【变式1】(江门模拟)如图，在P港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东$60°$的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2 h后甲船到达A岛，乙船到达B岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向是（）

A.南偏东$30°$
B.南偏东$40°$
C.南偏东$50°$
D.南偏东$60°$

A

【分析】
解题时先根据“路程=速度×时间”分别求出PA、PB的长度，再结合AB的长度，利用勾股定理的逆定理判断△PAB的形状，得到∠APB的度数，最后结合方位角的角度关系，就能求出乙船的航行方向。
【解析】
由题意得：
甲船航行的路程 $PA=8×2=16$（海里），
乙船航行的路程 $PB=15×2=30$（海里），
已知 $AB=34$ 海里，
计算得：$PA^2+PB^2=16^2+30^2=256+900=1156$，$AB^2=34^2=1156$，
$\therefore PA^2+PB^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ PAB$ 是直角三角形，且 $∠ APB=90°$。
$\because$ 甲船沿北偏东$60°$方向航行，即正北方向与$PA$的夹角为$60°$，正北、正南方向在同一直线上，
$\therefore$ 正南方向与$PB$的夹角为 $180°-90°-60°=30°$，即乙船航行方向为南偏东$30°$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；方位角应用；路程计算
【点评】
本题是几何知识在实际航行问题中的应用，核心是通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，再结合方位角的角度关系求解，是勾股定理逆定理的典型应用题型。
【难度系数】
0.7

【变式2】如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD.现计划在该空地上种植草皮，经测量$∠ ADC=90°,CD=3\ \mathrm{m},AD=4\ \mathrm{m},BC=12\ \mathrm{m},AB=13\ \mathrm{m}$.若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？

解:如图,连接 AC.

在$Rt△ACD$ 中,
因为 $CD=3\ \mathrm{m},AD=4\ \mathrm{m}$,
所以 $AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=5(\mathrm{m})$.
又因为 $BC=12\ \mathrm{m},AB=13\ \mathrm{m}$,
所以 $AC^2+BC^2=AB^2$,
所以 $∠ACB=90°$,
所以 $S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ACB}-S_{△ACD}=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×3×4=24(\mathrm{m}^2)$,
所以共需 $24×200=4800$(元).

【分析】
要计算种植草皮的总费用，需先求出四边形ABCD的面积。该四边形是不规则图形，无法直接计算面积，因此通过添加辅助线转化为三角形问题求解：①连接AC，在Rt△ADC中，已知直角边AD、CD的长度，可利用勾股定理求出斜边AC的长；②得到AC长度后，结合已知的BC、AB的长度，利用勾股定理的逆定理可判断△ACB为直角三角形；③结合图形可知，四边形ABCD的面积等于Rt△ACB的面积减去Rt△ACD的面积；④最后用总面积乘每平方米草皮的价格，即可得到总费用。
【解析】
解：如图，连接AC。
在$Rt△ ACD$中，
因为 $CD=3\ \mathrm{m},AD=4\ \mathrm{m}$，
所以 $AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{m})$。
又因为 $BC=12\ \mathrm{m},AB=13\ \mathrm{m}$，
所以 $AC^2+BC^2=5^2+12^2=169$，$AB^2=13^2=169$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，
所以 $∠ ACB=90°$，$△ ACB$为直角三角形。
因此四边形ABCD的面积为：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ACB}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×3×4=30-6=24(\mathrm{m}^2)$
总费用为：$24×200=4800$（元）
【答案】
在该空地上种植草皮共需4800元。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理相关的实际应用问题，解题关键是通过添加辅助线将不规则四边形的面积转化为两个直角三角形的面积差求解，解题时要注意结合图形判断面积的和差关系，避免误算为面积和。
【难度系数】
0.7

1. 在$△ ABC$中，若$AC^2 - BC^2 = AB^2$，则（）

A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=90°$
C.$∠ C=90°$
D.$△ ABC$不是直角三角形

1. B

【分析】
解题时先回忆勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，且最长边所对的角为直角。第一步先对题干给出的三边平方关系变形，确定哪条边是最长边（斜边）；第二步找到斜边对应的角，即可确定直角的位置。
【解析】
已知在$△ ABC$中，$AC^2 - BC^2 = AB^2$，
对等式移项可得：$AC^2 = AB^2 + BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可判定$△ ABC$是直角三角形，且最长边（斜边）为$AC$，
又因为直角三角形中斜边对应的角为直角，边$AC$所对的角为$∠ B$，
因此$∠ B=90°$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形边角对应关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查勾股定理逆定理的使用，解题关键是先通过等式变形确定斜边，再结合斜边对应直角的规律判断直角位置，掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是 （）

A.4,5,6
B.1,1,$\sqrt{2}$
C.6,8,11
D.5,12,23

2. B

【分析】
要判断各组数能否构成直角三角形，核心依据是勾股定理的逆定理：如果三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。解题时对每个选项按三步操作：①找出三个数中的最长边；②计算两条较短边的平方和、最长边的平方；③比较两个结果是否相等，相等即可构成直角三角形，反之则不能。
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐一验证选项：
A选项：三边长为4，5，6，最长边为6
较短边平方和：$4^2+5^2=16+25=41$，最长边平方：$6^2=36$
$41≠36$，不能构成直角三角形，排除；
B选项：三边长为1，1，$\sqrt{2}$，最长边为$\sqrt{2}$
较短边平方和：$1^2+1^2=1+1=2$，最长边平方：$(\sqrt{2})^2=2$
$2=2$，满足勾股定理逆定理，可以构成直角三角形；
C选项：三边长为6，8，11，最长边为11
较短边平方和：$6^2+8^2=36+64=100$，最长边平方：$11^2=121$
$100≠121$，不能构成直角三角形，排除；
D选项：三边长为5，12，23，$5+12=17＜23$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、平方运算、三角形三边关系
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础考查题，解题时需注意优先确定最长边再验证平方和关系，部分不符合三角形三边关系的选项可直接快速排除，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.85

3. 在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（）

3. C

【分析】
要判断网格中的三角形是否为直角三角形，可使用勾股定理的逆定理：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题思路如下：①设每个小正方形边长为1，利用勾股定理分别计算四个选项中三角形三条边的平方；②对每个三角形的三边平方进行验证，判断是否满足两边平方和等于第三边的平方，满足条件的即为直角三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，结合勾股定理计算各三角形三边的平方：
选项A：三边长的平方分别为$1^2+2^2=5$、$1^2+2^2=5$、$2^2=4$，验证得$5+4≠5$、$5+5≠4$，不是直角三角形；
选项B：三边长的平方分别为$1^2+2^2=5$、$1^2+3^2=10$、$1^2+4^2=17$，验证得$5+10≠17$，不是直角三角形；
选项C：三边长的平方分别为$1^2+3^2=10$、$1^2+3^2=10$、$2^2+4^2=20$，验证得$10+10=20$，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
选项D：三边长的平方分别为$1^2+3^2=10$、$2^2+2^2=8$、$1^2+3^2=10$，验证得$8+10≠10$，不是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查网格中直角三角形的判定，解题核心是准确计算线段长度的平方，再结合逆定理判断，计算时要注意找准线段对应的横向、纵向格数差，避免因计数错误失分。
【难度系数】
0.7

4.(西安模拟)在$△ ABC$中，$AB=17$，$BC=8$，$AC=15$，则$△ ABC$的面积为（）

A.60
B.30
C.65
D.78

4. A

【分析】
已知三角形三边长度求面积，首先可利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形：先找出最长边，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若满足则为直角三角形，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
第一步：比较三边长度，确定最长边
∵8＜15＜17，
∴△ABC中最长边为AB=17，两条较短边为BC=8、AC=15。
第二步：利用勾股定理的逆定理判断三角形形状
计算得：$BC^2+AC^2=8^2+15^2=64+225=289$，$AB^2=17^2=289$
∴$BC^2+AC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且直角为∠C。
第三步：计算直角三角形面积
直角三角形面积=$\frac{1}{2}$×两直角边的乘积，即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AC=\frac{1}{2}×8×15=60$。
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是先通过逆定理判定三角形为直角三角形，再代入面积公式计算，熟记常见勾股数可提升解题效率。
【难度系数】
0.8

5. 一根电线杆高8 m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10 m（不计捆缚部分），则电线杆与地面（填“垂直”或“不垂直”）.

5. 垂直

【分析】
要判断电线杆与地面是否垂直，可将电线杆、地面水平段、拉线看作三角形的三条边：若电线杆与地面垂直，则这个三角形为直角三角形，其中电线杆和地面水平段是两条直角边，拉线为斜边。我们可以借助勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，就能判定三角形是否为直角三角形，进而得到电线杆与地面的位置关系。
【解析】
将电线杆高8m、水平距离6m、拉线长10m看作三角形的三条边长：
计算两条短边的平方和：$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
计算最长边的平方：$10^2 = 100$
可得$6^2 + 8^2 = 10^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，最长边10m所对的角为直角，即电线杆与地面的夹角为直角，因此电线杆与地面垂直。
【答案】
垂直
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是勾股定理逆定理的实际应用类题目，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的判定问题，熟练掌握勾股定理逆定理的内容即可快速求解。
【难度系数】
0.9

6. 在$△ ABC$中，$AB=\sqrt{13}$，$AC=2$，$BC=3$，判断$△ ABC$是否是直角三角形.

6. 解:在$△ABC$ 中,$AB=\sqrt{13},AC=2,BC=3$,
因为 $AB^2=(\sqrt{13})^2=13,AC^2=2^2=4,BC^2=3^2=9$,
所以 $AC^2+BC^2=4+9=13=AB^2$,
所以$△ABC$ 是直角三角形.

【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，可使用勾股定理的逆定理，解题思路如下：第一步先确定三角形的最长边（直角所对的斜边是三角形最长边）；第二步分别计算最长边的平方，以及另外两条短边的平方和；第三步比较两个结果是否相等，相等则为直角三角形，否则不是。本题中先对比三边长度可知AB=√13是最长边，按上述步骤验证即可。
【解析】
在△ABC中，已知AB=√13，AC=2，BC=3，
分别计算三边的平方：
$AB^2=(\sqrt{13})^2=13$，
$AC^2=2^2=4$，
$BC^2=3^2=9$，
计算两条短边的平方和：$AC^2+BC^2=4+9=13$，
可得$AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可判定△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理；实数的平方运算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是先确定最长边，再验证两短边平方和与最长边平方是否相等，熟练掌握定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.9