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1. (2025 贵州)一元二次方程$x^2 -1=0$的根是
$x_1 = 1 ,x_2 = -1$
.答案
1. $x_1 = 1 ,x_2 = -1$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，首先观察方程结构：方程$x^2 -1=0$不含一次项，可选择直接开平方法或因式分解法求解。思路1（直接开平方法）：先将常数项移到等号右侧，得到$x^2=1$，再根据平方根的定义，正数的平方根有两个且互为相反数，即可求出方程的根；思路2（因式分解法）：左边符合平方差公式的形式，分解因式后令每个因式等于0，即可分别求出根。
【解析】
解法一：直接开平方法
移项，得$x^2=1$，
开平方，得$x=\pm\sqrt{1}$，
即$x=\pm1$，
因此方程的根为$x_1=1$，$x_2=-1$。
解法二：因式分解法
将方程左边利用平方差公式分解因式，得$(x-1)(x+1)=0$，
则$x-1=0$或$x+1=0$，
分别解得$x_1=1$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1 = 1 ,x_2 = -1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，解题的关键是根据方程的特征选择简便的解法，熟练掌握一元二次方程的常见解法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的求解，首先观察方程结构：方程$x^2 -1=0$不含一次项，可选择直接开平方法或因式分解法求解。思路1（直接开平方法）：先将常数项移到等号右侧，得到$x^2=1$，再根据平方根的定义，正数的平方根有两个且互为相反数，即可求出方程的根；思路2（因式分解法）：左边符合平方差公式的形式，分解因式后令每个因式等于0，即可分别求出根。
【解析】
解法一：直接开平方法
移项，得$x^2=1$，
开平方，得$x=\pm\sqrt{1}$，
即$x=\pm1$，
因此方程的根为$x_1=1$，$x_2=-1$。
解法二：因式分解法
将方程左边利用平方差公式分解因式，得$(x-1)(x+1)=0$，
则$x-1=0$或$x+1=0$，
分别解得$x_1=1$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1 = 1 ,x_2 = -1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，解题的关键是根据方程的特征选择简便的解法，熟练掌握一元二次方程的常见解法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 方程$(x+1)^2=4$的解为 （
A.$x_1=1,x_2=-3$
B.$x_1=-1,x_2=3$
C.$x_1=2,x_2=-2$
D.$x_1=1,x_2=-1$
A
）A.$x_1=1,x_2=-3$
B.$x_1=-1,x_2=3$
C.$x_1=2,x_2=-2$
D.$x_1=1,x_2=-1$
答案
2. A
解析
【分析】
这是一道求解一元二次方程的基础题，观察方程左边是完全平方式，右边是正的常数，符合直接开平方法的适用条件。解题时先对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解两个一次方程即可得到原方程的解，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对等式$(x+1)^2=4$两边同时开平方，可得：
$x+1=\pm\sqrt{4}$，即$x+1=\pm2$
分两种情况计算：
①当$x+1=2$时，解得$x=2-1=1$；
②当$x+1=-2$时，解得$x=-2-1=-3$。
因此原方程的解为$x_1=1$，$x_2=-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题，掌握直接开平方法的适用特征是解题的关键，计算量小，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
这是一道求解一元二次方程的基础题，观察方程左边是完全平方式，右边是正的常数，符合直接开平方法的适用条件。解题时先对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解两个一次方程即可得到原方程的解，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对等式$(x+1)^2=4$两边同时开平方，可得：
$x+1=\pm\sqrt{4}$，即$x+1=\pm2$
分两种情况计算：
①当$x+1=2$时，解得$x=2-1=1$；
②当$x+1=-2$时，解得$x=-2-1=-3$。
因此原方程的解为$x_1=1$，$x_2=-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题，掌握直接开平方法的适用特征是解题的关键，计算量小，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
3. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为 （
A.$x^2 = 1$
B.$x^2 - 7 = 7$
C.$-5x^2 = 0$
D.$x^2 + 2 = 0$
D
）A.$x^2 = 1$
B.$x^2 - 7 = 7$
C.$-5x^2 = 0$
D.$x^2 + 2 = 0$
答案
3. D
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程时，需先将方程变形为$x^2=a$（$a$为常数）的形式，根据平方的非负性，只有当$a≥0$时，方程才有实数解；若$a＜0$，则方程无实数解。我们只需将每个选项的方程整理为$x^2=a$的形式，判断$a$的正负即可选出无解的方程。
【解析】
逐个分析选项：
A. 方程$x^2=1$，右边$1≥0$，开平方得$x=\pm1$，方程有解，不符合题意；
B. 整理方程$x^2 - 7 = 7$，移项得$x^2=7+7=14$，右边$14≥0$，开平方得$x=\pm\sqrt{14}$，方程有解，不符合题意；
C. 整理方程$-5x^2=0$，两边同时除以$-5$得$x^2=0$，解为$x_1=x_2=0$，方程有解，不符合题意；
D. 整理方程$x^2 + 2 = 0$，移项得$x^2=-2$，由于任意实数的平方都为非负数，不可能等于$-2$，因此该方程无实数解，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，核心考查直接开平方法的适用条件，解题关键是熟练掌握平方的非负性，通过变形方程即可快速判断解的情况。
【难度系数】
0.9
用直接开平方法解一元二次方程时，需先将方程变形为$x^2=a$（$a$为常数）的形式，根据平方的非负性，只有当$a≥0$时，方程才有实数解；若$a＜0$，则方程无实数解。我们只需将每个选项的方程整理为$x^2=a$的形式，判断$a$的正负即可选出无解的方程。
【解析】
逐个分析选项：
A. 方程$x^2=1$，右边$1≥0$，开平方得$x=\pm1$，方程有解，不符合题意；
B. 整理方程$x^2 - 7 = 7$，移项得$x^2=7+7=14$，右边$14≥0$，开平方得$x=\pm\sqrt{14}$，方程有解，不符合题意；
C. 整理方程$-5x^2=0$，两边同时除以$-5$得$x^2=0$，解为$x_1=x_2=0$，方程有解，不符合题意；
D. 整理方程$x^2 + 2 = 0$，移项得$x^2=-2$，由于任意实数的平方都为非负数，不可能等于$-2$，因此该方程无实数解，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，核心考查直接开平方法的适用条件，解题关键是熟练掌握平方的非负性，通过变形方程即可快速判断解的情况。
【难度系数】
0.9
4. 已知$x=3$是一元二次方程$x^2 + m = 0$的一个根，则该方程的另一个根是
$x = -3$
.答案
4. $x = -3$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，根据一元二次方程根的定义，能使方程成立的未知数的值是方程的根，因此可先将已知根x=3代入原方程，求出参数m的取值，得到完整的一元二次方程后，用直接开平方法解方程，即可得到另一个根；也可观察到方程x²+m=0不含一次项，其两根互为相反数，可直接由已知根推出另一个根。
【解析】
解：
∵x=3是一元二次方程$x^2 + m = 0$的一个根
∴将x=3代入方程，得：$3^2 + m = 0$
计算得$9 + m = 0$，解得$m = -9$
∴原方程为$x^2 - 9 = 0$
移项得$x^2 = 9$，开平方得$x = \pm 3$
已知其中一个根为$x=3$，因此另一个根为$x=-3$
【答案】
$x=-3$
【知识点】
一元二次方程根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过代入求参再解方程的常规方法求解，也可以通过观察方程结构快速得到答案，意在考察学生对一元二次方程基础概念和解法的掌握程度。
【难度系数】
0.9
解题时可按以下思路推导：首先，根据一元二次方程根的定义，能使方程成立的未知数的值是方程的根，因此可先将已知根x=3代入原方程，求出参数m的取值，得到完整的一元二次方程后，用直接开平方法解方程，即可得到另一个根；也可观察到方程x²+m=0不含一次项，其两根互为相反数，可直接由已知根推出另一个根。
【解析】
解：
∵x=3是一元二次方程$x^2 + m = 0$的一个根
∴将x=3代入方程，得：$3^2 + m = 0$
计算得$9 + m = 0$，解得$m = -9$
∴原方程为$x^2 - 9 = 0$
移项得$x^2 = 9$，开平方得$x = \pm 3$
已知其中一个根为$x=3$，因此另一个根为$x=-3$
【答案】
$x=-3$
【知识点】
一元二次方程根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过代入求参再解方程的常规方法求解，也可以通过观察方程结构快速得到答案，意在考察学生对一元二次方程基础概念和解法的掌握程度。
【难度系数】
0.9
5. 用直接开平方法解下列方程：
(1) $9x^2 -5 =4$；
(2) $(2x + 3)^2 =25$。
(1) $9x^2 -5 =4$；
(2) $(2x + 3)^2 =25$。
答案
5. (1)解:移项、合并同类项,得$9x^2 =9$.
系数化为1,得$x^2 = 1$.
开平方,得$x = \pm 1$.
$\therefore x_1 = 1 ,x_2 = -1$.
(2)解:开平方,得$2x + 3 = \pm 5$.
$\therefore x_1 = 1 ,x_2 = -4$.
系数化为1,得$x^2 = 1$.
开平方,得$x = \pm 1$.
$\therefore x_1 = 1 ,x_2 = -1$.
(2)解:开平方,得$2x + 3 = \pm 5$.
$\therefore x_1 = 1 ,x_2 = -4$.
解析
【分析】
直接开平方法适用于可化为$x^2=a(a≥0)$或$(mx+n)^2=a(a≥0)$形式的一元二次方程，解题思路如下：
(1) 先将方程中的常数项移到等号右侧，合并同类项后把二次项系数化为1，得到$x^2=a$的形式，再根据平方根的定义开平方求解；
(2) 本题已经是$(mx+n)^2=a(a≥0)$的标准形式，直接把$2x+3$看作整体开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 解：移项、合并同类项，得$9x^2 =9$，
系数化为1，得$x^2 = 1$，
开平方，得$x = \pm 1$，
$\therefore x_1 = 1 ,x_2 = -1$。
(2) 解：开平方，得$2x + 3 = \pm 5$，
当$2x+3=5$时，解得$x=1$；当$2x+3=-5$时，解得$x=-4$，
$\therefore x_1 = 1 ,x_2 = -4$。
【答案】
(1) $x_1 = 1 ,x_2 = -1$；(2) $x_1 = 1 ,x_2 = -4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题核心是先将方程整理为左边是完全平方式、右边是非负常数的形式，再通过开平方将一元二次方程转化为一元一次方程求解，熟练掌握步骤可快速解题。
【难度系数】
0.9
直接开平方法适用于可化为$x^2=a(a≥0)$或$(mx+n)^2=a(a≥0)$形式的一元二次方程，解题思路如下：
(1) 先将方程中的常数项移到等号右侧，合并同类项后把二次项系数化为1，得到$x^2=a$的形式，再根据平方根的定义开平方求解；
(2) 本题已经是$(mx+n)^2=a(a≥0)$的标准形式，直接把$2x+3$看作整体开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 解：移项、合并同类项，得$9x^2 =9$，
系数化为1，得$x^2 = 1$，
开平方，得$x = \pm 1$，
$\therefore x_1 = 1 ,x_2 = -1$。
(2) 解：开平方，得$2x + 3 = \pm 5$，
当$2x+3=5$时，解得$x=1$；当$2x+3=-5$时，解得$x=-4$，
$\therefore x_1 = 1 ,x_2 = -4$。
【答案】
(1) $x_1 = 1 ,x_2 = -1$；(2) $x_1 = 1 ,x_2 = -4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题核心是先将方程整理为左边是完全平方式、右边是非负常数的形式，再通过开平方将一元二次方程转化为一元一次方程求解，熟练掌握步骤可快速解题。
【难度系数】
0.9
6. 已知实数$a,b$满足$|2a - 1| + (b + 1)^2 = 0$，则方程$ax^2 + b = 0$的解为
$x_1 =\sqrt{2} ,x_2 = -\sqrt{2}$
。答案
6. $x_1 =\sqrt{2} ,x_2 = -\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题首先利用绝对值和偶次乘方的非负性：两个非负实数相加得0时，每个非负数的取值都为0，据此先求出a、b的数值，再将a、b代入一元二次方程，用直接开平方法求解方程即可。
【解析】
解：
∵绝对值和平方数均为非负数，即$|2a - 1| ≥ 0$，$(b + 1)^2 ≥ 0$，且二者和为0
∴可列方程组：$\begin{cases}2a - 1 = 0 \\ b + 1 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a = \frac{1}{2} \\ b = -1\end{cases}$
将$a=\frac{1}{2}$、$b=-1$代入方程$ax^2 + b = 0$得：
$\frac{1}{2}x^2 - 1 = 0$
移项得：$\frac{1}{2}x^2 = 1$
两边同时乘2得：$x^2 = 2$
开平方得：$x = ±\sqrt{2}$
即$x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{2}$
【答案】
$x_1 =\sqrt{2} ,x_2 = -\sqrt{2}$
【知识点】
非负数的性质；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础计算题，核心考察常见非负数的性质和简单一元二次方程的求解，解题逻辑清晰，先求参数再解方程即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题首先利用绝对值和偶次乘方的非负性：两个非负实数相加得0时，每个非负数的取值都为0，据此先求出a、b的数值，再将a、b代入一元二次方程，用直接开平方法求解方程即可。
【解析】
解：
∵绝对值和平方数均为非负数，即$|2a - 1| ≥ 0$，$(b + 1)^2 ≥ 0$，且二者和为0
∴可列方程组：$\begin{cases}2a - 1 = 0 \\ b + 1 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a = \frac{1}{2} \\ b = -1\end{cases}$
将$a=\frac{1}{2}$、$b=-1$代入方程$ax^2 + b = 0$得：
$\frac{1}{2}x^2 - 1 = 0$
移项得：$\frac{1}{2}x^2 = 1$
两边同时乘2得：$x^2 = 2$
开平方得：$x = ±\sqrt{2}$
即$x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{2}$
【答案】
$x_1 =\sqrt{2} ,x_2 = -\sqrt{2}$
【知识点】
非负数的性质；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础计算题，核心考察常见非负数的性质和简单一元二次方程的求解，解题逻辑清晰，先求参数再解方程即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
7.（代几综合）已知一元二次方程$(x-3)^2=1$的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（
A.10
B.10或8
C.9
D.8
A
）A.10
B.10或8
C.9
D.8
答案
7. A
解析
【分析】
解题时首先需先求解给定的一元二次方程，得到两个根；再结合等腰三角形底和腰的定义进行分类讨论，每一种情况都要利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，舍去不符合条件的情况，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程$(x-3)^2=1$
对等式两边开平方，得：$x-3=\pm1$
移项计算得两个根：$x_1=4$，$x_2=2$
第二步：结合等腰三角形性质分类讨论，验证三边关系
情况1：若等腰三角形的底边长为2，腰长为4，此时三边长为2、4、4
验证三边关系：$2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边关系，可构成三角形
此时周长为：$2+4+4=10$
情况2：若等腰三角形的底边长为4，腰长为2，此时三边长为2、2、4
验证三边关系：$2+2=4$，不满足“三角形两边之和大于第三边”，无法构成三角形，该情况舍去
综上，$△ ABC$的周长为10，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于代几综合基础题型，核心易错点是分类讨论等腰三角形边长时，忽略验证三角形三边关系，从而错选包含8的选项，解题时要注意养成分类后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.7
解题时首先需先求解给定的一元二次方程，得到两个根；再结合等腰三角形底和腰的定义进行分类讨论，每一种情况都要利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，舍去不符合条件的情况，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程$(x-3)^2=1$
对等式两边开平方，得：$x-3=\pm1$
移项计算得两个根：$x_1=4$，$x_2=2$
第二步：结合等腰三角形性质分类讨论，验证三边关系
情况1：若等腰三角形的底边长为2，腰长为4，此时三边长为2、4、4
验证三边关系：$2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边关系，可构成三角形
此时周长为：$2+4+4=10$
情况2：若等腰三角形的底边长为4，腰长为2，此时三边长为2、2、4
验证三边关系：$2+2=4$，不满足“三角形两边之和大于第三边”，无法构成三角形，该情况舍去
综上，$△ ABC$的周长为10，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于代几综合基础题型，核心易错点是分类讨论等腰三角形边长时，忽略验证三角形三边关系，从而错选包含8的选项，解题时要注意养成分类后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.7
8. (人教九上 $\mathrm{P}_6$ 练习改编)用直接开平方法解下列方程:
(1)$3(x-1)^2 -6=0$;
(2)$x^2 -4x +4=5$;
(3)$9x^2 +5=1$;
(4)$(2x+3)^2=(3x+2)^2$.
(1)$3(x-1)^2 -6=0$;
(2)$x^2 -4x +4=5$;
(3)$9x^2 +5=1$;
(4)$(2x+3)^2=(3x+2)^2$.
答案
8. (1)解:移项,得$3(x-1)^2 =6$.
整理,得$(x-1)^2 = 2$.
开平方,得$x - 1 = \pm \sqrt{2}$.
$\therefore x_1 =\sqrt{2} + 1 ,x_2 = -\sqrt{2} + 1$.
(2)解:由原方程,得$(x-2)^2 =5$.
开平方,得$x - 2 = \pm \sqrt{5}$.
$\therefore x_1 = 2 + \sqrt{5} ,x_2 = 2 - \sqrt{5}$.
(3)解:移项,得$9x^2 = -4$.
二次项系数化为1,得$x^2 = -\frac{4}{9}$.
$\because x^2 ≥ 0 , -\frac{4}{9} ＜ 0 ,\therefore$ 原方程无实数根.
(4)解:直接开平方,得$2x + 3 = 3x + 2$或$2x + 3 = -3x -2$.
解得$x_1 = 1 ,x_2 = -1$.
整理,得$(x-1)^2 = 2$.
开平方,得$x - 1 = \pm \sqrt{2}$.
$\therefore x_1 =\sqrt{2} + 1 ,x_2 = -\sqrt{2} + 1$.
(2)解:由原方程,得$(x-2)^2 =5$.
开平方,得$x - 2 = \pm \sqrt{5}$.
$\therefore x_1 = 2 + \sqrt{5} ,x_2 = 2 - \sqrt{5}$.
(3)解:移项,得$9x^2 = -4$.
二次项系数化为1,得$x^2 = -\frac{4}{9}$.
$\because x^2 ≥ 0 , -\frac{4}{9} ＜ 0 ,\therefore$ 原方程无实数根.
(4)解:直接开平方,得$2x + 3 = 3x + 2$或$2x + 3 = -3x -2$.
解得$x_1 = 1 ,x_2 = -1$.
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，核心解题思路是将方程变形为“含未知数的完全平方式=常数”的形式，再利用平方根的定义降次为一元一次方程求解：
1. 对含完全平方式的方程，先移项、系数化1将完全平方式单独放等号左侧，若右侧常数非负则开平方求解，若右侧常数为负，可根据平方的非负性直接判断无实根；
2. 左侧可整理为完全平方式的方程，先利用完全平方公式化简，再按上述步骤处理；
3. 等号两侧均为完全平方式的方程，直接开平方得到两个一元一次方程，注意开平方要同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
(1)解:移项,得$3(x-1)^2 =6$.
整理,得$(x-1)^2 = 2$.
开平方,得$x - 1 = \pm \sqrt{2}$.
$\therefore x_1 =\sqrt{2} + 1 ,x_2 = -\sqrt{2} + 1$.
(2)解:由原方程,得$(x-2)^2 =5$.
开平方,得$x - 2 = \pm \sqrt{5}$.
$\therefore x_1 = 2 + \sqrt{5} ,x_2 = 2 - \sqrt{5}$.
(3)解:移项,得$9x^2 = -4$.
二次项系数化为1,得$x^2 = -\frac{4}{9}$.
$\because x^2 ≥ 0 , -\frac{4}{9} ＜ 0 ,\therefore$ 原方程无实数根.
(4)解:直接开平方,得$2x + 3 = 3x + 2$或$2x + 3 = -3x -2$.
解得$x_1 = 1 ,x_2 = -1$.
【答案】
(1)$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$；
(2)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$；
(3)无实数根；
(4)$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法的基础训练题，覆盖了该方法的常见考型，解题时需注意开平方不要漏负根，同时要熟练运用平方的非负性判断方程是否有实根，减少无效计算。
【难度系数】
0.75
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，核心解题思路是将方程变形为“含未知数的完全平方式=常数”的形式，再利用平方根的定义降次为一元一次方程求解：
1. 对含完全平方式的方程，先移项、系数化1将完全平方式单独放等号左侧，若右侧常数非负则开平方求解，若右侧常数为负，可根据平方的非负性直接判断无实根；
2. 左侧可整理为完全平方式的方程，先利用完全平方公式化简，再按上述步骤处理；
3. 等号两侧均为完全平方式的方程，直接开平方得到两个一元一次方程，注意开平方要同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
(1)解:移项,得$3(x-1)^2 =6$.
整理,得$(x-1)^2 = 2$.
开平方,得$x - 1 = \pm \sqrt{2}$.
$\therefore x_1 =\sqrt{2} + 1 ,x_2 = -\sqrt{2} + 1$.
(2)解:由原方程,得$(x-2)^2 =5$.
开平方,得$x - 2 = \pm \sqrt{5}$.
$\therefore x_1 = 2 + \sqrt{5} ,x_2 = 2 - \sqrt{5}$.
(3)解:移项,得$9x^2 = -4$.
二次项系数化为1,得$x^2 = -\frac{4}{9}$.
$\because x^2 ≥ 0 , -\frac{4}{9} ＜ 0 ,\therefore$ 原方程无实数根.
(4)解:直接开平方,得$2x + 3 = 3x + 2$或$2x + 3 = -3x -2$.
解得$x_1 = 1 ,x_2 = -1$.
【答案】
(1)$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$；
(2)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$；
(3)无实数根；
(4)$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法的基础训练题，覆盖了该方法的常见考型，解题时需注意开平方不要漏负根，同时要熟练运用平方的非负性判断方程是否有实根，减少无效计算。
【难度系数】
0.75
9.（拓展题）若$(x^2 + y^2 - 1)^2 = 4$，则$x^2 + y^2 =$
3
.（提示：把$x^2 + y^2$看作一个整体）答案
9. 3
解析
【分析】
根据题目提示，我们可以采用整体换元的思路解题：第一步把$x^2+y^2$看作一个整体设为新的未知数，将原方程转化为关于这个新未知数的一元二次方程；第二步解这个方程得到两个可能的解；第三步结合平方数的非负性，判断两个解的合理性，舍去不符合要求的解，最终得到正确结果。
【解析】
解：设$a=x^2+y^2$，则原方程可改写为：
$(a-1)^2=4$
对等式两边开平方，得：
$a-1=\pm2$
分两种情况计算：
1. 当$a-1=2$时，解得$a=3$；
2. 当$a-1=-2$时，解得$a=-1$。
因为$x^2≥0$，$y^2≥0$，所以$a=x^2+y^2≥0$，因此$a=-1$不符合要求，舍去。
综上，$x^2+y^2=3$。
【答案】
3
【知识点】
换元法解方程、平方根的性质、非负数的性质
【点评】
本题重点考查整体思想的运用，易错点是容易忽略$x^2+y^2$的非负性，误将$-1$也作为结果，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对解的合理性进行验证。
【难度系数】
0.7
根据题目提示，我们可以采用整体换元的思路解题：第一步把$x^2+y^2$看作一个整体设为新的未知数，将原方程转化为关于这个新未知数的一元二次方程；第二步解这个方程得到两个可能的解；第三步结合平方数的非负性，判断两个解的合理性，舍去不符合要求的解，最终得到正确结果。
【解析】
解：设$a=x^2+y^2$，则原方程可改写为：
$(a-1)^2=4$
对等式两边开平方，得：
$a-1=\pm2$
分两种情况计算：
1. 当$a-1=2$时，解得$a=3$；
2. 当$a-1=-2$时，解得$a=-1$。
因为$x^2≥0$，$y^2≥0$，所以$a=x^2+y^2≥0$，因此$a=-1$不符合要求，舍去。
综上，$x^2+y^2=3$。
【答案】
3
【知识点】
换元法解方程、平方根的性质、非负数的性质
【点评】
本题重点考查整体思想的运用，易错点是容易忽略$x^2+y^2$的非负性，误将$-1$也作为结果，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对解的合理性进行验证。
【难度系数】
0.7
