5.【例3】如图,已知反比例函数的图象经过点A.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)判断点$B(4,-2)$,$C(3,-3)$是否在这个函数的图象上？

5. 解:(1)设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把点 $A(-2,4)$代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $4=\frac{k}{-2}$. 解得 $k=-8$.
∴ 反比例函数的解析式为 $y = -\frac{8}{x}$.
(2)
∵ $4 × (-2) = -8$,
∴ 点 B 在此函数的图象上.
∵ $3 × (-3) = -9≠-8$,
∴ 点 C 不在此函数的图象上.

【分析】
（1）求反比例函数解析式时，首先明确反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，仅含有1个未知系数$k$，只需代入1个图象上的已知点坐标即可求出$k$。首先从图中读取点$A$的坐标为$(-2,4)$，将其代入一般式即可求解$k$，进而得到函数解析式。
（2）判断点是否在反比例函数图象上的依据是：若点的坐标满足函数解析式，则点在图象上，反之则不在。反比例函数$y=\frac{k}{x}$可变形为$xy=k$，因此只需计算待判断点的横、纵坐标的乘积，判断结果是否等于$k$即可快速得出结论。
【解析】
(1) 设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点 $A(-2,4)$代入 $y=\frac{k}{x}$，得 $4=\frac{k}{-2}$，
解得 $k=-8$，
∴ 反比例函数的解析式为 $y = -\frac{8}{x}$。
(2) 由反比例函数$y=-\frac{8}{x}$可得$xy=-8$：
∵ $4 × (-2) = -8$，满足解析式的变形关系，
∴ 点$B(4,-2)$在此函数的图象上。
∵ $3 × (-3) = -9≠-8$，不满足解析式的变形关系，
∴ 点$C(3,-3)$不在这个函数的图象上。
【答案】
(1) 反比例函数的解析式为 $\boldsymbol{y=-\dfrac{8}{x}}$；
(2) 点$B(4,-2)$在该函数图象上，点$C(3,-3)$不在该函数图象上。
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础典型题，核心考查反比例函数解析式的求解方法以及函数图象与点坐标的对应关系，解题时利用$xy=k$的变形可简化计算步骤，有助于巩固反比例函数的基础概念。
【难度系数】
0.8

6. 反比例函数$y=\frac{k+1}{x}$的图象经过点$A(2, -2)$。
(1) 求$k$的值及反比例函数的解析式；
(2) 判断点$B(4,1), C(-2,2)$是否在此函数的图象上？

6. 解:(1)把点 $A(2,-2)$代入 $y=\frac{k+1}{x}$中,
得 $-2=\frac{k+1}{2}$. 解得 $k=-5$.
∴ $y=\frac{-5+1}{x}=-\frac{4}{x}$.
∴ 反比例函数的解析式为 $y = -\frac{4}{x}$.
(2)
∵ $4 × 1 =4≠-4$,
∴ 点 B 不在此函数的图象上.
∵ $(-2) ×2 = -4$,
∴ 点 C 在此函数的图象上.

【分析】
第(1)问解题思路：已知反比例函数图象经过点A，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将点A的横、纵坐标代入给定的反比例函数表达式，就能得到关于k的一元一次方程，解方程求出k后，代回原表达式即可得到完整的反比例函数解析式。
第(2)问解题思路：判断点是否在反比例函数图象上，可利用反比例函数的性质：对于$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m≠0$），图象上任意点的横、纵坐标乘积等于$m$。只需计算待判断点的横纵坐标乘积，和$m$对比即可，相等则点在图象上，反之则不在。
【解析】
(1) 把点$A(2,-2)$代入$y=\frac{k+1}{x}$中，得：
$-2=\frac{k+1}{2}$
方程两边同乘2得：$-4=k+1$
解得$k=-5$
将$k=-5$代入原解析式，得$y=\frac{-5+1}{x}=-\frac{4}{x}$
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=-\frac{4}{x}$，变形得$xy=-4$：
对于点$B(4,1)$，计算横纵坐标乘积：$4×1=4≠-4$，因此点B不在此函数图象上；
对于点$C(-2,2)$，计算横纵坐标乘积：$(-2)×2=-4$，因此点C在此函数图象上。
【答案】
(1) $k=-5$，反比例函数的解析式为$y = -\frac{4}{x}$；
(2) 点B不在此函数的图象上，点C在此函数的图象上。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，考察核心性质的直接应用，理解函数图象与点坐标的对应关系就能轻松求解，是巩固反比例函数基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.9

1. 反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象是 , 位于 象限, 在每一个象限内, y 随 x 的增大而 .

1. 双曲线 第一、第三 减小

【分析】
解题时先回忆反比例函数的基础性质：首先明确反比例函数的通用图象名称，再根据比例系数k的正负判断图象所在象限，最后根据k的符号推导其增减性即可。本题中先确定函数的比例系数k=1，再对应性质填空。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）：
1. 所有反比例函数的图象都是双曲线，因此第一空填双曲线；
2. 本题中$k=1＞0$，当$k＞0$时，反比例函数图象位于第一、第三象限，因此第二空填第一、第三；
3. 当$k＞0$时，反比例函数在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小，因此第三空填减小。
【答案】
双曲线；第一、第三；减小
【知识点】
反比例函数的图象特征；反比例函数的象限判断；反比例函数的增减性
【点评】
本题是对反比例函数基础性质的直接考查，属于基础题型，只要熟记比例系数$k$的符号与图象、象限、增减性的对应规律，即可快速得分。
【难度系数】
0.9

2. (2025 浙江)已知反比例函数 $y = -\dfrac{7}{x}$. 下列选项正确的是 ()

A.函数图象在第一、第三象限
B.y 随 x 的增大而减小
C.函数图象在第二、第四象限
D.y 随 x 的增大而增大

2. C

【分析】
解决这道题需要结合反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质逐一判断选项：第一步先确定$k$的符号，本题中$k=-7＜0$，据此可判断函数图象所在象限，排除错误选项；第二步分析增减性，注意反比例函数的增减性必须满足“在每个象限内”的前提，不符合该前提的增减性表述都是错误的，最终选出正确选项。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
1. 图象象限判断：当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。
本题中$k=-7＜0$，因此函数图象在第二、第四象限，故A选项错误，C选项正确。
2. 增减性判断：当$k＜0$时，仅在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，若缺少“在每个象限内”的前提，直接表述$y$随$x$的增大而增大/减小都是错误的，因此B、D选项错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象象限判断；反比例函数的增减性
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，易错点是判断增减性时忽略“在同一象限内”的前提条件，掌握核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. (2025重庆)反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$的图象一定经过的点是（）

A.$(2,6)$
B.$(-4,-3)$
C.$(-3,-4)$
D.$(6,-2)$

3. D

【分析】
要判断点是否在反比例函数图象上，核心依据是：反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意点的横、纵坐标乘积等于比例系数$k$。本题中$k=-12$，因此只需逐一计算各选项中点的横纵坐标乘积，看是否等于$-12$即可选出正确答案。
【解析】
对反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$变形可得：$xy=-12$，即图象上所有点的横坐标与纵坐标的乘积为$-12$。
选项A：$2×6=12≠-12$，该点不在函数图象上；
选项B：$(-4)×(-3)=12≠-12$，该点不在函数图象上；
选项C：$(-3)×(-4)=12≠-12$，该点不在函数图象上；
选项D：$6×(-2)=-12$，满足$xy=-12$，该点在函数图象上。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数点的坐标特征、反比例函数性质
【点评】
本题是基础考查题，解题关键是掌握反比例函数图象上点的坐标的运算规律，计算难度低，只要细心验证即可得分。
【难度系数】
0.9

4.（开放性题目）已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、第三象限，则实数$k$的值可以是.(只需写出一个符合条件的实数)

4. 1(答案不唯一,k＞0即可)

【分析】
首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：当$k＞0$时，函数图象位于第一、第三象限；当$k＜0$时，函数图象位于第二、第四象限。本题已知图象在第一、第三象限，所以只需要找出任意一个大于0的实数作为$k$的值即可。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，其图象所在象限由系数$k$的符号决定：
若图象位于第一、第三象限，则$k＞0$，
因此只需填写任意一个正实数即可，例如取$k=1$。
【答案】
1（答案不唯一，$k＞0$即可）
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查反比例函数系数与图象位置的对应关系，掌握基本性质即可快速作答，答案不唯一，满足取值范围要求均正确。
【难度系数】
0.9

5. 关于反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象，下列说法正确的是 （）

A.图象经过点(1,1)
B.两个分支分布在第二、第四象限
C.两个分支关于x轴成轴对称
D.当$x＜0$时，y随x的增大而减小

5. D

【分析】
本题可根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的相关性质，逐个验证选项是否正确：首先通过代入坐标判断点是否在函数图象上；再根据$k$的正负判断图象所在象限、增减性；最后结合反比例函数的对称性判断相关表述是否正确，最终选出正确选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 将$x=1$代入$y=\frac{8}{x}$，得$y=\frac{8}{1}=8≠1$，因此点$(1,1)$不在函数图象上，A错误；
B. 该反比例函数中$k=8＞0$，因此图象的两个分支分布在第一、第三象限，B错误；
C. 反比例函数的两个分支关于原点成中心对称，也关于直线$y=x$、$y=-x$成轴对称，但不关于$x$轴对称（例如图象上点$(2,4)$关于$x$轴对称的点$(2,-4)$不在函数图象上），C错误；
D. 当$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，$x＜0$对应第三象限的分支，因此该区间内$y$随$x$的增大而减小，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数点坐标验证
2. 反比例函数图象对称性
3. 反比例函数增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，难度较低，掌握$k$的取值对反比例函数图象位置、增减性的影响，以及基础的坐标代入验证方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8