引入 (1)我们学习过的函数有.
(2)矩形的面积为16,那么矩形的长y与宽x(x＞0)的函数关系式为,这个函数关系式是我们之前学过的函数吗?.
(3)火车从A市驶往相距约277 km的B市,若火车的平均速度为v km/h,则火车的平均速度v(单位:km/h)与行驶的时间t(单位:h)之间的函数关系式为.
(4)上面(2)和(3)中的两个函数关系式,它们都具有(填“整式”或“分式”)的形式,其中是非零常数.
归纳 一般地,形如(k为常数,k≠0)的函数,叫作反比例函数,其中x是自变量,其取值范围是不等于0的一切实数.

(1) 正比例函数,一次函数,二次函数
(2) $y=\dfrac{16}{x}$，不是
(3) $v=\dfrac{277}{t}$
(4) 分式，分子
归纳：$y=\dfrac{k}{x}$

【分析】
本题是反比例函数概念的引入类题目，解题思路如下：①第(1)问回顾初中阶段已学习的常见函数类型即可作答；②第(2)问利用矩形面积公式“面积=长×宽”，代入已知面积变形得到函数关系式，再和已学函数类型对比判断即可；③第(3)问利用行程公式“路程=速度×时间”，代入已知路程变形得到速度和时间的函数关系式；④第(4)问观察前两问得到的函数形式，判断属于整式还是分式，再找出其中固定不变的非零部分；最后根据上述两个关系式的共同特征，归纳得到反比例函数的一般形式。
【解析】
(1) 初中阶段已学习的常见函数包括正比例函数、一次函数、二次函数；
(2) 由矩形面积公式可得$x· y=16$，变形得$y=\dfrac{16}{x}(x＞0)$，该函数形式不符合之前学的一次函数、二次函数的形式，因此不是之前学过的函数；
(3) 由行程公式$s=vt$，已知$s=277\mathrm{km}$，可得$v· t=277$，变形得$v=\dfrac{277}{t}$；
(4) 观察$y=\dfrac{16}{x}$和$v=\dfrac{277}{t}$，两个式子的分母都含有自变量，属于分式形式，其中分子的16、277都是固定的非零常数；
归纳：结合上述两个函数的共同特征，可得反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）。
【答案】
(1) 正比例函数,一次函数,二次函数
(2) $y=\dfrac{16}{x}$，不是
(3) $v=\dfrac{277}{t}$
(4) 分式，分子
归纳：$y=\dfrac{k}{x}$
【知识点】
函数的分类，列函数关系式，反比例函数的定义
【点评】
本题从已学知识出发，结合实际生活中的矩形面积、行程问题列函数关系式，引导学生自主归纳反比例函数的特征，帮助理解反比例函数的基本概念，属于基础概念巩固题。
【难度系数】
0.9

1.【例1】下列函数中，y是x的反比例函数吗？如果是，请写出相应的k值；如果不是，请填“×”.
(1)$y=-\dfrac{3}{x}$；
(2)$xy=10$；
(3)$y=\dfrac{x}{2}$；
(4)$y=\dfrac{1}{x^2}$；
(5)$y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$；
(6)$y=\dfrac{3}{x-1}$；

1. -3
2. 10
3. ×
4. ×
5. ×
6. ×

【分析】
要判断y是不是x的反比例函数，需紧扣反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，也可变形为$xy=k$、$y=kx^{-1}$的形式。判断时需满足三个核心要求：①自变量$x$的次数为-1；②分母仅含自变量$x$的一次项，不含其他加减项；③$k$是不为0的常数。我们按照这个标准逐一分析每个小题即可。
【解析】
根据反比例函数的定义逐一判断：
(1) $y=-\dfrac{3}{x}$完全符合$y=\frac{k}{x}$的形式，是反比例函数，其中$k=-3$；
(2) 将$xy=10$变形可得$y=\frac{10}{x}$，符合反比例函数的变形形式，是反比例函数，其中$k=10$；
(3) $y=\frac{x}{2}$可化为$y=\frac{1}{2}x$，属于正比例函数，不符合反比例函数的形式，因此不是反比例函数，填×；
(4) $y=\frac{1}{x^2}$中自变量$x$的次数为2，不满足反比例函数自变量次数为-1的要求，因此不是反比例函数，填×；
(5) $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$可化为$y=x^{-\frac{1}{2}}$，自变量$x$的次数为$-\frac{1}{2}$，不符合要求，因此不是反比例函数，填×；
(6) $y=\frac{3}{x-1}$的分母是$x-1$，不是单独的自变量$x$，仅为关于$x-1$的反比例函数，不是关于$x$的反比例函数，因此填×。
【答案】
(1) $-3$；(2) $10$；(3) $×$；(4) $×$；(5) $×$；(6) $×$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数的识别
3. 反比例函数的变形形式
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，解题关键是牢记反比例函数的定义和常见形式，判断时需注意自变量的次数、分母的构成，避免混淆形式相似的函数。
【难度系数】
0.8

2. 下列函数中，y是x的反比例函数吗？如果是，请写出相应的k值；如果不是，请填“×”.
(1)$y=\frac{1}{2x}$；
(2)$y=\sqrt{2}x^{-1}$；
(3)$\frac{y}{x}=-4$；
(4)$y=\frac{4}{x}+1$；
(5)$y=\frac{a-2}{x}(a≠2,且a为常数)$.

1. $\dfrac{1}{2}$
2. $\sqrt{2}$
3. ×
4. ×
5. $a-2$

【分析】
解题的核心依据是反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数，它也可以表示为$y=kx^{-1}$、$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）的形式。解题时我们只需将每个给出的函数变形，对照三种形式判断是否符合，符合的话直接提取对应的$k$值即可，不符合则填×。
【解析】
(1) 将$y=\frac{1}{2x}$变形为$y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，是反比例函数，$k=\frac{1}{2}$。
(2) 将$y=\sqrt{2}x^{-1}$变形为$y=\frac{\sqrt{2}}{x}$，符合$y=kx^{-1}$的反比例函数形式，是反比例函数，$k=\sqrt{2}$。
(3) 将$\frac{y}{x}=-4$变形为$y=-4x$，属于正比例函数，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数。
(4) $y=\frac{4}{x}+1$的右侧是$\frac{4}{x}$与常数1的和，不满足反比例函数的标准形式，不是反比例函数。
(5) $y=\frac{a-2}{x}$中$a≠2$，即$a-2$是不为0的常数，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，是反比例函数，$k=a-2$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{2}$；(2)$\sqrt{2}$；(3)×；(4)×；(5)$a-2$
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握反比例函数的三种表达形式，判断时要先对原式进行恒等变形，同时注意反比例函数中比例系数$k$不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8

3.【例2】(人教九上$\mathrm{P}_{65}$例题改编)已知$y$是$x$的反比例函数,且当$x=8$时,$y=2$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式;
(2)当$x=-2$时,求$y$的值.

解:(1)设 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$.
$\because$ 当 $x=8$ 时,$y=2$,$\therefore 2=\dfrac{k}{8}$. 解得 $k=16$.
$\therefore y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=\dfrac{16}{x}$.
(2)把 $x=-2$ 代入 $y=\dfrac{16}{x}$,得 $y=-8$.

【分析】
(1) 已知y是x的反比例函数，首先根据反比例函数的定义，设其解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，要确定解析式只需求出常数k的值；题目给出x=8时y=2，将这组对应值代入所设解析式，即可得到关于k的方程，解方程求出k后就能得到y关于x的函数解析式。
(2) 第(1)问已求出函数解析式，求x=-2时的y值，只需将x=-2直接代入解析式计算即可。
【解析】
(1) 设反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，
把$x=8$，$y=2$代入解析式得：$2=\dfrac{k}{8}$，
解得：$k=16$，
因此y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{16}{x}$。
(2) 把$x=-2$代入$y=\dfrac{16}{x}$得：
$y=\dfrac{16}{-2}=-8$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{16}{x}$；(2)$y=-8$
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式；代入法求函数值
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，主要考查对反比例函数基本形式的掌握和待定系数法的运用，掌握相关基础概念和方法即可快速求解，是学习反比例函数后续内容的基础。
【难度系数】
0.9

4. 已知 y 是 x 的反比例函数,当 y = -6 时,x = 9.
(1)求 y 关于 x 的函数解析式;
(2)当 x = 4 时,求 y 的值;
(3)当 y = 3 时,求 x 的值.

解:(1)设 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$. $\because$ 当 $y=-6$ 时,$x=9$,
$\therefore -6=\dfrac{k}{9}$. 解得 $k=-54$.
$\therefore y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=-\dfrac{54}{x}$.
(2)把 $x=4$ 代入 $y=-\dfrac{54}{x}$,得 $y=-\dfrac{27}{2}$.
(3)把 $y=3$ 代入 $y=-\dfrac{54}{x}$,得 $x=-18$.

【分析】
本题是反比例函数的基础应用类题目，解题思路如下：(1) 首先根据反比例函数的定义，先设出含待定系数$k$的反比例函数解析式，再将已知的$x=9$、$y=-6$的对应值代入解析式，求出$k$的值即可确定函数解析式；(2) 求$x=4$时的$y$值，只需将$x=4$代入已经求出的解析式中直接计算即可；(3) 求$y=3$时的$x$值，将$y=3$代入解析式，解关于$x$的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1)设 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$. $\because$ 当 $y=-6$ 时,$x=9$,
$\therefore -6=\dfrac{k}{9}$. 解得 $k=-54$.
$\therefore y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=-\dfrac{54}{x}$.
(2)把 $x=4$ 代入 $y=-\dfrac{54}{x}$,得 $y=-\dfrac{54}{4}=-\dfrac{27}{2}$.
(3)把 $y=3$ 代入 $y=-\dfrac{54}{x}$,得 $3=-\dfrac{54}{x}$，解得 $x=-18$.
【答案】
(1)$y=-\dfrac{54}{x}$；(2)$-\dfrac{27}{2}$；(3)$-18$
【知识点】
1. 反比例函数定义；2. 待定系数法求解析式；3. 函数值计算
【点评】
本题是反比例函数模块的基础常考题，主要考查对反比例函数概念的理解和待定系数法的运用，侧重基础计算能力的考察，解题时注意计算细心即可拿到全部分数。
【难度系数】
0.8