的条件，证得全等后即可得到对应角相等，进而推导平行。
【解析】
变式1
已知∠ACB=∠DBC=90°，则△ABC、△DCB均为直角三角形，且公共边BC是两个三角形共有的直角边，即BC=CB。根据HL判定定理，补充斜边相等的条件AB=CD，即可证明Rt△ABC≌Rt△DCB。
变式2
证明：
$\because BE=CF$，
$\therefore BE+EF=CF+EF$（等式的性质），即$BF=CE$。
$\because AE⊥ BC,DF⊥ BC$，
$\therefore ∠ AEC=∠ DFB=90°$（垂直的定义），△AEC和△DFB均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△AEC$和$\mathrm{Rt}△DFB$中，
$\begin{cases} AC=DB（已知）\\ CE=BF（已证） \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△AEC≌\mathrm{Rt}△DFB(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ ACE=∠ DBF$（全等三角形对应角相等），
$\therefore AC// BD$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
【变式1】$\boldsymbol{AB=CD}$
【变式2】证明过程如上，$AC// BD$得证。
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 平行线的判定
【点评】
本组题围绕直角三角形HL判定定理展开考查，变式1侧重对HL判定条件的基础理解，要求能准确区分直角三角形的斜边和直角边；变式2是全等与平行线证明的综合应用题，解题关键是通过线段和差推导得到等边，逐步梳理逻辑链条完成证明，是几何基础证明的典型题型。
【难度系数】
0.7

【例2】如图，在$△ ABC$中，$∠ B＝90°$，$AD$为$∠ BAC$的平分线，$DF⊥ AC$于点$F$，$DE＝DC$，那么$BE＝FC$吗？请说明理由.

解:$BE=FC$. 理由如下：
因为$AD$为$∠BAC$的平分线,所以$∠BAD=∠CAD$.
因为$DF⊥AC$,所以$∠AFD=90°$.
又因为$∠B=90°$,所以$∠B=∠AFD$.
在$△ABD$和$△AFD$中,$\begin{cases} ∠B=∠AFD,\\ ∠BAD=∠FAD,\\ AD=AD, \end{cases}$
所以$△ABD≌△AFD(\mathrm{AAS}),$
所以$BD=FD$.
在$\mathrm{Rt}△BDE$和$\mathrm{Rt}△FDC$中,$\begin{cases} DE=DC,\\ BD=FD, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△BDE≌\mathrm{Rt}△FDC(\mathrm{HL}),$
所以$BE=FC.$

【分析】
要证明$BE=FC$，先观察两条线段所属的三角形：$BE$在$\mathrm{Rt}△BDE$中，$FC$在$\mathrm{Rt}△FDC$中，已知$DE=DC$，只要证明两个直角三角形的另一条直角边$BD=FD$，就可通过HL判定两三角形全等，得到对应边$BE=FC$。接下来推导$BD=FD$：已知$AD$是$∠ BAC$的平分线，$∠ B$和$∠ AFD$均为直角，结合公共边$AD$，可通过AAS证明$△ABD≌△AFD$，即可得到$BD=FD$，完成证明。
【解析】
解：$BE=FC$，理由如下：
因为$AD$为$∠ BAC$的平分线，所以$∠ BAD=∠ CAD$。
因为$DF⊥AC$，所以$∠ AFD=90°$。
又因为$∠ B=90°$，所以$∠ B=∠ AFD$。
在$△ABD$和$△AFD$中，
$\begin{cases}∠B=∠AFD,\\∠BAD=∠FAD,\\AD=AD,\end{cases}$
所以$△ABD≌△AFD(\mathrm{AAS})$，
所以$BD=FD$。
在$\mathrm{Rt}△BDE$和$\mathrm{Rt}△FDC$中，
$\begin{cases}DE=DC,\\BD=FD,\end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△BDE≌\mathrm{Rt}△FDC(\mathrm{HL})$，
所以$BE=FC$。
【答案】
$BE=FC$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定、HL定理
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，可采用逆推思路解题，从待证的边相等出发，逐步反推需要的全等条件，再结合已知条件正向推导验证，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7