1.【例1】先填表，然后在平面直角坐标系中画出反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象.
|$x$|…|$-6$|$-3$|$-2$|$-1$|$1$|$2$|$3$|$6$|…|
|$y$|…|||||||||…|

观察图象填空：
（1）反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象分别位于 象限；
（2）在每一个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而 .
2. 先填表，然后在平面直角坐标系中画出反比例函数 $y=-\frac{6}{x}$ 的图象.
|$x$|…|$-6$|$-3$|$-2$|$-1$|$1$|$2$|$3$|$6$|…|
|$y$|…|||||||||…|

观察图象填空：
（1）反比例函数 $y=-\frac{6}{x}$ 的图象分别位于 象限；
（2）在每一个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而 .

1. 解：-1 -2 -3 -6 6 3 2 1，函数图象如图所示。
（1）第一、第三 （2）减小
2. 解：1 2 3 6 -6 -3 -2 -1，函数图象如图所示。
（1）第二、第四 （2）增大

【分析】
解题分为两步：第一步计算表格中y的值，将表中给出的x值分别代入对应的反比例函数解析式，计算得到对应的y值即可；第二步判断图象位置和增减性，回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质：当$k＞0$时，图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，结合k的符号直接判断即可，也可结合画出的图象验证结论。
【解析】
第1题（$y=\frac{6}{x}$）
1. 计算表格中y的值：
将x依次代入解析式计算：
$x=-6$时，$y=\frac{6}{-6}=-1$；
$x=-3$时，$y=\frac{6}{-3}=-2$；
$x=-2$时，$y=\frac{6}{-2}=-3$；
$x=-1$时，$y=\frac{6}{-1}=-6$；
$x=1$时，$y=\frac{6}{1}=6$；
$x=2$时，$y=\frac{6}{2}=3$；
$x=3$时，$y=\frac{6}{3}=2$；
$x=6$时，$y=\frac{6}{6}=1$。
根据所得坐标描点连线即可画出图象。
2. 性质判断：
（1）$k=6＞0$，因此反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象位于第一、第三象限；
（2）结合图象可得，在每一个象限内，y随x的增大而减小。
---
第2题（$y=-\frac{6}{x}$）
1. 计算表格中y的值：
将x依次代入解析式计算：
$x=-6$时，$y=\frac{-6}{-6}=1$；
$x=-3$时，$y=\frac{-6}{-3}=2$；
$x=-2$时，$y=\frac{-6}{-2}=3$；
$x=-1$时，$y=\frac{-6}{-1}=6$；
$x=1$时，$y=\frac{-6}{1}=-6$；
$x=2$时，$y=\frac{-6}{2}=-3$；
$x=3$时，$y=\frac{-6}{3}=-2$；
$x=6$时，$y=\frac{-6}{6}=-1$。
根据所得坐标描点连线即可画出图象。
2. 性质判断：
（1）$k=-6＜0$，因此反比例函数$y=-\frac{6}{x}$的图象位于第二、第四象限；
（2）结合图象可得，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
【答案】
1. 表格依次填：$-1$、$-2$、$-3$、$-6$、$6$、$3$、$2$、$1$，函数图象如图所示。
（1）第一、第三；（2）减小
2. 表格依次填：$1$、$2$、$3$、$6$、$-6$、$-3$、$-2$、$-1$，函数图象如图所示。
（1）第二、第四；（2）增大
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，重点需要掌握反比例函数中k的符号与图象所在象限、增减性的对应规律，代入计算函数值时要注意符号，避免出错。
【难度系数】
0.8

＞小结 反比例函数的图象与性质
| 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象是 | $k$ | 图象 | 性质 |
| --- | --- | --- | --- |
| | $k＞0$ | | 图象的两支分别位于象限；在每一个象限内，$y$随$x$的增大而 |
| | $k＜0$ | | 图象的两支分别位于象限；在每一个象限内，$y$随$x$的增大而 |

小结 双曲线 第一、第三 减小 第二、第四 增大

【分析】
我们结合反比例函数的定义和性质推导填空即可：1. 首先回忆反比例函数的图象形态，它是两条不与坐标轴相交的曲线，名称为双曲线；2. 分析$k＞0$的情况：$k$是$x$和$y$的乘积，$k＞0$说明$x$和$y$同号，$x$正$y$正对应第一象限，$x$负$y$负对应第三象限，此时$x$增大，$\frac{k}{x}$的结果会变小，所以$y$随$x$的增大而减小；3. 分析$k＜0$的情况：$k＜0$说明$x$和$y$异号，$x$负$y$正对应第二象限，$x$正$y$负对应第四象限，此时$x$增大，$\frac{k}{x}$的结果会变大，所以$y$随$x$的增大而增大。
【解析】
1. 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$的图象是双曲线；
2. 当$k＞0$时：$x$和$y$符号相同，因此图象两支分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，$x$增大时$\frac{k}{x}$的值减小，即$y$随$x$的增大而减小；
3. 当$k＜0$时：$x$和$y$符号相反，因此图象两支分别位于第二、第四象限；在每一个象限内，$x$增大时$\frac{k}{x}$的值增大，即$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
双曲线；第一、第三；减小；第二、第四；增大
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质；k与图象的关系
【点评】
本题考查反比例函数的基础图象和性质，属于基础概念题，解题关键是明确$k$的符号和图象位置、增减性的对应关系，注意增减性的描述必须限定“在每一个象限内”，不能跨象限比较函数值大小。
【难度系数】
0.9

3.【例2】反比例函数$y = -\dfrac{3}{x}$的图象是________，位于________象限，在每一个象限内，y随x的增大而________。

双曲线 第二、第四 增大

【分析】
本题考查反比例函数的基本性质，解题思路如下：①先回忆反比例函数的通用图象特征；②提取解析式中的比例系数k，判断k的正负；③根据k的正负对应推导图象所在象限以及增减性即可。
【解析】
1. 反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），所有反比例函数的图象都是双曲线，因此第一个空填双曲线；
2. 本题中$k=-3＜0$，根据反比例函数性质，当$k＜0$时，图象位于第二、第四象限，因此第二个空填第二、第四；
3. 当$k＜0$时，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大，因此第三个空填增大。
【答案】
双曲线 第二、第四 增大
【知识点】
反比例函数图象特征、反比例函数象限性质、反比例函数增减性
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握反比例函数中比例系数$k$的正负与图象、象限、增减性的对应规律，解答时要注意增减性的前提是“在每一个象限内”，避免笼统判断出错。
【难度系数】
0.9

4. 已知反比例函数 $ y = \frac{3 - k}{x} $，分别根据下列条件写出字母k的取值范围：
(1)函数图象位于第一、第三象限：；
(2)在每一个象限内，y随x的增大而增大：。

4. (1) $k＜3$ (2) $k＞3$

【分析】
要解决这道题，首先需回忆反比例函数$ y = \frac{A}{x} $（$ A $为比例系数，$ A≠0 $）的核心性质：①当$ A＞0 $时，函数图象位于第一、第三象限，且在每一个象限内，$ y $随$ x $的增大而减小；②当$ A＜0 $时，函数图象位于第二、第四象限，且在每一个象限内，$ y $随$ x $的增大而增大。本题中反比例函数的比例系数为$ 3-k $，我们只需根据两个小问的条件，分别列出关于$ k $的不等式，求解不等式即可得到$ k $的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$ y = \frac{3 - k}{x} $，其比例系数为$ 3-k $。
(1) 若函数图象位于第一、第三象限，根据反比例函数性质，需满足比例系数大于0：
$ 3 - k ＞ 0 $
移项得：$ k ＜ 3 $
(2) 若在每一个象限内，$ y $随$ x $的增大而增大，根据反比例函数性质，需满足比例系数小于0：
$ 3 - k ＜ 0 $
移项得：$ k ＞ 3 $
【答案】
(1) $ k＜3 $；(2) $ k＞3 $
【知识点】
反比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，重点考查比例系数的符号与函数图象位置、增减性的对应关系，熟练掌握核心性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8