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1.【例1】用直接开平方法解下列一元二次方程：
(1)$x^2 = 4$；
(2)$x^2 - 121 = 0$。
(1)$x^2 = 4$；
(2)$x^2 - 121 = 0$。
答案
1. (1) 解:开平方,得x = ±2.
∴ x₁ = 2,x₂ = -2.
(2) 解:移项,得x² = 121.
开平方,得x = ±11.
∴ x₁ = 11,x₂ = -11.
∴ x₁ = 2,x₂ = -2.
(2) 解:移项,得x² = 121.
开平方,得x = ±11.
∴ x₁ = 11,x₂ = -11.
解析
【分析】
直接开平方法适用于解形如$x^2=p$（$p≥0$）的一元二次方程，解题核心是利用平方根的定义，将二次方程降次为两个一元一次方程求解。第(1)题已经是$x^2=p$的标准形式，可直接开平方计算；第(2)题需要先移项，把常数项移到等号右侧，化为$x^2=p$的标准形式后再开平方，开平方时注意不要遗漏负根。
【解析】
(1) 对$x^2=4$开平方，得$x=\pm2$
$\therefore x_1=2$，$x_2=-2$
(2) 对$x^2-121=0$移项，得$x^2=121$
开平方，得$x=\pm11$
$\therefore x_1=11$，$x_2=-11$
【答案】
(1) $x_1=2$，$x_2=-2$；(2) $x_1=11$，$x_2=-11$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的定义
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题关键是先将方程整理为左边是含未知数的完全平方式、右边是非负常数的形式，再根据平方根的性质求解，注意开平方后会得到两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.9
直接开平方法适用于解形如$x^2=p$（$p≥0$）的一元二次方程，解题核心是利用平方根的定义，将二次方程降次为两个一元一次方程求解。第(1)题已经是$x^2=p$的标准形式，可直接开平方计算；第(2)题需要先移项，把常数项移到等号右侧，化为$x^2=p$的标准形式后再开平方，开平方时注意不要遗漏负根。
【解析】
(1) 对$x^2=4$开平方，得$x=\pm2$
$\therefore x_1=2$，$x_2=-2$
(2) 对$x^2-121=0$移项，得$x^2=121$
开平方，得$x=\pm11$
$\therefore x_1=11$，$x_2=-11$
【答案】
(1) $x_1=2$，$x_2=-2$；(2) $x_1=11$，$x_2=-11$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的定义
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，解题关键是先将方程整理为左边是含未知数的完全平方式、右边是非负常数的形式，再根据平方根的性质求解，注意开平方后会得到两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.9
2. 用直接开平方法解下列一元二次方程:
(1)$x^2=8$;
(2)$x^2 - \frac{25}{4}=0$.
(1)$x^2=8$;
(2)$x^2 - \frac{25}{4}=0$.
答案
2. (1) 解:开平方,得x = ±√8 = ±2√2.
∴ x₁ = 2√2,x₂ = -2√2.
(2) 解:移项,得x² = 25/4.
开平方,得x = ±√(25/4) = ±5/2.
∴ x₁ = 5/2,x₂ = -5/2.
∴ x₁ = 2√2,x₂ = -2√2.
(2) 解:移项,得x² = 25/4.
开平方,得x = ±√(25/4) = ±5/2.
∴ x₁ = 5/2,x₂ = -5/2.
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程变形为$x^2=p$（$p≥0$）的标准形式，再根据平方根的定义得到$x=\pm\sqrt{p}$，最后化简得到方程的两个根。第(1)题已经符合$x^2=p$的形式，可直接开平方求解，注意开平方后有正负两个根，还要将二次根式化为最简形式；第(2)题需要先移项，把常数项移到等号右侧，整理成$x^2=p$的形式后再开平方，分数开平方时分别对分子、分母开平方即可。
【解析】
(1) 对$x^2=8$开平方，得：
$x = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$
$\therefore x_1 = 2\sqrt{2},x_2 = -2\sqrt{2}$
(2) 对$x^2 - \frac{25}{4}=0$移项，得：
$x^2 = \frac{25}{4}$
开平方，得：
$x = \pm\sqrt{\frac{25}{4}} = \pm\frac{5}{2}$
$\therefore x_1 = \frac{5}{2},x_2 = -\frac{5}{2}$
【答案】
(1) $x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$
(2) $x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{5}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；二次根式化简
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是先将方程转化为左边是含未知数的完全平方式、右边是非负常数的形式，开平方时注意不要漏写负的平方根，同时要正确化简运算结果。
【难度系数】
0.85
用直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程变形为$x^2=p$（$p≥0$）的标准形式，再根据平方根的定义得到$x=\pm\sqrt{p}$，最后化简得到方程的两个根。第(1)题已经符合$x^2=p$的形式，可直接开平方求解，注意开平方后有正负两个根，还要将二次根式化为最简形式；第(2)题需要先移项，把常数项移到等号右侧，整理成$x^2=p$的形式后再开平方，分数开平方时分别对分子、分母开平方即可。
【解析】
(1) 对$x^2=8$开平方，得：
$x = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$
$\therefore x_1 = 2\sqrt{2},x_2 = -2\sqrt{2}$
(2) 对$x^2 - \frac{25}{4}=0$移项，得：
$x^2 = \frac{25}{4}$
开平方，得：
$x = \pm\sqrt{\frac{25}{4}} = \pm\frac{5}{2}$
$\therefore x_1 = \frac{5}{2},x_2 = -\frac{5}{2}$
【答案】
(1) $x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$
(2) $x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{5}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；二次根式化简
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是先将方程转化为左边是含未知数的完全平方式、右边是非负常数的形式，开平方时注意不要漏写负的平方根，同时要正确化简运算结果。
【难度系数】
0.85
3.【例2】用直接开平方法解下列一元二次方程：
(1)$2x^2 = 200$；
(2)$16x^2 - 9 = 0$。
4. 用直接开平方法解下列一元二次方程：
(1)$\frac{1}{2}x^2 = 6$；
(2)$4x^2 - 9 = 7$。
(1)$2x^2 = 200$；
(2)$16x^2 - 9 = 0$。
4. 用直接开平方法解下列一元二次方程：
(1)$\frac{1}{2}x^2 = 6$；
(2)$4x^2 - 9 = 7$。
答案
3. (1) 解:系数化为1,得x² = 100.
开平方,得x = ±10.
∴ x₁ = 10,x₂ = -10.
(2) 解:移项,得16x² = 9.
系数化为1,得x² = 9/16.
开平方,得x = ±√(9/16) = ±3/4.
∴ x₁ = 3/4,x₂ = -3/4.
4. (1) 解:系数化为1,得x² = 12.
开平方,得x = ±√12 = ±2√3.
∴ x₁ = 2√3,x₂ = -2√3.
(2) 解:移项、合并同类项,得4x² = 16.
系数化为1,得x² = 4. 开平方,得x = ±2.
∴ x₁ = 2,x₂ = -2.
开平方,得x = ±10.
∴ x₁ = 10,x₂ = -10.
(2) 解:移项,得16x² = 9.
系数化为1,得x² = 9/16.
开平方,得x = ±√(9/16) = ±3/4.
∴ x₁ = 3/4,x₂ = -3/4.
4. (1) 解:系数化为1,得x² = 12.
开平方,得x = ±√12 = ±2√3.
∴ x₁ = 2√3,x₂ = -2√3.
(2) 解:移项、合并同类项,得4x² = 16.
系数化为1,得x² = 4. 开平方,得x = ±2.
∴ x₁ = 2,x₂ = -2.
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，再对两边同时开平方得到方程的解。解题步骤依次为：先通过移项、合并同类项将常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，确认右侧常数非负后开平方，最后写出两个互为相反数的根即可。
【解析】
3. 用直接开平方法解一元二次方程
(1) $2x^2 = 200$
解：系数化为1，得$x^2 = 100$，
开平方，得$x = ±10$，
$\therefore x_1 = 10,x_2 = -10$。
(2) $16x^2 - 9 = 0$
解：移项，得$16x^2 = 9$，
系数化为1，得$x^2 = \frac{9}{16}$，
开平方，得$x = ±\sqrt{\frac{9}{16}} = ±\frac{3}{4}$，
$\therefore x_1 = \frac{3}{4},x_2 = -\frac{3}{4}$。
4. 用直接开平方法解一元二次方程
(1) $\frac{1}{2}x^2 = 6$
解：系数化为1，得$x^2 = 12$，
开平方，得$x = ±\sqrt{12} = ±2\sqrt{3}$，
$\therefore x_1 = 2\sqrt{3},x_2 = -2\sqrt{3}$。
(2) $4x^2 - 9 = 7$
解：移项、合并同类项，得$4x^2 = 16$，
系数化为1，得$x^2 = 4$，
开平方，得$x = ±2$，
$\therefore x_1 = 2,x_2 = -2$。
【答案】
3. (1) $x_1=10,x_2=-10$；(2) $x_1=\frac{3}{4},x_2=-\frac{3}{4}$
4. (1) $x_1=2\sqrt{3},x_2=-2\sqrt{3}$；(2) $x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的运算
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练，重点考查对直接开平方法适用形式的掌握，解题时要注意将方程正确变形为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，开平方时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.9
直接开平方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，再对两边同时开平方得到方程的解。解题步骤依次为：先通过移项、合并同类项将常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，确认右侧常数非负后开平方，最后写出两个互为相反数的根即可。
【解析】
3. 用直接开平方法解一元二次方程
(1) $2x^2 = 200$
解：系数化为1，得$x^2 = 100$，
开平方，得$x = ±10$，
$\therefore x_1 = 10,x_2 = -10$。
(2) $16x^2 - 9 = 0$
解：移项，得$16x^2 = 9$，
系数化为1，得$x^2 = \frac{9}{16}$，
开平方，得$x = ±\sqrt{\frac{9}{16}} = ±\frac{3}{4}$，
$\therefore x_1 = \frac{3}{4},x_2 = -\frac{3}{4}$。
4. 用直接开平方法解一元二次方程
(1) $\frac{1}{2}x^2 = 6$
解：系数化为1，得$x^2 = 12$，
开平方，得$x = ±\sqrt{12} = ±2\sqrt{3}$，
$\therefore x_1 = 2\sqrt{3},x_2 = -2\sqrt{3}$。
(2) $4x^2 - 9 = 7$
解：移项、合并同类项，得$4x^2 = 16$，
系数化为1，得$x^2 = 4$，
开平方，得$x = ±2$，
$\therefore x_1 = 2,x_2 = -2$。
【答案】
3. (1) $x_1=10,x_2=-10$；(2) $x_1=\frac{3}{4},x_2=-\frac{3}{4}$
4. (1) $x_1=2\sqrt{3},x_2=-2\sqrt{3}$；(2) $x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的运算
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练，重点考查对直接开平方法适用形式的掌握，解题时要注意将方程正确变形为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，开平方时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.9
5.【例3】用直接开平方法解下列一元二次方程：
(1) $(x+5)^2 = 4$；
(2) $4(2x-1)^2 = 36$。
6. 用直接开平方法解下列一元二次方程：
(1) $100(1-x)^2 = 121$；
(2) $2(3x-2)^2 - 18 = 0$。
(1) $(x+5)^2 = 4$；
(2) $4(2x-1)^2 = 36$。
6. 用直接开平方法解下列一元二次方程：
(1) $100(1-x)^2 = 121$；
(2) $2(3x-2)^2 - 18 = 0$。
答案
5. (1) 解:开平方,得x + 5 = ±2.
∴ x = -5 ±2.
∴ x₁ = -3,x₂ = -7.
(2) 解:整理,得(2x - 1)² = 9.
开平方,得2x - 1 = ±3.
∴ x₁ = 2,x₂ = -1.
6. (1) 解:整理,得(x - 1)² = 1.21.
开平方,得x - 1 = ±1.1.
∴ x₁ = 2.1,x₂ = -0.1.
(2) 解:整理,得(3x - 2)² = 9.
开平方,得3x - 2 = ±3.
∴ x₁ = 5/3,x₂ = -1/3.
∴ x = -5 ±2.
∴ x₁ = -3,x₂ = -7.
(2) 解:整理,得(2x - 1)² = 9.
开平方,得2x - 1 = ±3.
∴ x₁ = 2,x₂ = -1.
6. (1) 解:整理,得(x - 1)² = 1.21.
开平方,得x - 1 = ±1.1.
∴ x₁ = 2.1,x₂ = -0.1.
(2) 解:整理,得(3x - 2)² = 9.
开平方,得3x - 2 = ±3.
∴ x₁ = 5/3,x₂ = -1/3.
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程，核心是利用平方根的定义，把含未知数的完全平方式看作一个整体：第一步先将方程整理为“(含未知数的整式)² = 非负常数”的形式；第二步对等式两边同时开平方，将二次方程降次为两个一元一次方程；第三步分别求解两个一次方程，即可得到原方程的两个根，注意开平方时右边要同时取正负两个值，避免漏解。
【解析】
5. (1) 原方程为$(x+5)^2 = 4$，将$x+5$看作整体开平方，得$x + 5 = ±2$。
移项得$x = -5 ±2$，
取正号时：$x_1 = -5 + 2 = -3$，取负号时：$x_2 = -5 -2 = -7$。
(2) 原方程为$4(2x-1)^2 = 36$，两边同时除以4将平方项系数化为1，整理得$(2x - 1)^2 = 9$，
开平方得$2x - 1 = ±3$，
当$2x-1=3$时，$2x=4$，解得$x_1=2$；当$2x-1=-3$时，$2x=-2$，解得$x_2=-1$。
6. (1) 原方程为$100(1-x)^2 = 121$，两边同时除以100，整理得$(x-1)^2 = 1.21$，
开平方得$x - 1 = ±1.1$，
当$x-1=1.1$时，解得$x_1=2.1$；当$x-1=-1.1$时，解得$x_2=-0.1$。
(2) 原方程为$2(3x-2)^2 - 18 = 0$，先移项得$2(3x-2)^2 = 18$，两边同时除以2，整理得$(3x - 2)^2 = 9$，
开平方得$3x - 2 = ±3$，
当$3x-2=3$时，$3x=5$，解得$x_1=\frac{5}{3}$；当$3x-2=-3$时，$3x=-1$，解得$x_2=-\frac{1}{3}$。
【答案】
5. (1) $x_1 = -3,x_2 = -7$
(2) $x_1 = 2,x_2 = -1$
6. (1) $x_1 = 2.1,x_2 = -0.1$
(2) $x_1 = \frac{5}{3},x_2 = -\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是先将方程转化为完全平方式等于非负常数的形式，开平方时要注意同时考虑正负两种情况，避免漏解，熟练掌握该方法能为后续学习其他解一元二次方程的方法打下良好基础。
【难度系数】
0.8
用直接开平方法解一元二次方程，核心是利用平方根的定义，把含未知数的完全平方式看作一个整体：第一步先将方程整理为“(含未知数的整式)² = 非负常数”的形式；第二步对等式两边同时开平方，将二次方程降次为两个一元一次方程；第三步分别求解两个一次方程，即可得到原方程的两个根，注意开平方时右边要同时取正负两个值，避免漏解。
【解析】
5. (1) 原方程为$(x+5)^2 = 4$，将$x+5$看作整体开平方，得$x + 5 = ±2$。
移项得$x = -5 ±2$，
取正号时：$x_1 = -5 + 2 = -3$，取负号时：$x_2 = -5 -2 = -7$。
(2) 原方程为$4(2x-1)^2 = 36$，两边同时除以4将平方项系数化为1，整理得$(2x - 1)^2 = 9$，
开平方得$2x - 1 = ±3$，
当$2x-1=3$时，$2x=4$，解得$x_1=2$；当$2x-1=-3$时，$2x=-2$，解得$x_2=-1$。
6. (1) 原方程为$100(1-x)^2 = 121$，两边同时除以100，整理得$(x-1)^2 = 1.21$，
开平方得$x - 1 = ±1.1$，
当$x-1=1.1$时，解得$x_1=2.1$；当$x-1=-1.1$时，解得$x_2=-0.1$。
(2) 原方程为$2(3x-2)^2 - 18 = 0$，先移项得$2(3x-2)^2 = 18$，两边同时除以2，整理得$(3x - 2)^2 = 9$，
开平方得$3x - 2 = ±3$，
当$3x-2=3$时，$3x=5$，解得$x_1=\frac{5}{3}$；当$3x-2=-3$时，$3x=-1$，解得$x_2=-\frac{1}{3}$。
【答案】
5. (1) $x_1 = -3,x_2 = -7$
(2) $x_1 = 2,x_2 = -1$
6. (1) $x_1 = 2.1,x_2 = -0.1$
(2) $x_1 = \frac{5}{3},x_2 = -\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是先将方程转化为完全平方式等于非负常数的形式，开平方时要注意同时考虑正负两种情况，避免漏解，熟练掌握该方法能为后续学习其他解一元二次方程的方法打下良好基础。
【难度系数】
0.8
