5.【例3】(跨学科)一个物体重100 N,物体对地面的压强为p(单位:Pa),物体与地面的接触面积为S(单位:$\mathrm{m}^2$).
(1)求压强p关于接触面积S的函数解析式;
(2)当物体与地面的接触面积S为4 $\mathrm{m}^2$时,该物体对地面的压强是多少?

解:(1)由题意,得 $pS=100$.
$\therefore p$ 关于 $S$ 的函数解析式为 $p=\dfrac{100}{S}$.
(2)把 $S=4$ 代入 $p=\dfrac{100}{S}$,得 $p=\dfrac{100}{4}=25(\mathrm{Pa})$.
$\therefore$ 该物体对地面的压强是 25 Pa.

【分析】
解题时首先结合物理学科的压强公式：压强=压力÷受力面积，本题中物体对地面的压力等于自身重力100N，是固定值。（1）问将压力代入公式，变形整理即可得到压强p关于接触面积S的函数解析式；（2）问属于已知自变量的值求对应函数值，直接将S=4代入第一问得到的函数解析式计算即可。
【解析】
(1) 由题意可知，物体对地面的压力等于其重力，为100N，根据压强与压力、受力面积的关系可得$pS=100$，因此p关于S的函数解析式为 $p=\dfrac{100}{S}$。
(2) 把$S=4\ \mathrm{m}^2$代入$p=\dfrac{100}{S}$，得$p=\dfrac{100}{4}=25(\mathrm{Pa})$。
【答案】
(1) $p=\dfrac{100}{S}$；
(2) 25 Pa
【知识点】
反比例函数实际应用，代入法求函数值，压强公式
【点评】
本题为跨学科基础应用题，结合物理压强知识考查反比例函数的基本应用，解题核心是明确题目中的定量与变量关系，同时注意自变量的取值需符合实际场景要求。
【难度系数】
0.85

6.某货轮若以每小时10千米的速度从A港航行到B港,则需要6小时.
(1)写出货轮从A港航行到B港的时间t(单位:时)关于速度v(单位:千米/时)的函数解析式;
(2)如果货轮的速度为12千米/时,那么从A港航行到B港需几小时?

解:(1)$\because$ 路程为 $10 × 6=60$(千米),$\therefore vt=60$.
$\therefore$ 时间 $t$ 关于速度 $v$ 的函数解析式为 $t=\dfrac{60}{v}$.
(2)当 $v=12$ 千米/时时,$t=\dfrac{60}{12}=5$(时).
答:从 A 港航行到 B 港需 5 小时.

【分析】
本题围绕行程问题的不变量（总路程）展开思考：第(1)问首先需要根据已知的航行速度和时间算出A港到B港的固定总路程，再利用“路程=速度×时间”的等量关系，代入速度v和时间t，整理变形即可得到t关于v的函数解析式；第(2)问直接将给定的速度值代入第(1)问求出的函数解析式，计算即可得到对应的航行时间。
【解析】
(1) 先计算A港到B港的总路程：已知货轮速度为10千米/时时，航行时间为6小时，因此总路程为$10 × 6=60$（千米）。
根据行程公式“路程=速度×时间”，可得$vt=60$，整理得时间t关于速度v的函数解析式为$t=\dfrac{60}{v}$。
(2) 当货轮速度$v=12$千米/时时，将$v=12$代入解析式$t=\dfrac{60}{v}$中，计算得$t=\dfrac{60}{12}=5$（时）。
【答案】
(1) $t=\dfrac{60}{v}$；(2) 5小时
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 行程问题基本关系
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，核心是抓住行程问题中的不变量（总路程）建立函数关系，侧重考查学生对基础数量关系的运用和代入求值的能力，解题的关键是先求出两地的固定路程。
【难度系数】
0.9

1. 下列关系式中，$y$是$x$的反比例函数的是（）

A.$y=\dfrac{k}{x}$
B.$-2xy=1$
C.$y=\dfrac{1}{2x+1}$
D.$y=\dfrac{1}{x^2}$

1. B

【分析】
要判断y是否是x的反比例函数，首先要明确反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠ 0$）的函数叫做反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k$为常数，$k≠ 0$）或$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠ 0$）的形式。解题时我们可以依据定义的三个核心要点逐一判断选项：①比例系数$k$不为0；②自变量$x$的次数为$-1$（即分母是$x$的一次单项式）；③分母中仅含有自变量$x$，不含其他常数项或更高次项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$y=\dfrac{k}{x}$未说明常数$k≠ 0$，若$k=0$，则$y=0$是常数函数，不是反比例函数，故A错误；
选项B：将$-2xy=1$变形可得$y=-\dfrac{1}{2x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=-\dfrac{1}{2}≠ 0$，满足反比例函数定义，故B正确；
选项C：$y=\dfrac{1}{2x+1}$的分母是$2x+1$（含常数项的一次二项式），不是仅含$x$的单项式，不符合反比例函数定义，故C错误；
选项D：$y=\dfrac{1}{x^2}$中$x$的次数是$-2$，不符合反比例函数中自变量次数为$-1$的要求，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数的识别
【点评】
本题是反比例函数判定的基础题，解题的关键是牢记反比例函数的定义及隐含条件，尤其要注意常见的易错点：如$y=\dfrac{k}{x}$形式中$k≠ 0$的要求、自变量的次数要求、分母的形式要求，避免因忽略细节误判。
【难度系数】
0.7

2. 反比例函数 $y=\frac{π}{x}$ 中 $k=$ .

2. $π$

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的标准形式：反比例函数的一般表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），其中$k$就是比例系数。本题只需将给出的函数表达式和一般式做对照，找出对应的常数项即可，要注意$π$是固定的无理数，属于常数，不是未知数。
【解析】
解：根据反比例函数的定义，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数为反比例函数，其中$k$为比例系数。
将题目中的函数$y=\frac{π}{x}$与一般式对比，可得对应的常数$k=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查对反比例函数基本形式的识别，解题时需注意$π$是固定常数，不要误将其当作变量判断。
【难度系数】
0.9

3. (2025 辽宁)在电压不变的情况下,电流$ I $(单位:A)与电阻$ R $(单位:$ \Omega $)是反比例函数关系.当$ R=4 $时,$ I=5 $.则电流$ I $与电阻$ R $之间的函数表达式为$ I=\_\_\_\_\_\_ $.

$\dfrac{20}{R}$

【分析】
本题考查反比例函数解析式的求解，解题思路如下：首先根据题目给出的“电流I与电阻R是反比例函数关系”，回忆反比例函数的一般形式，设出含未知系数k的函数表达式；再将已知的R、I的对应值代入表达式，求解出比例系数k；最后将k代回所设的表达式，即可得到所求的函数关系式。
【解析】
解：
∵电流I与电阻R是反比例函数关系，
∴设函数表达式为$ I=\frac{k}{R} $（$ k≠0 $，k为常数）。
将$ R=4 $，$ I=5 $代入表达式，得：
$ 5=\frac{k}{4} $
解得$ k=4×5=20 $。
将$ k=20 $代入$ I=\frac{k}{R} $，可得电流I与电阻R之间的函数表达式为$ I=\frac{20}{R} $。
【答案】
$\dfrac{20}{R}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，解题关键是牢记反比例函数的一般形式，代入已知对应值正确计算比例系数。
【难度系数】
0.9

4.已知变量y与变量x之间的部分对应值如下表：

则变量y与x之间的函数关系式为，
当$x=-\frac{1}{2}$时，y=。

4. $y=\dfrac{6}{x}$ ，$-12$

【分析】
遇到给出x、y对应值求函数关系式的题目，首先观察二者的运算规律：若乘积为定值则符合反比例函数特征，若比值为定值则符合正比例函数特征。本题先计算每组x和y的乘积，可发现乘积均为6，符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠ 0$）中$xy=k$的特征，即可确定k值得到函数关系式；再将$x=-\frac{1}{2}$代入解析式就能求出对应的y值。
【解析】
1. 求函数关系式：
观察表格数据，计算每组x与y的乘积：
$1× 6=6$，$2× 3=6$，$3× 2=6$，$4× 1.5=6$，$5× 1.2=6$，$6× 1=6$，
可知x与y的乘积为定值6，因此y是x的反比例函数，设$y=\frac{k}{x}(k≠ 0)$，则$k=xy=6$，故函数关系式为$y=\frac{6}{x}$。
2. 求$x=-\frac{1}{2}$时的y值：
将$x=-\frac{1}{2}$代入$y=\frac{6}{x}$，得：
$y=\frac{6}{-\frac{1}{2}}=6×(-2)=-12$。
【答案】
$y=\dfrac{6}{x}$；$-12$
【知识点】
反比例函数的定义；求反比例函数解析式；反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题关键是通过观察数据发现x与y的乘积为定值，从而快速确定函数类型，代入求值为常规计算，整体难度较低。
【难度系数】
0.8

5. (1)若$xy=a+3$是$y$关于$x$的反比例函数，则$a$的取值范围为；
(2)若$y=(a+1)x^{a^2 -2}$是$y$关于$x$的反比例函数，则$a$的值为。

5. (1) $a≠ -3$ (2) 1

【分析】
本题考查反比例函数定义的应用，解题思路如下：
(1) 反比例函数可变形为$xy=k$（$k$为常数，且$k≠0$），因此只需令本题中常数项$a+3$不等于0，即可求出$a$的取值范围；
(2) 反比例函数的一般形式还可写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），因此需要同时满足两个条件：一是$x$的指数为$-1$，二是$x$的系数不为0，联立求解即可得到$a$的值。
【解析】
(1) 已知$xy=a+3$是$y$关于$x$的反比例函数，根据反比例函数的性质，等式右侧的常数不能为0，即：
$a+3≠0$
解得：$a≠-3$
(2) 已知$y=(a+1)x^{a^2 -2}$是$y$关于$x$的反比例函数，根据反比例函数$y=kx^{-1}(k≠0)$的定义，可得：
$\begin{cases}a^2 -2 = -1 \\a+1≠0\end{cases}$
先解$a^2 -2 = -1$，移项得$a^2=1$，解得$a=1$或$a=-1$；
再结合$a+1≠0$即$a≠-1$，舍去$a=-1$，因此$a=1$。
【答案】
(1) $a≠ -3$；(2) $1$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 解一元二次方程
3. 不等式求解
【点评】
本题属于反比例函数定义的基础应用题，解题的关键是牢记反比例函数的两个核心限制条件：一是比例系数不为0，二是自变量的次数为-1，避免因漏考虑系数不为0的条件出现错解。
【难度系数】
0.8

6. 如图,已知菱形ABCD的面积为180,设它的两条对角线AC,BD的长分别为x,y.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)y是x的反比例函数吗?
(3)当对角线AC的长为18时,求对角线BD的长.

6. 解:(1)
∵ 菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，
∴ $S_{菱形ABCD} = \dfrac{1}{2}xy$.
又
∵ 菱形的面积为 180,
∴ $\dfrac{1}{2}xy = 180$,即 $y = \dfrac{360}{x}$.
∴ y 与 x 之间的函数关系式为 $y = \dfrac{360}{x}$.
(2)y 是 x 的反比例函数.
(3)把 $x = 18$ 代入 $y = \dfrac{360}{x}$,得 $y = \dfrac{360}{18} = 20$.
∴ 对角线 BD 的长为 20.

【分析】
解题可按三步展开：①处理第(1)问时，先回忆菱形面积公式：菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半，结合题目给出的面积定值，代入后整理等式即可得到y与x的函数关系式；②处理第(2)问时，对照反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，k为不等于0的常数的函数为反比例函数），判断第(1)问得到的函数式是否符合该形式即可；③处理第(3)问时，将给出的x的取值代入第(1)问得到的函数关系式，计算即可得到BD的长度。
【解析】
(1) 根据菱形的面积计算公式，可得：
$S_{菱形ABCD} = \dfrac{1}{2}AC· BD = \dfrac{1}{2}xy$
已知菱形ABCD的面积为180，代入得：
$\dfrac{1}{2}xy = 180$
整理后得$y = \dfrac{360}{x}$，即y与x之间的函数关系式为$y = \dfrac{360}{x}$。
(2) 第(1)问所得的关系式$y = \dfrac{360}{x}$符合反比例函数的形式，因此y是x的反比例函数。
(3) 将$x = 18$代入$y = \dfrac{360}{x}$，得：
$y = \dfrac{360}{18} = 20$
即对角线BD的长为20。
【答案】
(1) $y=\dfrac{360}{x}$
(2) 是
(3) 20
【知识点】
菱形面积计算、反比例函数的判定、代入法求函数值
【点评】
本题属于基础题，结合菱形的性质考察对基础公式的掌握和反比例函数相关概念的理解，熟练掌握菱形面积公式和反比例函数的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8