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7.(宜春模拟)如图,已知C是线段BD上的一点,∠B=∠D=90°,若AB=4,BC=3,CD=8,DE=6,AE²=125.
(1)求AC,CE的长;
(2)求证:∠ACE=90°.
(1)求AC,CE的长;
(2)求证:∠ACE=90°.
答案
7. (1) 解:因为在 $Rt△ABC$ 中,$∠B=90°,AB=4,BC=3$,
所以 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
因为在 $Rt△EDC$ 中,$∠D=90°,CD=8,DE=6$,
所以 $CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$.
(2) 证明:因为 $AC^2=25,CE^2=100,AE^2=125$,
所以 $AE^2=AC^2+CE^2$,
所以$△ACE$ 为直角三角形,$∠ACE=90°$.
所以 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
因为在 $Rt△EDC$ 中,$∠D=90°,CD=8,DE=6$,
所以 $CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$.
(2) 证明:因为 $AC^2=25,CE^2=100,AE^2=125$,
所以 $AE^2=AC^2+CE^2$,
所以$△ACE$ 为直角三角形,$∠ACE=90°$.
解析
【分析】
(1) 求解AC、CE的长度时，观察图形可知△ABC和△CDE均为直角三角形，且已知两个直角三角形的直角边长，因此可直接用勾股定理计算斜边长度。
(2) 要证明∠ACE=90°，本质是判定△ACE为直角三角形，已知AE²的数值，结合第(1)问求出的AC、CE的长度，可验证AC²与CE²的和是否等于AE²，若相等即可通过勾股定理的逆定理得出∠ACE为直角。
【解析】
(1) 解：在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=4$，$BC=3$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$。
在$Rt△ EDC$中，$∠ D=90°$，$CD=8$，$DE=6$，
由勾股定理得：$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
(2) 证明：$\because AC=5,CE=10$，
$\therefore AC^2=25,CE^2=100$，
又$\because AE^2=125$，
$\therefore AC^2+CE^2=25+100=125=AE^2$，
$\therefore △ ACE$是直角三角形，且AE为斜边，
$\therefore ∠ ACE=90°$。
【答案】
(1) $AC=5$，$CE=10$；
(2) $∠ ACE=90°$，证明成立。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题侧重考查勾股定理和逆定理的基础应用，需明确两个定理的适用条件：勾股定理用于直角三角形的边长计算，逆定理用于通过三边关系判定三角形是否为直角三角形，熟练掌握两个定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求解AC、CE的长度时，观察图形可知△ABC和△CDE均为直角三角形，且已知两个直角三角形的直角边长，因此可直接用勾股定理计算斜边长度。
(2) 要证明∠ACE=90°，本质是判定△ACE为直角三角形，已知AE²的数值，结合第(1)问求出的AC、CE的长度，可验证AC²与CE²的和是否等于AE²，若相等即可通过勾股定理的逆定理得出∠ACE为直角。
【解析】
(1) 解：在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=4$，$BC=3$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$。
在$Rt△ EDC$中，$∠ D=90°$，$CD=8$，$DE=6$，
由勾股定理得：$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
(2) 证明：$\because AC=5,CE=10$，
$\therefore AC^2=25,CE^2=100$，
又$\because AE^2=125$，
$\therefore AC^2+CE^2=25+100=125=AE^2$，
$\therefore △ ACE$是直角三角形，且AE为斜边，
$\therefore ∠ ACE=90°$。
【答案】
(1) $AC=5$，$CE=10$；
(2) $∠ ACE=90°$，证明成立。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题侧重考查勾股定理和逆定理的基础应用，需明确两个定理的适用条件：勾股定理用于直角三角形的边长计算，逆定理用于通过三边关系判定三角形是否为直角三角形，熟练掌握两个定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8.如图,三个正方形的面积分别为$S_1,S_2,S_3$,且K是AB的中点.若$S_1=18,S_2=7,S_3=25$,则CK的长为 （
A.$\frac{5}{2}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\frac{7}{2}$
D.5
A
）A.$\frac{5}{2}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\frac{7}{2}$
D.5
答案
8. A
解析
【分析】
解题时先从正方形面积与边长的关系入手，先得到△ABC三边的平方，利用勾股定理逆定理判断△ABC的形状，再结合直角三角形斜边中线的性质即可求出CK的长度。
【解析】
1. 根据正方形的面积等于边长的平方，可得：
$AC^2=S_1=18$，$BC^2=S_2=7$，$AB^2=S_3=25$。
2. 验证三边平方的关系：$AC^2+BC^2=18+7=25=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ACB$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
3. 已知K是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$CK=\frac{1}{2}AB$。
4. 计算AB的长度：$AB=\sqrt{S_3}=\sqrt{25}=5$，因此$CK=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形斜边中线的性质、正方形的性质
【点评】
本题是基础综合题，将正方形性质和直角三角形的相关性质结合考查，解题的关键是先判断出$△ ABC$为直角三角形，再代入性质计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时先从正方形面积与边长的关系入手，先得到△ABC三边的平方，利用勾股定理逆定理判断△ABC的形状，再结合直角三角形斜边中线的性质即可求出CK的长度。
【解析】
1. 根据正方形的面积等于边长的平方，可得：
$AC^2=S_1=18$，$BC^2=S_2=7$，$AB^2=S_3=25$。
2. 验证三边平方的关系：$AC^2+BC^2=18+7=25=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ACB$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
3. 已知K是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$CK=\frac{1}{2}AB$。
4. 计算AB的长度：$AB=\sqrt{S_3}=\sqrt{25}=5$，因此$CK=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形斜边中线的性质、正方形的性质
【点评】
本题是基础综合题，将正方形性质和直角三角形的相关性质结合考查，解题的关键是先判断出$△ ABC$为直角三角形，再代入性质计算即可。
【难度系数】
0.7
9.已知a,b,c是一个三角形的三条边，且满足$|a-2|+(b-\sqrt{13})^2+\sqrt{c-3}=0$，则这个三角形的面积是
3
。答案
9. 3
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值、偶次幂、算术平方根均为非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。据此可先求出三角形三边a、b、c的长度；再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，直接用直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：
∵ $|a-2|≥0$，$(b-\sqrt{13})^2≥0$，$\sqrt{c-3}≥0$，且三者的和为0
∴ 每个非负项的值都为0，即：
$\begin{cases}a-2=0 \\b-\sqrt{13}=0 \\c-3=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\b=\sqrt{13} \\c=3\end{cases}$
接下来验证三角形形状：
计算较短两边的平方和：$a^2 + c^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$
最长边的平方：$b^2 = (\sqrt{13})^2 =13$
∴ $a^2 + c^2 = b^2$，根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，且直角边为a=2、c=3
∴ 三角形的面积 = $\frac{1}{2}×2×3 = 3$
【答案】
3
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是先利用非负数的性质求出三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，进而计算面积，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值、偶次幂、算术平方根均为非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。据此可先求出三角形三边a、b、c的长度；再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，直接用直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：
∵ $|a-2|≥0$，$(b-\sqrt{13})^2≥0$，$\sqrt{c-3}≥0$，且三者的和为0
∴ 每个非负项的值都为0，即：
$\begin{cases}a-2=0 \\b-\sqrt{13}=0 \\c-3=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\b=\sqrt{13} \\c=3\end{cases}$
接下来验证三角形形状：
计算较短两边的平方和：$a^2 + c^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$
最长边的平方：$b^2 = (\sqrt{13})^2 =13$
∴ $a^2 + c^2 = b^2$，根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，且直角边为a=2、c=3
∴ 三角形的面积 = $\frac{1}{2}×2×3 = 3$
【答案】
3
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是先利用非负数的性质求出三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，进而计算面积，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
10. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端天气，有极强的破坏力. 如图，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为海港，并且AC＝300 km，BC＝400 km，又AB＝500 km，以台风中心为圆心，周围250 km以内为受影响区域.
(1)求∠ACB的度数.
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(1)求∠ACB的度数.
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
答案
10. 解:(1) 因为 $AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km}$,
所以 $AC^2+BC^2=AB^2$,
所以$△ABC$ 是直角三角形,$∠ACB=90°$.
(2) 海港C受台风影响.
理由:如图,过点 C 作 $CD⊥AB$,
因为$△ABC$ 是直角三角形,
所以 $AC×BC=CD×AB$,
所以 $300×400=500×CD$,
所以 $CD=240\ \mathrm{km}$.
因为以台风中心为圆心,周围 250 km 以内为受影响区域,
所以海港 C 受台风影响.
解析
【分析】
(1) 已知△ABC的三边长度，观察到300、400、500是常见勾股数，可通过勾股定理的逆定理验证三边是否满足“两边平方和等于第三边平方”，若满足即可判定△ABC为直角三角形，得到∠ACB的度数。
(2) 判断海港C是否受台风影响，本质是比较点C到台风移动路径AB的最短距离与250km的大小关系：点到直线的最短距离是垂线段长度，因此过C作AB的垂线段CD，求出CD的长度后与250km比较即可。求CD长度时，可利用直角三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、底乘高的一半）列等式求解。
【解析】
(1) 已知$AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km}$，
计算可得$AC^2+BC^2=300^2+400^2=250000$，$AB^2=500^2=250000$，
因此$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
(2) 过点C作$CD⊥ AB$，垂足为D。
因为$△ ABC$是直角三角形，其面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
因此$AC· BC=CD· AB$，代入数值得$300×400=500× CD$，
解得$CD=\frac{300×400}{500}=240\ \mathrm{km}$。
因为$240\ \mathrm{km}＜250\ \mathrm{km}$，即C到AB的最短距离在台风影响范围内，所以海港C受台风影响。
【答案】
(1) 因为 $AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km}$,
所以 $AC^2+BC^2=AB^2$,
所以$△ ABC$ 是直角三角形,$∠ ACB=90°$.
(2) 海港C受台风影响.
理由:如图,过点 C 作 $CD⊥AB$,
因为$△ ABC$ 是直角三角形,
所以 $AC×BC=CD×AB$,
所以 $300×400=500×CD$,
所以 $CD=240\ \mathrm{km}$.
因为以台风中心为圆心,周围 250 km 以内为受影响区域,
所以海港 C 受台风影响.
【知识点】
勾股定理的逆定理，点到直线的距离，直角三角形面积计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的应用，需要学会将实际问题转化为数学问题求解，解题核心是掌握直角三角形的判定方法，以及用面积法求直角三角形斜边上高的技巧。
【难度系数】
0.8
(1) 已知△ABC的三边长度，观察到300、400、500是常见勾股数，可通过勾股定理的逆定理验证三边是否满足“两边平方和等于第三边平方”，若满足即可判定△ABC为直角三角形，得到∠ACB的度数。
(2) 判断海港C是否受台风影响，本质是比较点C到台风移动路径AB的最短距离与250km的大小关系：点到直线的最短距离是垂线段长度，因此过C作AB的垂线段CD，求出CD的长度后与250km比较即可。求CD长度时，可利用直角三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、底乘高的一半）列等式求解。
【解析】
(1) 已知$AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km}$，
计算可得$AC^2+BC^2=300^2+400^2=250000$，$AB^2=500^2=250000$，
因此$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
(2) 过点C作$CD⊥ AB$，垂足为D。
因为$△ ABC$是直角三角形，其面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
因此$AC· BC=CD· AB$，代入数值得$300×400=500× CD$，
解得$CD=\frac{300×400}{500}=240\ \mathrm{km}$。
因为$240\ \mathrm{km}＜250\ \mathrm{km}$，即C到AB的最短距离在台风影响范围内，所以海港C受台风影响。
【答案】
(1) 因为 $AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km}$,
所以 $AC^2+BC^2=AB^2$,
所以$△ ABC$ 是直角三角形,$∠ ACB=90°$.
(2) 海港C受台风影响.
理由:如图,过点 C 作 $CD⊥AB$,
因为$△ ABC$ 是直角三角形,
所以 $AC×BC=CD×AB$,
所以 $300×400=500×CD$,
所以 $CD=240\ \mathrm{km}$.
因为以台风中心为圆心,周围 250 km 以内为受影响区域,
所以海港 C 受台风影响.
【知识点】
勾股定理的逆定理，点到直线的距离，直角三角形面积计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的应用，需要学会将实际问题转化为数学问题求解，解题核心是掌握直角三角形的判定方法，以及用面积法求直角三角形斜边上高的技巧。
【难度系数】
0.8
