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13. 某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件. 假定每月的销售件数y是销售价格x(单位:元)的一次函数.
(1)求y关于x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润.
(1)求y关于x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润.
答案
13. 解:(1)设$y = kx + b(k≠0)$.
把$x=20$,$y=360$和$x=30$,$y=60$代入,得
$\begin{cases}20k + b = 360,\\30k + b = 60.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k = -30,\\b = 960.\end{cases}$
∴$y = -30x + 960(10≤x≤32)$.
(2)设每月所获的利润为$W$元.
∴$W = (-30x + 960)(x - 10) = -30(x - 32)(x - 10)$
$= -30(x^2 -42x + 320) = -30(x - 21)^2 + 3630$.
∵$-30 ＜ 0$,$10≤x≤32$,
∴当$x=21$时,$W$有最大值,为3630.
∴当销售价格定为21元时,每月获得的利润最大,为3630元.
把$x=20$,$y=360$和$x=30$,$y=60$代入,得
$\begin{cases}20k + b = 360,\\30k + b = 60.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k = -30,\\b = 960.\end{cases}$
∴$y = -30x + 960(10≤x≤32)$.
(2)设每月所获的利润为$W$元.
∴$W = (-30x + 960)(x - 10) = -30(x - 32)(x - 10)$
$= -30(x^2 -42x + 320) = -30(x - 21)^2 + 3630$.
∵$-30 ＜ 0$,$10≤x≤32$,
∴当$x=21$时,$W$有最大值,为3630.
∴当销售价格定为21元时,每月获得的利润最大,为3630元.
解析
【分析】
(1) 题目已明确销售件数y是销售价格x的一次函数，因此采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再代入两组已知的售价和对应销量，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组得到参数值后，结合销售量非负、售价不低于进价的实际要求，确定x的取值范围即可。
(2) 销售总利润=单件利润×销售量，单件利润为$(x-10)$元，销售量为第一问求出的y，据此列出总利润W关于x的函数表达式，可知该函数是开口向下的二次函数，顶点处取得最大值，通过配方法求出顶点坐标，验证顶点横坐标在自变量取值范围内，即可得到最大利润和对应售价。
【解析】
(1) 设y关于x的一次函数解析式为$y = kx + b(k≠0)$，
把$x=20$，$y=360$和$x=30$，$y=60$代入解析式，得：
$\begin{cases}20k + b = 360\\30k + b = 60\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -30\\b = 960\end{cases}$
结合实际意义，销售量$y≥0$，即$-30x+960≥0$，解得$x≤32$，且售价不低于进价10元，因此$10≤x≤32$。
∴y关于x的一次函数解析式为$y = -30x + 960(10≤x≤32)$。
(2) 设每月所获的利润为W元，根据总利润公式可得：
$W = (-30x + 960)(x - 10)$
$= -30(x - 32)(x - 10)$
$= -30(x^2 -42x + 320)$
$= -30(x - 21)^2 + 3630$
∵$-30 ＜ 0$，且$10≤21≤32$，
∴当$x=21$时，W有最大值，最大值为3630。
【答案】
(1) $y = -30x + 960(10≤x≤32)$；
(2) 当销售价格定为21元时，每月获得的利润最大，最大利润为3630元。
【知识点】
待定系数法求一次函数；二次函数最值应用；销售利润计算
【点评】
本题是函数实际应用的典型题型，既考查了求函数解析式的基础方法，又考查了利用二次函数性质解决实际最值问题的能力，解题时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围，避免结果不符合现实要求。
【难度系数】
0.65
(1) 题目已明确销售件数y是销售价格x的一次函数，因此采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再代入两组已知的售价和对应销量，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组得到参数值后，结合销售量非负、售价不低于进价的实际要求，确定x的取值范围即可。
(2) 销售总利润=单件利润×销售量，单件利润为$(x-10)$元，销售量为第一问求出的y，据此列出总利润W关于x的函数表达式，可知该函数是开口向下的二次函数，顶点处取得最大值，通过配方法求出顶点坐标，验证顶点横坐标在自变量取值范围内，即可得到最大利润和对应售价。
【解析】
(1) 设y关于x的一次函数解析式为$y = kx + b(k≠0)$，
把$x=20$，$y=360$和$x=30$，$y=60$代入解析式，得：
$\begin{cases}20k + b = 360\\30k + b = 60\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -30\\b = 960\end{cases}$
结合实际意义，销售量$y≥0$，即$-30x+960≥0$，解得$x≤32$，且售价不低于进价10元，因此$10≤x≤32$。
∴y关于x的一次函数解析式为$y = -30x + 960(10≤x≤32)$。
(2) 设每月所获的利润为W元，根据总利润公式可得：
$W = (-30x + 960)(x - 10)$
$= -30(x - 32)(x - 10)$
$= -30(x^2 -42x + 320)$
$= -30(x - 21)^2 + 3630$
∵$-30 ＜ 0$，且$10≤21≤32$，
∴当$x=21$时，W有最大值，最大值为3630。
【答案】
(1) $y = -30x + 960(10≤x≤32)$；
(2) 当销售价格定为21元时，每月获得的利润最大，最大利润为3630元。
【知识点】
待定系数法求一次函数；二次函数最值应用；销售利润计算
【点评】
本题是函数实际应用的典型题型，既考查了求函数解析式的基础方法，又考查了利用二次函数性质解决实际最值问题的能力，解题时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围，避免结果不符合现实要求。
【难度系数】
0.65
14. 如图,抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴相交于$A(-1,0),B(5,0)$两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限内取一点$C$,作$CD$垂直$x$轴于点$D$,连接$AC$,且$AD=5,CD=8$,将$Rt△ ACD$沿$x$轴向右平移$m$个单位长度,当点$C$落在抛物线上时,求$m$的值;
(3)在(2)的条件下,当点$C$第一次落在抛物线上记为点$E$,点$P$是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点$Q$,使以点$B,E,P,Q$为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限内取一点$C$,作$CD$垂直$x$轴于点$D$,连接$AC$,且$AD=5,CD=8$,将$Rt△ ACD$沿$x$轴向右平移$m$个单位长度,当点$C$落在抛物线上时,求$m$的值;
(3)在(2)的条件下,当点$C$第一次落在抛物线上记为点$E$,点$P$是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点$Q$,使以点$B,E,P,Q$为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
14. 解:(1)
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴相交于$A(-1,0)$,$B(5,0)$两点,
∴$\begin{cases}-1 -b + c = 0,\\-25 + 5b + c = 0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=4,\\c=5.\end{cases}$
∴抛物线解析式为$y=-x^2 +4x +5$.
(2)
∵$AD=5$,$OA=1$,
∴$OD=6$,且$CD=8$.
∴$C(-6,8)$.
设平移后的点$C$的对应点为$C'$,则点$C'$的纵坐标为8.
代入抛物线解析式,得$8 = -x^2 +4x +5$.
解得$x_1=1$,$x_2=3$.
∴点$C'$的坐标为$(1,8)$或$(3,8)$.
∵$C(-6,8)$,
∴当点$C$落在抛物线上时,$Rt△ ACD$向右平移了7或9个单位长度.
∴$m$的值为7或9.
(3)
∵$y = -x^2 +4x +5 = -(x-2)^2 +9$,
∴抛物线对称轴为$x=2$.
∴可设$P(2,t)$.
由(2)可知$E$点坐标为$(1,8)$.
①当$BE$为平行四边形的边时,连接$BE$交对称轴于点$M$,过$E$作$EF⊥x$轴于点$F$,过$Q$作对称轴的垂线,垂足为$N$,如图.
∴$∠BEF = ∠BMP = ∠QPN$.
在$△ PQN$和$△ EBF$中,
$\begin{cases}∠QPN = ∠BEF,\\∠PNQ = ∠EFB,\\PQ = BE,\end{cases}$
∴$△ PQN ≌ △ EBF(\mathrm{AAS})$.
∴$NQ = BF = OB - OF = 5 - 1 = 4$.
设$Q(x,y)$,则$QN = |x-2|$.
∴$|x-2|=4$. 解得$x=-2$或$x=6$.
当$x=-2$或$x=6$时,代入抛物线解析式可求得$y=-7$.
∴点$Q$的坐标为$(-2,-7)$或$(6,-7)$.
②当$BE$为对角线时,
∵$B(5,0)$,$E(1,8)$,
∴线段$BE$的中点坐标为$(3,4)$,则线段$PQ$的中点坐标为$(3,4)$.
设$Q(x,y)$,且$P(2,t)$,
∴$x+2 = 3×2$,解得$x=4$,
把$x=4$代入抛物线解析式可求得$y=5$.
∴$Q(4,5)$.
综上可知,$Q$点的坐标为$(-2,-7)$或$(6,-7)$或$(4,5)$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，将两点代入抛物线解析式可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求得参数值，确定抛物线解析式；
(2) 先结合A点坐标、AD和CD的长度求出C点坐标，平移时点C的纵坐标不变，将纵坐标代入抛物线解析式求得平移后点C对应点的横坐标，平移距离m为平移前后点C横坐标的差值；
(3) 平行四边形存在性需分两类讨论：①BE为平行四边形的边时，利用平行四边形对边相等的性质，结合全等三角形求得Q点横坐标，代入抛物线求纵坐标；②BE为平行四边形的对角线时，利用平行四边形对角线互相平分（即中点重合）的性质求得Q点横坐标，代入抛物线求纵坐标，最后汇总所有符合条件的Q点坐标即可。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴相交于$A(-1,0)$,$B(5,0)$两点,
∴$\begin{cases}-1 -b + c = 0,\\-25 + 5b + c = 0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=4,\\c=5.\end{cases}$
∴抛物线解析式为$y=-x^2 +4x +5$.
(2)
∵$AD=5$,$OA=1$,
∴$OD=6$,且$CD=8$.
∴$C(-6,8)$.
设平移后的点$C$的对应点为$C'$,则点$C'$的纵坐标为8.
代入抛物线解析式,得$8 = -x^2 +4x +5$.
解得$x_1=1$,$x_2=3$.
∴点$C'$的坐标为$(1,8)$或$(3,8)$.
∵$C(-6,8)$,
∴当点$C$落在抛物线上时,$Rt△ ACD$向右平移了7或9个单位长度.
∴$m$的值为7或9.
(3)
∵$y = -x^2 +4x +5 = -(x-2)^2 +9$,
∴抛物线对称轴为$x=2$.
∴可设$P(2,t)$.
由(2)可知$E$点坐标为$(1,8)$.
①当$BE$为平行四边形的边时,连接$BE$交对称轴于点$M$,过$E$作$EF⊥x$轴于点$F$,过$Q$作对称轴的垂线,垂足为$N$,如图.
∴$∠BEF = ∠BMP = ∠QPN$.
在$△ PQN$和$△ EBF$中,
$\begin{cases}∠QPN = ∠BEF,\\∠PNQ = ∠EFB,\\PQ = BE,\end{cases}$
∴$△ PQN ≌ △ EBF(\mathrm{AAS})$.
∴$NQ = BF = OB - OF = 5 - 1 = 4$.
设$Q(x,y)$,则$QN = |x-2|$.
∴$|x-2|=4$. 解得$x=-2$或$x=6$.
当$x=-2$或$x=6$时,代入抛物线解析式可求得$y=-7$.
∴点$Q$的坐标为$(-2,-7)$或$(6,-7)$.
②当$BE$为对角线时,
∵$B(5,0)$,$E(1,8)$,
∴线段$BE$的中点坐标为$(3,4)$,则线段$PQ$的中点坐标为$(3,4)$.
设$Q(x,y)$,且$P(2,t)$,
∴$x+2 = 3×2$,解得$x=4$,
把$x=4$代入抛物线解析式可求得$y=5$.
∴$Q(4,5)$.
综上可知,$Q$点的坐标为$(-2,-7)$或$(6,-7)$或$(4,5)$.
【答案】
(1) $y=-x^2 +4x +5$
(2) $m=7$或$9$
(3) 存在，点$Q$的坐标为$(-2,-7)$、$(6,-7)$、$(4,5)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，平行四边形的性质
【点评】
本题属于二次函数综合题，融合了函数求解、图形平移、特殊四边形存在性探究等考点，重点考查分类讨论的数学思想，解题时要注意不同情况的分类不要漏解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，将两点代入抛物线解析式可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求得参数值，确定抛物线解析式；
(2) 先结合A点坐标、AD和CD的长度求出C点坐标，平移时点C的纵坐标不变，将纵坐标代入抛物线解析式求得平移后点C对应点的横坐标，平移距离m为平移前后点C横坐标的差值；
(3) 平行四边形存在性需分两类讨论：①BE为平行四边形的边时，利用平行四边形对边相等的性质，结合全等三角形求得Q点横坐标，代入抛物线求纵坐标；②BE为平行四边形的对角线时，利用平行四边形对角线互相平分（即中点重合）的性质求得Q点横坐标，代入抛物线求纵坐标，最后汇总所有符合条件的Q点坐标即可。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴相交于$A(-1,0)$,$B(5,0)$两点,
∴$\begin{cases}-1 -b + c = 0,\\-25 + 5b + c = 0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=4,\\c=5.\end{cases}$
∴抛物线解析式为$y=-x^2 +4x +5$.
(2)
∵$AD=5$,$OA=1$,
∴$OD=6$,且$CD=8$.
∴$C(-6,8)$.
设平移后的点$C$的对应点为$C'$,则点$C'$的纵坐标为8.
代入抛物线解析式,得$8 = -x^2 +4x +5$.
解得$x_1=1$,$x_2=3$.
∴点$C'$的坐标为$(1,8)$或$(3,8)$.
∵$C(-6,8)$,
∴当点$C$落在抛物线上时,$Rt△ ACD$向右平移了7或9个单位长度.
∴$m$的值为7或9.
(3)
∵$y = -x^2 +4x +5 = -(x-2)^2 +9$,
∴抛物线对称轴为$x=2$.
∴可设$P(2,t)$.
由(2)可知$E$点坐标为$(1,8)$.
①当$BE$为平行四边形的边时,连接$BE$交对称轴于点$M$,过$E$作$EF⊥x$轴于点$F$,过$Q$作对称轴的垂线,垂足为$N$,如图.
∴$∠BEF = ∠BMP = ∠QPN$.
在$△ PQN$和$△ EBF$中,
$\begin{cases}∠QPN = ∠BEF,\\∠PNQ = ∠EFB,\\PQ = BE,\end{cases}$
∴$△ PQN ≌ △ EBF(\mathrm{AAS})$.
∴$NQ = BF = OB - OF = 5 - 1 = 4$.
设$Q(x,y)$,则$QN = |x-2|$.
∴$|x-2|=4$. 解得$x=-2$或$x=6$.
当$x=-2$或$x=6$时,代入抛物线解析式可求得$y=-7$.
∴点$Q$的坐标为$(-2,-7)$或$(6,-7)$.
②当$BE$为对角线时,
∵$B(5,0)$,$E(1,8)$,
∴线段$BE$的中点坐标为$(3,4)$,则线段$PQ$的中点坐标为$(3,4)$.
设$Q(x,y)$,且$P(2,t)$,
∴$x+2 = 3×2$,解得$x=4$,
把$x=4$代入抛物线解析式可求得$y=5$.
∴$Q(4,5)$.
综上可知,$Q$点的坐标为$(-2,-7)$或$(6,-7)$或$(4,5)$.
【答案】
(1) $y=-x^2 +4x +5$
(2) $m=7$或$9$
(3) 存在，点$Q$的坐标为$(-2,-7)$、$(6,-7)$、$(4,5)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，平行四边形的性质
【点评】
本题属于二次函数综合题，融合了函数求解、图形平移、特殊四边形存在性探究等考点，重点考查分类讨论的数学思想，解题时要注意不同情况的分类不要漏解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
