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一、与勾股定理有关的面积问题
1. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和其中一条直角边长分别是13，12，则图中阴影部分的面积是（
A.16
B.25
C.144
D.169
1. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和其中一条直角边长分别是13，12，则图中阴影部分的面积是（
B
）A.16
B.25
C.144
D.169
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：阴影部分为两个正方形，它们的边长对应左侧小直角三角形的两条直角边，该小直角三角形的斜边恰好是中间正方形的边长，也就是右侧大直角三角形的未知直角边。根据勾股定理，两个阴影正方形的面积和等于小直角三角形斜边的平方，因此只需要先求出右侧大直角三角形的未知直角边的平方，即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
首先计算右侧大直角三角形的未知直角边的平方：
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知大直角三角形斜边为13，一条直角边为12，设另一条直角边为x，则：
$x^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$
再看左侧图形：设两个阴影正方形的边长分别为a、b，夹在两个阴影正方形和中间正方形之间的直角三角形的斜边为x（即中间正方形的边长），根据勾股定理可得$a^2 + b^2 = x^2$。
其中$a^2$、$b^2$分别是两个阴影正方形的面积，因此阴影部分总面积为$a^2 + b^2 = x^2 = 25$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与面积结合的基础题型，解题核心是利用勾股定理将两个阴影正方形的面积和转化为直角三角形斜边的平方，无需单独计算每个阴影正方形的面积，通过整体思想即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：阴影部分为两个正方形，它们的边长对应左侧小直角三角形的两条直角边，该小直角三角形的斜边恰好是中间正方形的边长，也就是右侧大直角三角形的未知直角边。根据勾股定理，两个阴影正方形的面积和等于小直角三角形斜边的平方，因此只需要先求出右侧大直角三角形的未知直角边的平方，即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
首先计算右侧大直角三角形的未知直角边的平方：
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知大直角三角形斜边为13，一条直角边为12，设另一条直角边为x，则：
$x^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$
再看左侧图形：设两个阴影正方形的边长分别为a、b，夹在两个阴影正方形和中间正方形之间的直角三角形的斜边为x（即中间正方形的边长），根据勾股定理可得$a^2 + b^2 = x^2$。
其中$a^2$、$b^2$分别是两个阴影正方形的面积，因此阴影部分总面积为$a^2 + b^2 = x^2 = 25$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与面积结合的基础题型，解题核心是利用勾股定理将两个阴影正方形的面积和转化为直角三角形斜边的平方，无需单独计算每个阴影正方形的面积，通过整体思想即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形.若$S_1 + S_4 = 125, S_3 = 46$,则$S_2=$（
A.171
B.79
C.100
D.81
B
）A.171
B.79
C.100
D.81
答案
2. B
解析
【分析】
首先明确正方形的面积等于其边长的平方，因此四个正方形的面积可分别对应四边形ABCD四条边长的平方。观察到四边形存在两个直角∠DAB和∠BCD，可通过连接辅助线BD，构造Rt△ABD和Rt△BCD两个直角三角形，再利用勾股定理分别表示出两个直角三角形三边的平方关系，结合BD是两个三角形的公共斜边，即可建立四个正方形面积之间的等量关系，代入已知数值就能求出S₂的值。
【解析】
连接BD，
在Rt△ABD中，∠DAB=90°，由勾股定理得：$AB^2 + AD^2 = BD^2$，
∵ 正方形面积等于边长的平方，$S_1=AB^2$，$S_4=AD^2$，
∴ $S_1 + S_4 = BD^2$；
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理得：$BC^2 + CD^2 = BD^2$，
∵ $S_2=BC^2$，$S_3=CD^2$，
∴ $S_2 + S_3 = BD^2$；
联立可得 $S_1 + S_4 = S_2 + S_3$，
将$S_1 + S_4 = 125$，$S_3=46$代入得：$125 = S_2 + 46$，
解得 $S_2=125-46=79$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的常规应用题型，核心是通过作辅助线构造直角三角形，将正方形面积与勾股定理中的边长平方关系结合，建立面积等量关系即可快速求解，侧重考察学生对勾股定理的灵活运用能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.7
首先明确正方形的面积等于其边长的平方，因此四个正方形的面积可分别对应四边形ABCD四条边长的平方。观察到四边形存在两个直角∠DAB和∠BCD，可通过连接辅助线BD，构造Rt△ABD和Rt△BCD两个直角三角形，再利用勾股定理分别表示出两个直角三角形三边的平方关系，结合BD是两个三角形的公共斜边，即可建立四个正方形面积之间的等量关系，代入已知数值就能求出S₂的值。
【解析】
连接BD，
在Rt△ABD中，∠DAB=90°，由勾股定理得：$AB^2 + AD^2 = BD^2$，
∵ 正方形面积等于边长的平方，$S_1=AB^2$，$S_4=AD^2$，
∴ $S_1 + S_4 = BD^2$；
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理得：$BC^2 + CD^2 = BD^2$，
∵ $S_2=BC^2$，$S_3=CD^2$，
∴ $S_2 + S_3 = BD^2$；
联立可得 $S_1 + S_4 = S_2 + S_3$，
将$S_1 + S_4 = 125$，$S_3=46$代入得：$125 = S_2 + 46$，
解得 $S_2=125-46=79$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的常规应用题型，核心是通过作辅助线构造直角三角形，将正方形面积与勾股定理中的边长平方关系结合，建立面积等量关系即可快速求解，侧重考察学生对勾股定理的灵活运用能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.7
3.如图,在直线$l$上依次摆放着七个正方形.已知斜放置的三个正方形的面积分别是$a$,$b$,$c$,正放置的四个正方形的面积依次是$S_1$,$S_2$,$S_3$,$S_4$,则$S_1+S_2+S_3+S_4=$
a+c
.答案
3. a+c
解析
【分析】
观察图形可知，斜放的正方形两侧各有一个全等的直角三角形，我们可以结合全等三角形的性质和勾股定理，推导斜放正方形面积和相邻两个正放正方形面积的关系：斜放正方形的面积等于其相邻两个正放正方形的面积之和，由此分别得到$S_1+S_2$、$S_3+S_4$与斜放正方形面积的关系，相加即可得到四个正放正方形的面积和。
【解析】
1. 分析面积为$a$的斜放正方形：
它与$S_1$、$S_2$之间的两个直角三角形，斜边均为面积为$a$的正方形的边长，且两个锐角满足同角的余角相等，因此两个三角形全等（AAS），可得两个直角三角形的直角边长度分别等于$S_1$、$S_2$的边长。
根据勾股定理，面积为$a$的正方形的边长的平方$=S_1$的边长$^2+S_2$的边长$^2$，而正方形面积等于边长平方，因此有$\boldsymbol{S_1+S_2=a}$。
2. 同理分析面积为$c$的斜放正方形：
可得它相邻的两个正放正方形面积满足$\boldsymbol{S_3+S_4=c}$。
3. 将两个等式相加：
$S_1+S_2+S_3+S_4=a+c$。
【答案】
$a+c$
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理结合几何图形的典型应用题，解题核心是通过全等三角形完成边长的转化，再利用勾股定理建立不同正方形面积间的数量关系，巧妙避开了对中间未知量的计算。
【难度系数】
0.7
观察图形可知，斜放的正方形两侧各有一个全等的直角三角形，我们可以结合全等三角形的性质和勾股定理，推导斜放正方形面积和相邻两个正放正方形面积的关系：斜放正方形的面积等于其相邻两个正放正方形的面积之和，由此分别得到$S_1+S_2$、$S_3+S_4$与斜放正方形面积的关系，相加即可得到四个正放正方形的面积和。
【解析】
1. 分析面积为$a$的斜放正方形：
它与$S_1$、$S_2$之间的两个直角三角形，斜边均为面积为$a$的正方形的边长，且两个锐角满足同角的余角相等，因此两个三角形全等（AAS），可得两个直角三角形的直角边长度分别等于$S_1$、$S_2$的边长。
根据勾股定理，面积为$a$的正方形的边长的平方$=S_1$的边长$^2+S_2$的边长$^2$，而正方形面积等于边长平方，因此有$\boldsymbol{S_1+S_2=a}$。
2. 同理分析面积为$c$的斜放正方形：
可得它相邻的两个正放正方形面积满足$\boldsymbol{S_3+S_4=c}$。
3. 将两个等式相加：
$S_1+S_2+S_3+S_4=a+c$。
【答案】
$a+c$
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理结合几何图形的典型应用题，解题核心是通过全等三角形完成边长的转化，再利用勾股定理建立不同正方形面积间的数量关系，巧妙避开了对中间未知量的计算。
【难度系数】
0.7
二、与勾股定理有关的梯子滑动问题
4.综合实践
【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场.如图，已知一架长25 m的云梯AB斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离OB=20 m，∠AOB=90°.
【独立思考】
(1)求这架云梯顶部距离地面的高度OA.
【深入探究】
(2)消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到A'位置上(云梯长度不改变)，则底部B沿水平方向向右滑动到B'位置上，若AA'=8 m，求BB'的长度.
【问题解决】
(3)在演练中，墙边距地面24 m的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员.经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙脚的距离不小于云梯长度的$\frac{1}{5}$，则云梯和消防员相对安全.在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24 m高的窗口去救援被困人员？
4.综合实践
【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场.如图，已知一架长25 m的云梯AB斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离OB=20 m，∠AOB=90°.
【独立思考】
(1)求这架云梯顶部距离地面的高度OA.
【深入探究】
(2)消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到A'位置上(云梯长度不改变)，则底部B沿水平方向向右滑动到B'位置上，若AA'=8 m，求BB'的长度.
【问题解决】
(3)在演练中，墙边距地面24 m的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员.经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙脚的距离不小于云梯长度的$\frac{1}{5}$，则云梯和消防员相对安全.在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24 m高的窗口去救援被困人员？
答案
4. 解:(1)在 Rt△OAB 中,AB=25 m,OB=20 m,
$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{25^2-20^2}=15(\mathrm{m}).$
答:这架云梯顶部距离地面的高度 OA 为 15 m.
(2)因为 OA=15 m,AA'=8 m,
所以 OA'=OA-AA'=15-8=7(m).
在 Rt△A'OB' 中,根据勾股定理,得
$OB'=\sqrt{A'B'^2-OA'^2}=\sqrt{25^2-7^2}=24(\mathrm{m}),$
所以 BB'=OB'-OB=24-20=4(m).
答:BB' 的长度为 4 m.
(3)当云梯的顶端到达 24 m 高的窗口时,根据勾股定理,得
云梯的底端距墙脚的距离为 $\sqrt{25^2-24^2}=7(\mathrm{m}),$
因为 $25×\frac{1}{5}=5(\mathrm{m}),7＞5,$
所以在相对安全的前提下,云梯的顶端能到达 24 m 高的窗口去救援被困人员.
$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{25^2-20^2}=15(\mathrm{m}).$
答:这架云梯顶部距离地面的高度 OA 为 15 m.
(2)因为 OA=15 m,AA'=8 m,
所以 OA'=OA-AA'=15-8=7(m).
在 Rt△A'OB' 中,根据勾股定理,得
$OB'=\sqrt{A'B'^2-OA'^2}=\sqrt{25^2-7^2}=24(\mathrm{m}),$
所以 BB'=OB'-OB=24-20=4(m).
答:BB' 的长度为 4 m.
(3)当云梯的顶端到达 24 m 高的窗口时,根据勾股定理,得
云梯的底端距墙脚的距离为 $\sqrt{25^2-24^2}=7(\mathrm{m}),$
因为 $25×\frac{1}{5}=5(\mathrm{m}),7＞5,$
所以在相对安全的前提下,云梯的顶端能到达 24 m 高的窗口去救援被困人员.
解析
【分析】
这是勾股定理在实际场景中的应用问题，解题思路如下：
(1) 第一问中△AOB是直角三角形，已知斜边AB和直角边OB的长度，直接利用勾股定理变形即可求出另一条直角边OA的长度。
(2) 第二问云梯长度不变，即A'B'=AB，先通过线段差计算出下滑后的OA'长度，再在Rt△A'OB'中用勾股定理求出OB'，最后用OB'减去原有OB的长度即可得到BB'的滑动距离。
(3) 第三问先假设云梯顶端到达24m高的窗口，利用勾股定理算出此时云梯底端距墙脚的距离，再和安全距离（云梯长度的$\frac{1}{5}$）对比，若计算值大于等于安全距离则满足安全要求，可以到达。
【解析】
(1) 在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$AB=25\ \mathrm{m}$，$OB=20\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15(\mathrm{m})$。
(2) $\because OA=15\ \mathrm{m}$，$AA'=8\ \mathrm{m}$，
$\therefore OA'=OA-AA'=15-8=7(\mathrm{m})$，
云梯长度不变，故$A'B'=AB=25\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ A'OB'$中，由勾股定理得：
$OB'=\sqrt{A'B'^2-OA'^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24(\mathrm{m})$，
$\therefore BB'=OB'-OB=24-20=4(\mathrm{m})$。
(3) 若云梯顶端到达24m高的窗口，此时顶端距地面高度为24m，云梯长度仍为25m，
由勾股定理得此时底端距墙脚的距离为：
$\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7(\mathrm{m})$，
安全距离为$25×\frac{1}{5}=5(\mathrm{m})$，
$\because 7\mathrm{m}＞5\mathrm{m}$，满足安全要求，
$\therefore$在相对安全的前提下可以到达窗口。
【答案】
(1) 这架云梯顶部距离地面的高度OA为$\boldsymbol{15\ \mathrm{m}}$；
(2) $BB'$的长度为$\boldsymbol{4\ \mathrm{m}}$；
(3) 在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24 m高的窗口去救援被困人员。
【知识点】
勾股定理，线段和差计算，实际问题应用
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的基础应用题，解题核心是抓住梯子滑动过程中长度不变的隐含条件，准确识别直角三角形的对应边长代入计算，第三问考查学生结合条件对比判定的能力，整体注重基础应用。
【难度系数】
0.75
这是勾股定理在实际场景中的应用问题，解题思路如下：
(1) 第一问中△AOB是直角三角形，已知斜边AB和直角边OB的长度，直接利用勾股定理变形即可求出另一条直角边OA的长度。
(2) 第二问云梯长度不变，即A'B'=AB，先通过线段差计算出下滑后的OA'长度，再在Rt△A'OB'中用勾股定理求出OB'，最后用OB'减去原有OB的长度即可得到BB'的滑动距离。
(3) 第三问先假设云梯顶端到达24m高的窗口，利用勾股定理算出此时云梯底端距墙脚的距离，再和安全距离（云梯长度的$\frac{1}{5}$）对比，若计算值大于等于安全距离则满足安全要求，可以到达。
【解析】
(1) 在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$AB=25\ \mathrm{m}$，$OB=20\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15(\mathrm{m})$。
(2) $\because OA=15\ \mathrm{m}$，$AA'=8\ \mathrm{m}$，
$\therefore OA'=OA-AA'=15-8=7(\mathrm{m})$，
云梯长度不变，故$A'B'=AB=25\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ A'OB'$中，由勾股定理得：
$OB'=\sqrt{A'B'^2-OA'^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24(\mathrm{m})$，
$\therefore BB'=OB'-OB=24-20=4(\mathrm{m})$。
(3) 若云梯顶端到达24m高的窗口，此时顶端距地面高度为24m，云梯长度仍为25m，
由勾股定理得此时底端距墙脚的距离为：
$\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7(\mathrm{m})$，
安全距离为$25×\frac{1}{5}=5(\mathrm{m})$，
$\because 7\mathrm{m}＞5\mathrm{m}$，满足安全要求，
$\therefore$在相对安全的前提下可以到达窗口。
【答案】
(1) 这架云梯顶部距离地面的高度OA为$\boldsymbol{15\ \mathrm{m}}$；
(2) $BB'$的长度为$\boldsymbol{4\ \mathrm{m}}$；
(3) 在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24 m高的窗口去救援被困人员。
【知识点】
勾股定理，线段和差计算，实际问题应用
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的基础应用题，解题核心是抓住梯子滑动过程中长度不变的隐含条件，准确识别直角三角形的对应边长代入计算，第三问考查学生结合条件对比判定的能力，整体注重基础应用。
【难度系数】
0.75
