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5. 如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴相交于$(-2,0)$和$(4,0)$两点,当函数值$y＞0$时,自变量$x$的取值范围是 (
A.$x＜-2$
B.$-2＜x＜4$
C.$x＞0$
D.$x＞4$
B
)A.$x＜-2$
B.$-2＜x＜4$
C.$x＞0$
D.$x＞4$
答案
5. B
解析
【分析】
要确定y＞0时自变量x的取值范围，首先明确二次函数图象的性质：图象在x轴上方的部分对应的函数值y＞0，在x轴下方的部分对应y＜0，与x轴的交点处y=0。观察本题的抛物线，开口向下，与x轴交于(-2,0)和(4,0)两点，因此图象在x轴上方的部分对应的x就落在两个交点的横坐标之间，据此即可得到x的取值范围。
【解析】
观察二次函数图象可知：
1. 抛物线开口向下，与x轴的交点坐标为$(-2,0)$和$(4,0)$；
2. 当函数值$y＞0$时，对应图象位于x轴上方的部分，该部分的x取值在两个交点横坐标之间，即$-2＜x＜4$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数与不等式；抛物线与x轴交点
【点评】
本题是二次函数图象的基础应用题，解题的核心是掌握函数值的正负和图象在坐标系中位置的对应关系，能从图中准确提取交点坐标、开口方向等信息即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要确定y＞0时自变量x的取值范围，首先明确二次函数图象的性质：图象在x轴上方的部分对应的函数值y＞0，在x轴下方的部分对应y＜0，与x轴的交点处y=0。观察本题的抛物线，开口向下，与x轴交于(-2,0)和(4,0)两点，因此图象在x轴上方的部分对应的x就落在两个交点的横坐标之间，据此即可得到x的取值范围。
【解析】
观察二次函数图象可知：
1. 抛物线开口向下，与x轴的交点坐标为$(-2,0)$和$(4,0)$；
2. 当函数值$y＞0$时，对应图象位于x轴上方的部分，该部分的x取值在两个交点横坐标之间，即$-2＜x＜4$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数与不等式；抛物线与x轴交点
【点评】
本题是二次函数图象的基础应用题，解题的核心是掌握函数值的正负和图象在坐标系中位置的对应关系，能从图中准确提取交点坐标、开口方向等信息即可快速求解。
【难度系数】
0.85
6. 若二次函数$y=x^2 -2x +a$有最小值为6，则a的值为（
A.-6
B.6
C.-7
D.7
D
）A.-6
B.6
C.-7
D.7
答案
6. D
解析
【分析】
本题考查二次函数的最值计算，解题思路如下：首先观察二次函数的二次项系数为1＞0，可知函数图象开口向上，顶点处取得最小值。我们可以通过配方法将函数化为顶点式，直接得到最小值的表达式，令其等于6，即可列方程求解a的值；也可以直接代入二次函数最值公式计算，两种方法都符合对应学段的知识要求。
【解析】
解法1：配方法
将二次函数配方变形：
$y=x^2-2x+a$
$=(x^2-2x+1) + a -1$
$=(x-1)^2 + (a-1)$
∵ 平方数非负，即$(x-1)^2≥0$，
∴ 当$x=1$时，函数取得最小值，最小值为$a-1$。
由题意得最小值为6，因此：
$a-1=6$
解得$a=7$。
解法2：最值公式法
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），当$A＞0$时，最小值为$\frac{4AC-B^2}{4A}$。
本题中$A=1$，$B=-2$，$C=a$，代入得：
最小值$=\frac{4×1× a - (-2)^2}{4×1}=\frac{4a-4}{4}=a-1$
结合题意最小值为6，得$a-1=6$，解得$a=7$。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的最值、配方法、二次函数性质
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心考查二次函数最值的计算方法，熟练掌握配方法或最值公式即可快速求解，出错率较低。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的最值计算，解题思路如下：首先观察二次函数的二次项系数为1＞0，可知函数图象开口向上，顶点处取得最小值。我们可以通过配方法将函数化为顶点式，直接得到最小值的表达式，令其等于6，即可列方程求解a的值；也可以直接代入二次函数最值公式计算，两种方法都符合对应学段的知识要求。
【解析】
解法1：配方法
将二次函数配方变形：
$y=x^2-2x+a$
$=(x^2-2x+1) + a -1$
$=(x-1)^2 + (a-1)$
∵ 平方数非负，即$(x-1)^2≥0$，
∴ 当$x=1$时，函数取得最小值，最小值为$a-1$。
由题意得最小值为6，因此：
$a-1=6$
解得$a=7$。
解法2：最值公式法
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），当$A＞0$时，最小值为$\frac{4AC-B^2}{4A}$。
本题中$A=1$，$B=-2$，$C=a$，代入得：
最小值$=\frac{4×1× a - (-2)^2}{4×1}=\frac{4a-4}{4}=a-1$
结合题意最小值为6，得$a-1=6$，解得$a=7$。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的最值、配方法、二次函数性质
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心考查二次函数最值的计算方法，熟练掌握配方法或最值公式即可快速求解，出错率较低。
【难度系数】
0.8
7. 在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=ax+1$与二次函数$y=x^2+a$的图象可能是
(
(
C
)答案
7. C
解析
【分析】
要判断两个函数的图象是否匹配，可按以下思路分析：1. 先根据二次函数的二次项系数判断开口方向，排除不符合的选项；2. 分$a＞0$和$a＜0$两种情况，分别分析一次函数的斜率、截距，以及二次函数的顶点位置，逐一验证剩余选项是否存在矛盾，最终得出正确答案。
【解析】
首先，二次函数$y=x^2+a$的二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，直接排除开口向下的B选项。
接下来分情况讨论参数$a$的取值：
1. 当$a＞0$时：
一次函数$y=ax+1$的斜率$a＞0$，图象从左下到右上上升，且与$y$轴交点为$(0,1)$，在$y$轴正半轴；
二次函数$y=x^2+a$的顶点坐标为$(0,a)$，也在$y$轴正半轴。
观察A选项：A中抛物线顶点在$y$轴负半轴，说明$a＜0$，与“$a＞0$”的前提矛盾，排除A。
2. 当$a＜0$时：
一次函数$y=ax+1$的斜率$a＜0$，图象从左上到右下下降，且与$y$轴交点仍为$(0,1)$，在$y$轴正半轴；
二次函数$y=x^2+a$的顶点坐标为$(0,a)$，在$y$轴负半轴。
观察D选项：D中一次函数与$y$轴交点在负半轴，与截距为1的性质矛盾，排除D；
观察C选项：一次函数下降（斜率为负）、与$y$轴交于正半轴，抛物线开口向上、顶点在$y$轴负半轴，完全符合$a＜0$时的性质，成立。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数图象判断
【点评】
本题是典型的函数图象共存问题，解题关键是抓住参数$a$对两个函数图象的共同影响，通过分类讨论、排除法逐步筛选错误选项，考查对函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断两个函数的图象是否匹配，可按以下思路分析：1. 先根据二次函数的二次项系数判断开口方向，排除不符合的选项；2. 分$a＞0$和$a＜0$两种情况，分别分析一次函数的斜率、截距，以及二次函数的顶点位置，逐一验证剩余选项是否存在矛盾，最终得出正确答案。
【解析】
首先，二次函数$y=x^2+a$的二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，直接排除开口向下的B选项。
接下来分情况讨论参数$a$的取值：
1. 当$a＞0$时：
一次函数$y=ax+1$的斜率$a＞0$，图象从左下到右上上升，且与$y$轴交点为$(0,1)$，在$y$轴正半轴；
二次函数$y=x^2+a$的顶点坐标为$(0,a)$，也在$y$轴正半轴。
观察A选项：A中抛物线顶点在$y$轴负半轴，说明$a＜0$，与“$a＞0$”的前提矛盾，排除A。
2. 当$a＜0$时：
一次函数$y=ax+1$的斜率$a＜0$，图象从左上到右下下降，且与$y$轴交点仍为$(0,1)$，在$y$轴正半轴；
二次函数$y=x^2+a$的顶点坐标为$(0,a)$，在$y$轴负半轴。
观察D选项：D中一次函数与$y$轴交点在负半轴，与截距为1的性质矛盾，排除D；
观察C选项：一次函数下降（斜率为负）、与$y$轴交于正半轴，抛物线开口向上、顶点在$y$轴负半轴，完全符合$a＜0$时的性质，成立。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数图象判断
【点评】
本题是典型的函数图象共存问题，解题关键是抓住参数$a$对两个函数图象的共同影响，通过分类讨论、排除法逐步筛选错误选项，考查对函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
二、填空题
8. 将函数$y=4x^2$的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的函数表达式为
8. 将函数$y=4x^2$的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的函数表达式为
$y=4(x+3)^2 -2$
.答案
8. $y=4(x+3)^2 -2$
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图像平移的变换规则：“左加右减，上加下减”，其中左右平移是针对自变量x进行变换，上下平移是针对整个函数表达式进行变换。解题时先处理向左平移的变换，再处理向下平移的变换，逐步推导即可得到平移后的函数表达式。
【解析】
已知原函数为$y=4x^2$：
1. 第一步：将图象向左平移3个单位长度，根据“左加右减”的规则，把原表达式中的$x$替换为$x+3$，可得平移后的函数为$y=4(x+3)^2$；
2. 第二步：再将所得图象向下平移2个单位长度，根据“上加下减”的规则，在第一步得到的表达式末尾减去2，最终可得函数表达式为$y=4(x+3)^2 -2$。
【答案】
$y=4(x+3)^2 -2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移变换规则
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的图象平移变换，解题的关键是准确理解“左加右减、上加下减”的适用范围：左右平移仅对自变量x进行加减，且需要给x加上括号避免计算错误，上下平移对函数整体进行加减。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握二次函数图像平移的变换规则：“左加右减，上加下减”，其中左右平移是针对自变量x进行变换，上下平移是针对整个函数表达式进行变换。解题时先处理向左平移的变换，再处理向下平移的变换，逐步推导即可得到平移后的函数表达式。
【解析】
已知原函数为$y=4x^2$：
1. 第一步：将图象向左平移3个单位长度，根据“左加右减”的规则，把原表达式中的$x$替换为$x+3$，可得平移后的函数为$y=4(x+3)^2$；
2. 第二步：再将所得图象向下平移2个单位长度，根据“上加下减”的规则，在第一步得到的表达式末尾减去2，最终可得函数表达式为$y=4(x+3)^2 -2$。
【答案】
$y=4(x+3)^2 -2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移变换规则
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的图象平移变换，解题的关键是准确理解“左加右减、上加下减”的适用范围：左右平移仅对自变量x进行加减，且需要给x加上括号避免计算错误，上下平移对函数整体进行加减。
【难度系数】
0.8
9.若抛物线$y=x^2 +2x +k$与x轴有交点，则k的取值范围为
$k≤1$
。答案
9. $k≤1$
解析
【分析】
要确定抛物线与x轴有交点时k的取值范围，首先明确抛物线与x轴交点的本质：当y=0时，得到的一元二次方程有实数根。而一元二次方程有实数根的判定依据是根的判别式Δ≥0，因此我们只需代入对应系数列出关于k的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2 +2x +k$与x轴有交点
∴ 令$y=0$，得到的一元二次方程$x^2+2x+k=0$有实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2-4ac$
本题中$a=1$，$b=2$，$c=k$，且$\Delta ≥ 0$
代入得：$2^2 - 4×1× k ≥ 0$
化简得：$4 - 4k ≥ 0$
移项、系数化为1得：$k ≤ 1$
【答案】
$k≤1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题，核心考查二次函数图象和x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的对应关系，牢记判别式的取值对应的根的情况即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线与x轴有交点时k的取值范围，首先明确抛物线与x轴交点的本质：当y=0时，得到的一元二次方程有实数根。而一元二次方程有实数根的判定依据是根的判别式Δ≥0，因此我们只需代入对应系数列出关于k的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2 +2x +k$与x轴有交点
∴ 令$y=0$，得到的一元二次方程$x^2+2x+k=0$有实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2-4ac$
本题中$a=1$，$b=2$，$c=k$，且$\Delta ≥ 0$
代入得：$2^2 - 4×1× k ≥ 0$
化简得：$4 - 4k ≥ 0$
移项、系数化为1得：$k ≤ 1$
【答案】
$k≤1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题，核心考查二次函数图象和x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的对应关系，牢记判别式的取值对应的根的情况即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 飞机着陆后滑行的距离$y$(单位:m)关于滑行时间$t$(单位:s)的函数解析式是$y = 60t - \frac{3}{2}t^2$（$0 ≤ t ≤ 20$）. 在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是
24
m.答案
10. 24
解析
【分析】
要求飞机着陆后最后4s的滑行距离，首先要明确“最后4s”是滑行第16s到第20s的路程，不能直接将t=4代入解析式计算。解题思路为：先算出滑行总时间t=20s时的总滑行距离，再算出滑行到t=16s时的滑行距离，两个距离的差值就是最后4s的滑行距离。
【解析】
1. 计算t=20s时的总滑行距离：
将t=20代入函数解析式$y = 60t - \frac{3}{2}t^2$，可得：
$y_{20}=60×20-\frac{3}{2}×20^2=1200-600=600\ \mathrm{m}$
2. 计算t=16s时的滑行距离：
最后4s的起始时间为$20-4=16\ \mathrm{s}$，将t=16代入解析式，可得：
$y_{16}=60×16-\frac{3}{2}×16^2=960-384=576\ \mathrm{m}$
3. 计算最后4s滑行距离：
$y=y_{20}-y_{16}=600-576=24\ \mathrm{m}$
【答案】
24
【知识点】
二次函数实际应用，求函数值，路程差计算
【点评】
本题考查二次函数在实际行程问题中的应用，解题关键是准确理解“最后4s滑行距离”的含义，通过两个时间点的函数值作差求解，易错点是直接代入t=4计算得到错误结果。
【难度系数】
0.7
要求飞机着陆后最后4s的滑行距离，首先要明确“最后4s”是滑行第16s到第20s的路程，不能直接将t=4代入解析式计算。解题思路为：先算出滑行总时间t=20s时的总滑行距离，再算出滑行到t=16s时的滑行距离，两个距离的差值就是最后4s的滑行距离。
【解析】
1. 计算t=20s时的总滑行距离：
将t=20代入函数解析式$y = 60t - \frac{3}{2}t^2$，可得：
$y_{20}=60×20-\frac{3}{2}×20^2=1200-600=600\ \mathrm{m}$
2. 计算t=16s时的滑行距离：
最后4s的起始时间为$20-4=16\ \mathrm{s}$，将t=16代入解析式，可得：
$y_{16}=60×16-\frac{3}{2}×16^2=960-384=576\ \mathrm{m}$
3. 计算最后4s滑行距离：
$y=y_{20}-y_{16}=600-576=24\ \mathrm{m}$
【答案】
24
【知识点】
二次函数实际应用，求函数值，路程差计算
【点评】
本题考查二次函数在实际行程问题中的应用，解题关键是准确理解“最后4s滑行距离”的含义，通过两个时间点的函数值作差求解，易错点是直接代入t=4计算得到错误结果。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 已知二次函数的图象以$A(1, -4)$为顶点，且过点$B(-2,5)$.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)直接写出当$-2 ≤ x ≤ 3$时，$y$的取值范围.
11. 已知二次函数的图象以$A(1, -4)$为顶点，且过点$B(-2,5)$.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)直接写出当$-2 ≤ x ≤ 3$时，$y$的取值范围.
答案
11. 解:(1)
∵图象以A(1,-4)为顶点，
∴可设函数解析式为$y=a(x-1)^2 -4(a≠0)$.
把$(-2,5)$代入,得$5=9a-4$. 解得$a=1$.
∴该二次函数的解析式为$y=(x-1)^2 -4 = x^2 -2x -3$.
(2) $-4≤y≤5$.
∵图象以A(1,-4)为顶点，
∴可设函数解析式为$y=a(x-1)^2 -4(a≠0)$.
把$(-2,5)$代入,得$5=9a-4$. 解得$a=1$.
∴该二次函数的解析式为$y=(x-1)^2 -4 = x^2 -2x -3$.
(2) $-4≤y≤5$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式设函数解析式，仅含一个未知参数a，计算更简便；将已知点B的坐标代入所设解析式，求解得到a的值，即可确定二次函数解析式。
(2) 求给定区间内y的取值范围，需先判断二次函数的开口方向和对称轴位置，确认对称轴在区间[-2,3]内，因此顶点处取到最小值；再分别计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
(1)
∵二次函数图象的顶点为$A(1, -4)$，
∴设该二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2 -4(a≠0)$。
将点$B(-2,5)$代入解析式，得：
$5=a(-2-1)^2 -4$
整理得$5=9a-4$，
解得$a=1$。
∴二次函数的解析式为$y=(x-1)^2 -4$，展开得$y=x^2 -2x -3$。
(2) 由(1)可知，二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$。
∵$1\in[-2,3]$，
∴当$x=1$时，$y$取得最小值为$-4$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=5$；
当$x=3$时，$y=(3-1)^2 -4=0$。
比较得$y$的最大值为$5$，因此当$-2 ≤ x ≤ 3$时，$y$的取值范围是$-4≤y≤5$。
【答案】
(1) $y=x^2 -2x -3$（或$y=(x-1)^2 -4$）
(2) $-4≤y≤5$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查顶点式的应用和结合函数图象性质求解区间取值范围的能力，掌握根据已知条件选择合适的解析式形式、结合开口方向和对称轴分析最值是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式设函数解析式，仅含一个未知参数a，计算更简便；将已知点B的坐标代入所设解析式，求解得到a的值，即可确定二次函数解析式。
(2) 求给定区间内y的取值范围，需先判断二次函数的开口方向和对称轴位置，确认对称轴在区间[-2,3]内，因此顶点处取到最小值；再分别计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
(1)
∵二次函数图象的顶点为$A(1, -4)$，
∴设该二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2 -4(a≠0)$。
将点$B(-2,5)$代入解析式，得：
$5=a(-2-1)^2 -4$
整理得$5=9a-4$，
解得$a=1$。
∴二次函数的解析式为$y=(x-1)^2 -4$，展开得$y=x^2 -2x -3$。
(2) 由(1)可知，二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$。
∵$1\in[-2,3]$，
∴当$x=1$时，$y$取得最小值为$-4$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=5$；
当$x=3$时，$y=(3-1)^2 -4=0$。
比较得$y$的最大值为$5$，因此当$-2 ≤ x ≤ 3$时，$y$的取值范围是$-4≤y≤5$。
【答案】
(1) $y=x^2 -2x -3$（或$y=(x-1)^2 -4$）
(2) $-4≤y≤5$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查顶点式的应用和结合函数图象性质求解区间取值范围的能力，掌握根据已知条件选择合适的解析式形式、结合开口方向和对称轴分析最值是解题的关键。
【难度系数】
0.8
12. 如图,抛物线$y=(x-1)^2 +n$与$x$轴交于点$A,B$(点$A$在点$B$的左侧),与$y$轴交于点$C(0,-3)$,且点$D$与点$C$关于抛物线的对称轴对称.
(1)求抛物线的解析式及点$D$的坐标;
(2)若点$P$在抛物线上,且$△ ABP$的面积是8,求点$P$的坐标.
(1)求抛物线的解析式及点$D$的坐标;
(2)若点$P$在抛物线上,且$△ ABP$的面积是8,求点$P$的坐标.
答案
12. 解:(1)把$C(0,-3)$代入$y=(x-1)^2 +n$,
得$-3=(0-1)^2 +n$. 解得$n=-4$.
∴抛物线的解析式为$y=(x-1)^2 -4$.
由题意,得抛物线的对称轴为$x=1$.
由对称的性质,得点$D$的坐标为$(2,-3)$.
(2)当$y=0$时,$(x-1)^2 -4=0$.
解得$x_1 = -1$,$x_2 = 3$.
∴$A(-1,0)$,$B(3,0)$,$AB=4$.
设点$P$的坐标为$(a,b)$.
∵$S_{△ ABP} = \frac{1}{2}AB·|b| = \frac{1}{2}×4·|b| = 2|b| = 8$,
∴$b = ±4$.
当$b=4$时,$(a-1)^2 -4=4$.
解得$a_1 = 1-2\sqrt{2}$,$a_2 = 1+2\sqrt{2}$.
∴点$P$的坐标为$(1-2\sqrt{2},4)$或$(1+2\sqrt{2},4)$.
当$b=-4$时,$(a-1)^2 -4 = -4$. 解得$a_3 = a_4 = 1$.
∴点$P$的坐标为$(1,-4)$.
∴当$△ ABP$的面积是8时,点$P$的坐标为$(1-2\sqrt{2},4)$或$(1+2\sqrt{2},4)$或$(1,-4)$.
得$-3=(0-1)^2 +n$. 解得$n=-4$.
∴抛物线的解析式为$y=(x-1)^2 -4$.
由题意,得抛物线的对称轴为$x=1$.
由对称的性质,得点$D$的坐标为$(2,-3)$.
(2)当$y=0$时,$(x-1)^2 -4=0$.
解得$x_1 = -1$,$x_2 = 3$.
∴$A(-1,0)$,$B(3,0)$,$AB=4$.
设点$P$的坐标为$(a,b)$.
∵$S_{△ ABP} = \frac{1}{2}AB·|b| = \frac{1}{2}×4·|b| = 2|b| = 8$,
∴$b = ±4$.
当$b=4$时,$(a-1)^2 -4=4$.
解得$a_1 = 1-2\sqrt{2}$,$a_2 = 1+2\sqrt{2}$.
∴点$P$的坐标为$(1-2\sqrt{2},4)$或$(1+2\sqrt{2},4)$.
当$b=-4$时,$(a-1)^2 -4 = -4$. 解得$a_3 = a_4 = 1$.
∴点$P$的坐标为$(1,-4)$.
∴当$△ ABP$的面积是8时,点$P$的坐标为$(1-2\sqrt{2},4)$或$(1+2\sqrt{2},4)$或$(1,-4)$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式可直接将已知点C(0,-3)代入给定的抛物线表达式，解出参数n即可；抛物线顶点式$y=(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，本题对称轴为$x=1$，点D与C关于对称轴对称，则两点纵坐标相等，横坐标到对称轴的距离相等，据此可求出D的坐标。
(2) 先令抛物线解析式中$y=0$，解方程得到A、B两点坐标，算出AB的长度；$△ ABP$的底为AB，高为点P纵坐标的绝对值，根据面积公式先求出P点纵坐标的可能值，再分别代入抛物线解析式求出对应的横坐标，注意绝对值要分类讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 将点$C(0,-3)$代入$y=(x-1)^2 +n$，得：
$-3=(0-1)^2 +n$，解得$n=-4$
∴抛物线的解析式为$y=(x-1)^2 -4$
抛物线的对称轴为直线$x=1$，点C坐标为$(0,-3)$，点D与C关于对称轴对称，因此D的横坐标为$2×1-0=2$，纵坐标与C相同为-3，即$D(2,-3)$。
(2) 令$y=0$，则$(x-1)^2 -4=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$AB=3-(-1)=4$。
设点P坐标为$(a,b)$，
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}× AB×|b|=\frac{1}{2}×4×|b|=2|b|=8$，
解得$|b|=4$，即$b=4$或$b=-4$。
①当$b=4$时，代入抛物线解析式得：$(a-1)^2 -4=4$，
整理得$(a-1)^2=8$，解得$a_1=1-2\sqrt{2}$，$a_2=1+2\sqrt{2}$，
此时P点坐标为$(1-2\sqrt{2},4)$、$(1+2\sqrt{2},4)$；
②当$b=-4$时，代入抛物线解析式得：$(a-1)^2 -4=-4$，
整理得$(a-1)^2=0$，解得$a_3=a_4=1$，
此时P点坐标为$(1,-4)$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=(x-1)^2 -4}$，点D坐标为$\boldsymbol{(2,-3)}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(1-2\sqrt{2},4)}$、$\boldsymbol{(1+2\sqrt{2},4)}$、$\boldsymbol{(1,-4)}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性；二次函数与面积综合
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题时要注意代入点坐标求参数时计算准确，利用对称性求点坐标要掌握对称轴的性质，涉及三角形面积与点坐标结合的问题时，要注意纵坐标的绝对值带来的多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式可直接将已知点C(0,-3)代入给定的抛物线表达式，解出参数n即可；抛物线顶点式$y=(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，本题对称轴为$x=1$，点D与C关于对称轴对称，则两点纵坐标相等，横坐标到对称轴的距离相等，据此可求出D的坐标。
(2) 先令抛物线解析式中$y=0$，解方程得到A、B两点坐标，算出AB的长度；$△ ABP$的底为AB，高为点P纵坐标的绝对值，根据面积公式先求出P点纵坐标的可能值，再分别代入抛物线解析式求出对应的横坐标，注意绝对值要分类讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 将点$C(0,-3)$代入$y=(x-1)^2 +n$，得：
$-3=(0-1)^2 +n$，解得$n=-4$
∴抛物线的解析式为$y=(x-1)^2 -4$
抛物线的对称轴为直线$x=1$，点C坐标为$(0,-3)$，点D与C关于对称轴对称，因此D的横坐标为$2×1-0=2$，纵坐标与C相同为-3，即$D(2,-3)$。
(2) 令$y=0$，则$(x-1)^2 -4=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$AB=3-(-1)=4$。
设点P坐标为$(a,b)$，
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}× AB×|b|=\frac{1}{2}×4×|b|=2|b|=8$，
解得$|b|=4$，即$b=4$或$b=-4$。
①当$b=4$时，代入抛物线解析式得：$(a-1)^2 -4=4$，
整理得$(a-1)^2=8$，解得$a_1=1-2\sqrt{2}$，$a_2=1+2\sqrt{2}$，
此时P点坐标为$(1-2\sqrt{2},4)$、$(1+2\sqrt{2},4)$；
②当$b=-4$时，代入抛物线解析式得：$(a-1)^2 -4=-4$，
整理得$(a-1)^2=0$，解得$a_3=a_4=1$，
此时P点坐标为$(1,-4)$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=(x-1)^2 -4}$，点D坐标为$\boldsymbol{(2,-3)}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(1-2\sqrt{2},4)}$、$\boldsymbol{(1+2\sqrt{2},4)}$、$\boldsymbol{(1,-4)}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性；二次函数与面积综合
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题时要注意代入点坐标求参数时计算准确，利用对称性求点坐标要掌握对称轴的性质，涉及三角形面积与点坐标结合的问题时，要注意纵坐标的绝对值带来的多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
