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引入（1）用直接开平方法解方程：
$(x-1)^2=\frac{9}{4}.$
（2）利用$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$填空：
①$x^2+2x+1=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$；
②$x^2-3x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$；
③$x^2+4x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$；
④$x^2-5x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$；
⑤$x^2+bx+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2.$
$(x-1)^2=\frac{9}{4}.$
（2）利用$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$填空：
①$x^2+2x+1=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$；
②$x^2-3x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$；
③$x^2+4x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$；
④$x^2-5x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$；
⑤$x^2+bx+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2.$
答案
1. 解:开平方,得 $x - 1 = \pm \frac{3}{2}.$ $\therefore x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = \frac{5}{2}.$
2. ①1 ②$\frac{9}{4}$ $\frac{3}{2}$ ③4 2 ④$\frac{25}{4}$ $\frac{5}{2}$ ⑤$(\frac{b}{2})^2$ $\frac{b}{2}$
2. ①1 ②$\frac{9}{4}$ $\frac{3}{2}$ ③4 2 ④$\frac{25}{4}$ $\frac{5}{2}$ ⑤$(\frac{b}{2})^2$ $\frac{b}{2}$
解析
【分析】
本题分为两部分，解题思路如下：
1. 第（1）问用直接开平方法解方程：对于形如$(A)^2 = C$（$C≥0$）的方程，可直接对两边开平方，转化为两个一元一次方程$A=\sqrt{C}$和$A=-\sqrt{C}$，分别求解即可得到原方程的根。
2. 第（2）问考查完全平方公式的配方规律：对于二次项系数为1的二次式$x^2+mx$，只需加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{m}{2})^2$，就可以配成完全平方$(x+\frac{m}{2})^2$，完全平方中括号内的符号与一次项系数的符号一致。
【解析】
（1）解方程$(x-1)^2=\frac{9}{4}$：
对等式两边开平方，得 $x - 1 = \pm \sqrt{\frac{9}{4}} = \pm \frac{3}{2}$
分别求解两个一元一次方程：
当$x-1=\frac{3}{2}$时，$x=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$；
当$x-1=-\frac{3}{2}$时，$x=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$。
（2）根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$填空：
①$x^2+2x+1=x^2+2· x·1 +1^2=(x+1)^2$，故填1；
②一次项系数为$-3$，一半为$-\frac{3}{2}$，平方为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，故$x^2-3x+\frac{9}{4}=(x-\frac{3}{2})^2$，依次填$\frac{9}{4}$、$\frac{3}{2}$；
③一次项系数为$4$，一半为$2$，平方为$2^2=4$，故$x^2+4x+4=(x+2)^2$，依次填$4$、$2$；
④一次项系数为$-5$，一半为$-\frac{5}{2}$，平方为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，故$x^2-5x+\frac{25}{4}=(x-\frac{5}{2})^2$，依次填$\frac{25}{4}$、$\frac{5}{2}$；
⑤一次项系数为$b$，一半为$\frac{b}{2}$，平方为$(\frac{b}{2})^2$，故$x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=(x+\frac{b}{2})^2$，依次填$(\frac{b}{2})^2$、$\frac{b}{2}$。
【答案】
1. $x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = \frac{5}{2}$
2. ①1 ②$\frac{9}{4}$；$\frac{3}{2}$ ③4；2 ④$\frac{25}{4}$；$\frac{5}{2}$ ⑤$(\frac{b}{2})^2$；$\frac{b}{2}$
【知识点】
1. 直接开平方法解方程
2. 完全平方公式
3. 配方法
【点评】
本题属于一元二次方程的基础训练题，既考查了直接开平方法的基本运算步骤，又强化了二次项系数为1时的配方规律，是后续学习配方法解一元二次方程、二次函数相关内容的重要基础，掌握核心规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题分为两部分，解题思路如下：
1. 第（1）问用直接开平方法解方程：对于形如$(A)^2 = C$（$C≥0$）的方程，可直接对两边开平方，转化为两个一元一次方程$A=\sqrt{C}$和$A=-\sqrt{C}$，分别求解即可得到原方程的根。
2. 第（2）问考查完全平方公式的配方规律：对于二次项系数为1的二次式$x^2+mx$，只需加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{m}{2})^2$，就可以配成完全平方$(x+\frac{m}{2})^2$，完全平方中括号内的符号与一次项系数的符号一致。
【解析】
（1）解方程$(x-1)^2=\frac{9}{4}$：
对等式两边开平方，得 $x - 1 = \pm \sqrt{\frac{9}{4}} = \pm \frac{3}{2}$
分别求解两个一元一次方程：
当$x-1=\frac{3}{2}$时，$x=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$；
当$x-1=-\frac{3}{2}$时，$x=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$。
（2）根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$填空：
①$x^2+2x+1=x^2+2· x·1 +1^2=(x+1)^2$，故填1；
②一次项系数为$-3$，一半为$-\frac{3}{2}$，平方为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，故$x^2-3x+\frac{9}{4}=(x-\frac{3}{2})^2$，依次填$\frac{9}{4}$、$\frac{3}{2}$；
③一次项系数为$4$，一半为$2$，平方为$2^2=4$，故$x^2+4x+4=(x+2)^2$，依次填$4$、$2$；
④一次项系数为$-5$，一半为$-\frac{5}{2}$，平方为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，故$x^2-5x+\frac{25}{4}=(x-\frac{5}{2})^2$，依次填$\frac{25}{4}$、$\frac{5}{2}$；
⑤一次项系数为$b$，一半为$\frac{b}{2}$，平方为$(\frac{b}{2})^2$，故$x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=(x+\frac{b}{2})^2$，依次填$(\frac{b}{2})^2$、$\frac{b}{2}$。
【答案】
1. $x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = \frac{5}{2}$
2. ①1 ②$\frac{9}{4}$；$\frac{3}{2}$ ③4；2 ④$\frac{25}{4}$；$\frac{5}{2}$ ⑤$(\frac{b}{2})^2$；$\frac{b}{2}$
【知识点】
1. 直接开平方法解方程
2. 完全平方公式
3. 配方法
【点评】
本题属于一元二次方程的基础训练题，既考查了直接开平方法的基本运算步骤，又强化了二次项系数为1时的配方规律，是后续学习配方法解一元二次方程、二次函数相关内容的重要基础，掌握核心规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1.【例1】用配方法解方程:$x^2 + 2x -1 =0.$
解:移项,将常数项移到等号右边,
得.
配方,等号两边同时加上,
得,
得到形如$(x + n)^2 = p$的方程.
运用直接开平方法解方程,得
,.
$\therefore x_1 =$$,x_2 =$.
解:移项,将常数项移到等号右边,
得.
配方,等号两边同时加上,
得,
得到形如$(x + n)^2 = p$的方程.
运用直接开平方法解方程,得
,.
$\therefore x_1 =$$,x_2 =$.
答案
1. 解:移项,将常数项移到等号右边,得$x^2 + 2x = 1$。配方,等号两边同时加上1,得$x^2 + 2x + 1 = 1 + 1$,得到形如$(x + n)^2 = p$的方程$(x + 1)^2 = 2$。运用直接开平方法解方程,得$x + 1 =\sqrt{2}$，$x + 1 = -\sqrt{2}$。$\therefore x_1 = -1+\sqrt{2},x_2 = -1-\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题要求用配方法解一元二次方程，解题思路可按配方法的标准步骤逐步推导：①首先移项，把常数项移到等号右侧，使等号左侧仅保留二次项和一次项；②接下来配方，根据完全平方公式的结构特征，需要给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；③将左侧整理为完全平方的形式，右侧合并常数项，得到$(x+n)^2=p$的可直接开方的形式；④最后用直接开平方法降次，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根。
【解析】
1. 移项：将原方程的常数项$-1$移到等号右边，得$x^2 + 2x = 1$；
2. 配方：一次项系数为$2$，其一半的平方为$(\frac{2}{2})^2=1$，因此等号两边同时加上$1$，得$x^2 + 2x + 1 = 1 + 1$；
3. 整理变形：左侧根据完全平方公式可写成$(x+1)^2$，右侧合并常数项得$2$，即得到$(x+1)^2=2$，符合$(x + n)^2 = p$的形式；
4. 直接开平方：因为右侧$2＞0$，所以等号两边同时开平方得$x + 1 =\sqrt{2}$和$x + 1 = -\sqrt{2}$；
5. 求解一次方程：分别解两个一元一次方程，得$x_1 = -1+\sqrt{2}$，$x_2 = -1-\sqrt{2}$。
【答案】
移项得$x^2 + 2x = 1$；等号两边同时加上$1$；得$x^2 + 2x + 1 = 1 + 1$；得到形如$(x + n)^2 = p$的方程$(x + 1)^2 = 2$；运用直接开平方法解方程得$x + 1 =\sqrt{2}$，$x + 1 = -\sqrt{2}$；$\therefore x_1 = -1+\sqrt{2}$，$x_2 = -1-\sqrt{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方法的操作步骤，易错点为配方时忘记给等号右侧也加上相同的常数，以及开平方时漏掉负的平方根，熟练掌握步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题要求用配方法解一元二次方程，解题思路可按配方法的标准步骤逐步推导：①首先移项，把常数项移到等号右侧，使等号左侧仅保留二次项和一次项；②接下来配方，根据完全平方公式的结构特征，需要给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；③将左侧整理为完全平方的形式，右侧合并常数项，得到$(x+n)^2=p$的可直接开方的形式；④最后用直接开平方法降次，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根。
【解析】
1. 移项：将原方程的常数项$-1$移到等号右边，得$x^2 + 2x = 1$；
2. 配方：一次项系数为$2$，其一半的平方为$(\frac{2}{2})^2=1$，因此等号两边同时加上$1$，得$x^2 + 2x + 1 = 1 + 1$；
3. 整理变形：左侧根据完全平方公式可写成$(x+1)^2$，右侧合并常数项得$2$，即得到$(x+1)^2=2$，符合$(x + n)^2 = p$的形式；
4. 直接开平方：因为右侧$2＞0$，所以等号两边同时开平方得$x + 1 =\sqrt{2}$和$x + 1 = -\sqrt{2}$；
5. 求解一次方程：分别解两个一元一次方程，得$x_1 = -1+\sqrt{2}$，$x_2 = -1-\sqrt{2}$。
【答案】
移项得$x^2 + 2x = 1$；等号两边同时加上$1$；得$x^2 + 2x + 1 = 1 + 1$；得到形如$(x + n)^2 = p$的方程$(x + 1)^2 = 2$；运用直接开平方法解方程得$x + 1 =\sqrt{2}$，$x + 1 = -\sqrt{2}$；$\therefore x_1 = -1+\sqrt{2}$，$x_2 = -1-\sqrt{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方法的操作步骤，易错点为配方时忘记给等号右侧也加上相同的常数，以及开平方时漏掉负的平方根，熟练掌握步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. 用配方法解方程：$x^2 +6x +8 =0.$ 
答案
2. 解:移项,得$x^2 + 6x = -8.$ 配方,得$x^2 + 6x + 9 = -8 + 9$,即$(x + 3)^2 = 1.$ 开平方,得$x + 3 = \pm 1$,即$x = -3 \pm 1.$ $\therefore x_1 = -2,x_2 = -4.$
解析
【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，解题遵循配方法的固定步骤：①移项：将等号左侧的常数项移到等号右侧，使左侧仅保留二次项和一次项；②配方：给等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，本题一次项系数为6，一半是3，平方为9，因此两边同时加9，将左侧凑为完全平方式，得到$(x+n)^2=p$的形式；③开平方：将二次方程降为一次方程；④求解一次方程即可得到原方程的两个根。
【解析】
解：移项，得$x^2 + 6x = -8$。
配方，得$x^2 + 6x + 9 = -8 + 9$，即$(x + 3)^2 = 1$。
开平方，得$x + 3 = \pm 1$，即$x = -3 \pm 1$。
$\therefore x_1 = -2,x_2 = -4$。
【答案】
$x_1=-2, x_2=-4$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心是掌握配方法的固定操作流程，牢记移项、配方、开方、求解的步骤即可顺利解答，能帮助学生巩固一元二次方程的解法。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解一元二次方程，解题遵循配方法的固定步骤：①移项：将等号左侧的常数项移到等号右侧，使左侧仅保留二次项和一次项；②配方：给等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，本题一次项系数为6，一半是3，平方为9，因此两边同时加9，将左侧凑为完全平方式，得到$(x+n)^2=p$的形式；③开平方：将二次方程降为一次方程；④求解一次方程即可得到原方程的两个根。
【解析】
解：移项，得$x^2 + 6x = -8$。
配方，得$x^2 + 6x + 9 = -8 + 9$，即$(x + 3)^2 = 1$。
开平方，得$x + 3 = \pm 1$，即$x = -3 \pm 1$。
$\therefore x_1 = -2,x_2 = -4$。
【答案】
$x_1=-2, x_2=-4$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心是掌握配方法的固定操作流程，牢记移项、配方、开方、求解的步骤即可顺利解答，能帮助学生巩固一元二次方程的解法。
【难度系数】
0.8
3.【例2】用配方法解方程：$x^2 + 12 = 7x.$
4. 用配方法解方程：$x^2 + 2 = -5x.$
4. 用配方法解方程：$x^2 + 2 = -5x.$
答案
3. 解:移项,得$x^2 - 7x = -12.$ 配方,得$x^2 - 7x + (\frac{7}{2})^2 = -12 + \frac{49}{4}$,即$(x - \frac{7}{2})^2 = \frac{1}{4}.$ 开平方,得$x - \frac{7}{2} = \pm \frac{1}{2}$,即$x = \frac{7}{2} \pm \frac{1}{2}.$ $\therefore x_1 = 4,x_2 = 3.$
4. 解:移项,得$x^2 + 5x = -2.$ 配方,得$x^2 + 5x + \frac{25}{4} = -2 + \frac{25}{4}$,即$(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{17}{4}.$ 开平方,得$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{17}}{2}$,即$x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}.$ $\therefore x_1 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2},x_2 = \frac{-5 - \sqrt{17}}{2}.$
4. 解:移项,得$x^2 + 5x = -2.$ 配方,得$x^2 + 5x + \frac{25}{4} = -2 + \frac{25}{4}$,即$(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{17}{4}.$ 开平方,得$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{17}}{2}$,即$x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}.$ $\therefore x_1 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2},x_2 = \frac{-5 - \sqrt{17}}{2}.$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的通用步骤为：①移项：将含未知数的项移到等式左侧，常数项移到等式右侧；②配方：本题两个方程二次项系数均为1，直接在等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；③开平方：对完全平方式两边同时开平方，转化为两个一元一次方程；④求解：解一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
3. 解：移项，得$x^2 - 7x = -12$。
配方，得$x^2 - 7x + (\frac{7}{2})^2 = -12 + \frac{49}{4}$，即$(x - \frac{7}{2})^2 = \frac{1}{4}$。
开平方，得$x - \frac{7}{2} = \pm \frac{1}{2}$，即$x = \frac{7}{2} \pm \frac{1}{2}$。
$\therefore x_1 = 4,x_2 = 3$。
4. 解：移项，得$x^2 + 5x = -2$。
配方，得$x^2 + 5x + (\frac{5}{2})^2 = -2 + \frac{25}{4}$，即$(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{17}{4}$。
开平方，得$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{17}}{2}$，即$x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$。
$\therefore x_1 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2},x_2 = \frac{-5 - \sqrt{17}}{2}$。
【答案】
3. $x_1=4,x_2=3$；4. $x_1=\frac{-5+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{-5-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，开平方运算
【点评】
这两道题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方的规则，注意配方时等式两边要同时加一次项系数一半的平方，避免漏加右侧的常数，熟练掌握步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的通用步骤为：①移项：将含未知数的项移到等式左侧，常数项移到等式右侧；②配方：本题两个方程二次项系数均为1，直接在等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；③开平方：对完全平方式两边同时开平方，转化为两个一元一次方程；④求解：解一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
3. 解：移项，得$x^2 - 7x = -12$。
配方，得$x^2 - 7x + (\frac{7}{2})^2 = -12 + \frac{49}{4}$，即$(x - \frac{7}{2})^2 = \frac{1}{4}$。
开平方，得$x - \frac{7}{2} = \pm \frac{1}{2}$，即$x = \frac{7}{2} \pm \frac{1}{2}$。
$\therefore x_1 = 4,x_2 = 3$。
4. 解：移项，得$x^2 + 5x = -2$。
配方，得$x^2 + 5x + (\frac{5}{2})^2 = -2 + \frac{25}{4}$，即$(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{17}{4}$。
开平方，得$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{17}}{2}$，即$x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$。
$\therefore x_1 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2},x_2 = \frac{-5 - \sqrt{17}}{2}$。
【答案】
3. $x_1=4,x_2=3$；4. $x_1=\frac{-5+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{-5-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，开平方运算
【点评】
这两道题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方的规则，注意配方时等式两边要同时加一次项系数一半的平方，避免漏加右侧的常数，熟练掌握步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
