登录
5.【例3】用配方法解方程:$2x^2 +4x -4=0.$
6. 用配方法解方程:$3x^2=6x -4.$
6. 用配方法解方程:$3x^2=6x -4.$
答案
5. 解:移项,得$2x^2 + 4x = 4.$ 二次项系数化为1,得$x^2 + 2x = 2.$ 配方,得$x^2 + 2x + 1^2 = 2 + 1^2$,即$(x + 1)^2 = 3.$ 开平方,得$x + 1 = \pm \sqrt{3}$,即$x = -1 \pm \sqrt{3}.$ $\therefore x_1 = -1 + \sqrt{3},x_2 = -1 - \sqrt{3}.$
6. 解:移项,得$3x^2 - 6x = -4.$ 二次项系数化为1,得$x^2 - 2x = -\frac{4}{3}.$ 配方,得$x^2 - 2x + 1 = -\frac{4}{3} + 1$,即$(x - 1)^2 = -\frac{1}{3}.$ $\because (x - 1)^2 \ge 0, -\frac{1}{3} ＜ 0, \therefore$ 原方程无实数根.
6. 解:移项,得$3x^2 - 6x = -4.$ 二次项系数化为1,得$x^2 - 2x = -\frac{4}{3}.$ 配方,得$x^2 - 2x + 1 = -\frac{4}{3} + 1$,即$(x - 1)^2 = -\frac{1}{3}.$ $\because (x - 1)^2 \ge 0, -\frac{1}{3} ＜ 0, \therefore$ 原方程无实数根.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：①移项：将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；②化二次项系数为1：等式两边同时除以二次项系数，将二次项系数变为1；③配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式；④开方求解：若右侧为非负数，直接开平方求根，若右侧为负数，结合平方的非负性可判断方程无实数根。
第5题移项后化二次项系数为1，配方后右侧为正数，可直接开方得到两个实数根；第6题移项化系数为1后，配方得到的完全平方式右侧为负数，可判断方程无实根。
【解析】
第5题
解：移项，得$2x^2 + 4x = 4$。
二次项系数化为1，得$x^2 + 2x = 2$。
配方，得$x^2 + 2x + 1^2 = 2 + 1^2$，即$(x + 1)^2 = 3$。
开平方，得$x + 1 = \pm \sqrt{3}$，即$x = -1 \pm \sqrt{3}$。
$\therefore x_1 = -1 + \sqrt{3},x_2 = -1 - \sqrt{3}$。
第6题
解：移项，得$3x^2 - 6x = -4$。
二次项系数化为1，得$x^2 - 2x = -\frac{4}{3}$。
配方，得$x^2 - 2x + 1 = -\frac{4}{3} + 1$，即$(x - 1)^2 = -\frac{1}{3}$。
$\because (x - 1)^2 \ge 0, -\frac{1}{3} ＜ 0, \therefore$ 原方程无实数根。
【答案】
5. $x_1 = -1 + \sqrt{3},x_2 = -1 - \sqrt{3}$
6. 原方程无实数根
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方的非负性
【点评】
这两道是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考察配方法的标准操作步骤，解题时需注意先将二次项系数化为1再配方，同时要关注配方后等号右侧的符号，熟练掌握固定步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：①移项：将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；②化二次项系数为1：等式两边同时除以二次项系数，将二次项系数变为1；③配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式；④开方求解：若右侧为非负数，直接开平方求根，若右侧为负数，结合平方的非负性可判断方程无实数根。
第5题移项后化二次项系数为1，配方后右侧为正数，可直接开方得到两个实数根；第6题移项化系数为1后，配方得到的完全平方式右侧为负数，可判断方程无实根。
【解析】
第5题
解：移项，得$2x^2 + 4x = 4$。
二次项系数化为1，得$x^2 + 2x = 2$。
配方，得$x^2 + 2x + 1^2 = 2 + 1^2$，即$(x + 1)^2 = 3$。
开平方，得$x + 1 = \pm \sqrt{3}$，即$x = -1 \pm \sqrt{3}$。
$\therefore x_1 = -1 + \sqrt{3},x_2 = -1 - \sqrt{3}$。
第6题
解：移项，得$3x^2 - 6x = -4$。
二次项系数化为1，得$x^2 - 2x = -\frac{4}{3}$。
配方，得$x^2 - 2x + 1 = -\frac{4}{3} + 1$，即$(x - 1)^2 = -\frac{1}{3}$。
$\because (x - 1)^2 \ge 0, -\frac{1}{3} ＜ 0, \therefore$ 原方程无实数根。
【答案】
5. $x_1 = -1 + \sqrt{3},x_2 = -1 - \sqrt{3}$
6. 原方程无实数根
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方的非负性
【点评】
这两道是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考察配方法的标准操作步骤，解题时需注意先将二次项系数化为1再配方，同时要关注配方后等号右侧的符号，熟练掌握固定步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1.（新疆中考）用配方法解一元二次方程$x^2 -6x +8=0$配方后得到的方程是（
A.$(x+6)^2=28$
B.$(x-6)^2=28$
C.$(x+3)^2=1$
D.$(x-3)^2=1$
D
）A.$(x+6)^2=28$
B.$(x-6)^2=28$
C.$(x+3)^2=1$
D.$(x-3)^2=1$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程，解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再计算一次项系数一半的平方，给方程左右两边同时加上这个平方数，最后将等号左侧整理为完全平方形式，即可得到配方后的方程。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x +8=0$移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 6x = -8$
一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(-\dfrac{6}{2})^2=9$，给方程左右两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = -8 +9$
根据完全平方公式，等号左侧可化为$(x-3)^2$，右侧计算结果为1，因此配方后得到的方程为：
$(x-3)^2 = 1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考查题型，牢记配方法的操作步骤是解题的核心，注意配方时要给方程两边同时加同一个数，避免仅修改左侧导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程，解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再计算一次项系数一半的平方，给方程左右两边同时加上这个平方数，最后将等号左侧整理为完全平方形式，即可得到配方后的方程。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x +8=0$移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 6x = -8$
一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(-\dfrac{6}{2})^2=9$，给方程左右两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = -8 +9$
根据完全平方公式，等号左侧可化为$(x-3)^2$，右侧计算结果为1，因此配方后得到的方程为：
$(x-3)^2 = 1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考查题型，牢记配方法的操作步骤是解题的核心，注意配方时要给方程两边同时加同一个数，避免仅修改左侧导致计算错误。
【难度系数】
0.8
2. (人教九上$\mathrm{P}_9$练习$\mathrm{T}_1$节选)填空：
(1)$x^2 -12x +$
(2)$x^2 - \dfrac{2}{3}x +$
(1)$x^2 -12x +$
36
$=(x -$ 6
$)^2$；(2)$x^2 - \dfrac{2}{3}x +$
$\dfrac{1}{9}$
$=(x -$ $\dfrac{1}{3}$
$)^2$。答案
2. (1) 36 6 (2) $\dfrac{1}{9}$ $\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式在配方中的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对于形如$x^2+mx$的二次二项式，配方时需要加上的常数项是一次项系数一半的平方，此时二次三项式即可写成$(x+\frac{m}{2})^2$的形式，按照这个规律分别计算两小问即可。
【解析】
根据完全平方差公式$(x-p)^2=x^2-2px+p^2$求解：
(1) 对比$x^2-12x$和$x^2-2px$，可得$2p=12$，解得$p=6$，因此需要添加的常数项为$p^2=6^2=36$，即$x^2-12x+36=(x-6)^2$；
(2) 对比$x^2-\frac{2}{3}x$和$x^2-2px$，可得$2p=\frac{2}{3}$，解得$p=\frac{1}{3}$，因此需要添加的常数项为$p^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，即$x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=(x-\frac{1}{3})^2$。
【答案】
(1) $\mathrm{36}$，$\mathrm{6}$；(2) $\mathrm{\dfrac{1}{9}}$，$\mathrm{\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 配方法
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，明确配方时所加常数项为一次项系数一半的平方，该知识点是后续学习解一元二次方程、二次函数相关内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方公式在配方中的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对于形如$x^2+mx$的二次二项式，配方时需要加上的常数项是一次项系数一半的平方，此时二次三项式即可写成$(x+\frac{m}{2})^2$的形式，按照这个规律分别计算两小问即可。
【解析】
根据完全平方差公式$(x-p)^2=x^2-2px+p^2$求解：
(1) 对比$x^2-12x$和$x^2-2px$，可得$2p=12$，解得$p=6$，因此需要添加的常数项为$p^2=6^2=36$，即$x^2-12x+36=(x-6)^2$；
(2) 对比$x^2-\frac{2}{3}x$和$x^2-2px$，可得$2p=\frac{2}{3}$，解得$p=\frac{1}{3}$，因此需要添加的常数项为$p^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，即$x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=(x-\frac{1}{3})^2$。
【答案】
(1) $\mathrm{36}$，$\mathrm{6}$；(2) $\mathrm{\dfrac{1}{9}}$，$\mathrm{\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 配方法
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，明确配方时所加常数项为一次项系数一半的平方，该知识点是后续学习解一元二次方程、二次函数相关内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
3. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 2x = 5$；
(2)$x^2 - 3x + 1 = 0$；
(3)$3x^2 - 9x + 6 = 0$。
(1)$x^2 - 2x = 5$；
(2)$x^2 - 3x + 1 = 0$；
(3)$3x^2 - 9x + 6 = 0$。
答案
3. (1) 解:配方,得$(x - 1)^2 = 6.$
开平方,得$x - 1 = \pm\sqrt{6}$,即$x = 1 \pm\sqrt{6}.$
$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{6},x_2 = 1 - \sqrt{6}.$
(2) 解:移项,得$x^2 - 3x = -1.$
配方,得$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -1 + (\dfrac{3}{2})^2$,即$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{5}{4}.$
开平方,得$x - \dfrac{3}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}$,即$x = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}.$
$\therefore x_1 = \dfrac{\sqrt{5} + 3}{2},x_2 = \dfrac{-\sqrt{5} + 3}{2}.$
(3) 解:移项,得$3x^2 - 9x = -6.$
二次项系数化为1,得$x^2 - 3x = -2.$
配方,得$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = (\dfrac{3}{2})^2 - 2$,即$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{1}{4}.$
开平方,得$x - \dfrac{3}{2} = \pm \dfrac{1}{2}$,即$x = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{1}{2}.$
$\therefore x_1 = 2,x_2 = 1.$
开平方,得$x - 1 = \pm\sqrt{6}$,即$x = 1 \pm\sqrt{6}.$
$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{6},x_2 = 1 - \sqrt{6}.$
(2) 解:移项,得$x^2 - 3x = -1.$
配方,得$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -1 + (\dfrac{3}{2})^2$,即$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{5}{4}.$
开平方,得$x - \dfrac{3}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}$,即$x = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}.$
$\therefore x_1 = \dfrac{\sqrt{5} + 3}{2},x_2 = \dfrac{-\sqrt{5} + 3}{2}.$
(3) 解:移项,得$3x^2 - 9x = -6.$
二次项系数化为1,得$x^2 - 3x = -2.$
配方,得$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = (\dfrac{3}{2})^2 - 2$,即$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{1}{4}.$
开平方,得$x - \dfrac{3}{2} = \pm \dfrac{1}{2}$,即$x = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{1}{2}.$
$\therefore x_1 = 2,x_2 = 1.$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式后开方求解，通用步骤为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧；③等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；④开平方得到两个一元一次方程，求解即可。
各小题对应思路：(1)二次项系数为1、常数项已在右侧，直接加一次项系数-2一半的平方1即可配方；(2)先移项将常数项移到右侧，再加一次项系数-3一半的平方$(\frac{3}{2})^2$配方；(3)先将二次项系数化为1，再按移项、配方步骤求解。
【解析】
(1) 解：配方，得$x^2-2x+1=5+1$，即$(x - 1)^2 = 6$。
开平方，得$x - 1 = \pm\sqrt{6}$，即$x = 1 \pm\sqrt{6}$。
$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{6},x_2 = 1 - \sqrt{6}$。
(2) 解：移项，得$x^2 - 3x = -1$。
配方，得$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -1 + (\dfrac{3}{2})^2$，即$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{5}{4}$。
开平方，得$x - \dfrac{3}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}$，即$x = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}$。
$\therefore x_1 = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2},x_2 = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$。
(3) 解：移项，得$3x^2 - 9x = -6$。
二次项系数化为1，得$x^2 - 3x = -2$。
配方，得$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -2 + (\dfrac{3}{2})^2$，即$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{1}{4}$。
开平方，得$x - \dfrac{3}{2} = \pm \dfrac{1}{2}$，即$x = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{1}{2}$。
$\therefore x_1 = 2,x_2 = 1$。
【答案】
(1)$x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$；
(2)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$；
(3)$x_1=2,x_2=1$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时，要先将二次项系数化为1再配方，配方时等号两边要同时加一次项系数一半的平方，避免漏加或只加单侧的错误。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式后开方求解，通用步骤为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧；③等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；④开平方得到两个一元一次方程，求解即可。
各小题对应思路：(1)二次项系数为1、常数项已在右侧，直接加一次项系数-2一半的平方1即可配方；(2)先移项将常数项移到右侧，再加一次项系数-3一半的平方$(\frac{3}{2})^2$配方；(3)先将二次项系数化为1，再按移项、配方步骤求解。
【解析】
(1) 解：配方，得$x^2-2x+1=5+1$，即$(x - 1)^2 = 6$。
开平方，得$x - 1 = \pm\sqrt{6}$，即$x = 1 \pm\sqrt{6}$。
$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{6},x_2 = 1 - \sqrt{6}$。
(2) 解：移项，得$x^2 - 3x = -1$。
配方，得$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -1 + (\dfrac{3}{2})^2$，即$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{5}{4}$。
开平方，得$x - \dfrac{3}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}$，即$x = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}$。
$\therefore x_1 = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2},x_2 = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$。
(3) 解：移项，得$3x^2 - 9x = -6$。
二次项系数化为1，得$x^2 - 3x = -2$。
配方，得$x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = -2 + (\dfrac{3}{2})^2$，即$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{1}{4}$。
开平方，得$x - \dfrac{3}{2} = \pm \dfrac{1}{2}$，即$x = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{1}{2}$。
$\therefore x_1 = 2,x_2 = 1$。
【答案】
(1)$x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$；
(2)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$；
(3)$x_1=2,x_2=1$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时，要先将二次项系数化为1再配方，配方时等号两边要同时加一次项系数一半的平方，避免漏加或只加单侧的错误。
【难度系数】
0.8
4. 用配方法解一元二次方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$，将它转化为$(x + a)^2 = b$的形式，则$a^b$的值为（
A.$-2027$
B.$2027$
C.$-1$
D.$1$
C
）A.$-2027$
B.$2027$
C.$-1$
D.$1$
答案
4. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆配方法解一元二次方程的步骤：先把常数项移到方程右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，整理成$(x+a)^2=b$的形式后得到$a$、$b$的值，最后计算$a^b$即可。
【解析】
第一步：移项，将常数项移到方程右边，得
$x^2 - 2x = 2026$
第二步：配方，一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，给方程两边同时加1，得
$x^2 - 2x +1 = 2026 +1$
第三步：左侧写成完全平方式，右侧合并常数项，得
$(x - 1)^2 = 2027$
将该式与$(x+a)^2=b$对比，可得$a=-1$，$b=2027$。
第四步：计算$a^b$，即$(-1)^{2027}$，因为2027是奇数，负数的奇次幂为负，所以$(-1)^{2027}=-1$。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、有理数乘方
【点评】
本题核心考查配方法的应用，解题时要注意完全平方式变形时的符号问题，避免误把$a$当成1，同时要掌握负数乘方的符号规律，减少不必要的失分。
【难度系数】
0.65
要解决这道题，首先回忆配方法解一元二次方程的步骤：先把常数项移到方程右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，整理成$(x+a)^2=b$的形式后得到$a$、$b$的值，最后计算$a^b$即可。
【解析】
第一步：移项，将常数项移到方程右边，得
$x^2 - 2x = 2026$
第二步：配方，一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，给方程两边同时加1，得
$x^2 - 2x +1 = 2026 +1$
第三步：左侧写成完全平方式，右侧合并常数项，得
$(x - 1)^2 = 2027$
将该式与$(x+a)^2=b$对比，可得$a=-1$，$b=2027$。
第四步：计算$a^b$，即$(-1)^{2027}$，因为2027是奇数，负数的奇次幂为负，所以$(-1)^{2027}=-1$。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、有理数乘方
【点评】
本题核心考查配方法的应用，解题时要注意完全平方式变形时的符号问题，避免误把$a$当成1，同时要掌握负数乘方的符号规律，减少不必要的失分。
【难度系数】
0.65
5. 求证:无论$x$取何值,代数式$x^2 +8x +18$的值恒大于0.
答案
5. 证明:$\because x^2 + 8x + 18 = x^2 + 8x + 16 + 2 = (x + 4)^2 + 2$,且$(x + 4)^2 ≥ 0,$
$\therefore (x + 4)^2 + 2 ＞ 0. \therefore x^2 + 8x + 18$的值恒大于0.
$\therefore (x + 4)^2 + 2 ＞ 0. \therefore x^2 + 8x + 18$的值恒大于0.
解析
【分析】
要证明代数式的值恒大于0，可采用配方法将二次三项式转化为“完全平方式+正数”的形式，再结合完全平方的非负性推导取值范围。具体思考路径：首先观察代数式的二次项和一次项，一次项系数为8，取其一半的平方为16，因此将常数项18拆分为16+2，即可凑出完全平方式，再根据平方数的非负性可知完全平方式最小为0，加正数后整体最小值大于0，即可得证。
【解析】
证明：对代数式进行配方变形：
$x^2 + 8x + 18 = x^2 + 8x + 16 + 2 = (x + 4)^2 + 2$
根据平方的非负性可得：$(x + 4)^2 ≥ 0$
因此$(x + 4)^2 + 2 ≥ 0 + 2 = 2 ＞ 0$
即可推出无论$x$取何值，代数式$x^2 +8x +18$的值恒大于0。
【答案】
证明:$\because x^2 + 8x + 18 = x^2 + 8x + 16 + 2 = (x + 4)^2 + 2$,且$(x + 4)^2 ≥ 0,$
$\therefore (x + 4)^2 + 2 ＞ 0. \therefore x^2 + 8x + 18$的值恒大于0.
【知识点】
配方法，非负数的性质
【点评】
本题属于代数基础证明题，重点考查配方法的操作和非负数性质的应用，熟练掌握配方的步骤，将二次三项式转化为完全平方式加常数的形式，就能快速判断代数式的取值范围。
【难度系数】
0.8
要证明代数式的值恒大于0，可采用配方法将二次三项式转化为“完全平方式+正数”的形式，再结合完全平方的非负性推导取值范围。具体思考路径：首先观察代数式的二次项和一次项，一次项系数为8，取其一半的平方为16，因此将常数项18拆分为16+2，即可凑出完全平方式，再根据平方数的非负性可知完全平方式最小为0，加正数后整体最小值大于0，即可得证。
【解析】
证明：对代数式进行配方变形：
$x^2 + 8x + 18 = x^2 + 8x + 16 + 2 = (x + 4)^2 + 2$
根据平方的非负性可得：$(x + 4)^2 ≥ 0$
因此$(x + 4)^2 + 2 ≥ 0 + 2 = 2 ＞ 0$
即可推出无论$x$取何值，代数式$x^2 +8x +18$的值恒大于0。
【答案】
证明:$\because x^2 + 8x + 18 = x^2 + 8x + 16 + 2 = (x + 4)^2 + 2$,且$(x + 4)^2 ≥ 0,$
$\therefore (x + 4)^2 + 2 ＞ 0. \therefore x^2 + 8x + 18$的值恒大于0.
【知识点】
配方法，非负数的性质
【点评】
本题属于代数基础证明题，重点考查配方法的操作和非负数性质的应用，熟练掌握配方的步骤，将二次三项式转化为完全平方式加常数的形式，就能快速判断代数式的取值范围。
【难度系数】
0.8
