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第15课 二次函数章末复习
知识体系构建
二次函数
概念——$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$为常数，$a≠0$）
图象和性质
开口方向：$a＞0$，开口向上；$a＜0$，开口向下
对称轴：$x=$①
顶点坐标：②
增减性
$a＞0$
$x＞-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大
$x＜-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而③
$a＜0$
$x＞-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小
$x＜-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的④
平移的规律——左加右减自变量，上加下减常数项
二次函数与一元二次方程
抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）与$x$轴的公共点的横坐标即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根
抛物线与$x$轴的公共点情况
有两个公共点$⇔ Δ＞0$
有一个公共点$⇔ Δ=0$
没有公共点$⇔ Δ＜0$
利用图象法求一元二次方程的根
实际应用
面积最值问题
销售最值问题
抛物线型问题
知识体系构建
二次函数
概念——$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$为常数，$a≠0$）
图象和性质
开口方向：$a＞0$，开口向上；$a＜0$，开口向下
对称轴：$x=$①
$-\frac{b}{2a}$
顶点坐标：②
$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
增减性
$a＞0$
$x＞-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大
$x＜-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而③
减小
$a＜0$
$x＞-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小
$x＜-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的④
增大
而增大平移的规律——左加右减自变量，上加下减常数项
二次函数与一元二次方程
抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）与$x$轴的公共点的横坐标即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根
抛物线与$x$轴的公共点情况
有两个公共点$⇔ Δ＞0$
有一个公共点$⇔ Δ=0$
没有公共点$⇔ Δ＜0$
利用图象法求一元二次方程的根
实际应用
面积最值问题
销售最值问题
抛物线型问题
答案
① $-\frac{b}{2a}$
② $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
③ 减小
④ 增大
② $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
③ 减小
④ 增大
解析
【分析】
本题考查二次函数基本性质的识记，解题思路如下：1.回忆二次函数一般式的对称轴、顶点坐标公式，直接对应填写①②空；2.结合二次函数开口方向和对称轴的位置判断增减性：$a＞0$时开口向上，对称轴左侧函数随$x$增大而减小，右侧随$x$增大而增大；$a＜0$时开口向下，对称轴左侧函数随$x$增大而增大，右侧随$x$增大而减小，据此填写③④空即可。
【解析】
① 对于二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，对称轴的公式为$x=-\frac{b}{2a}$，因此①处填$-\frac{b}{2a}$；
② 将二次函数一般式配方为顶点式：$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，可得顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，因此②处填$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；
③ 当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴左侧即$x＜-\frac{b}{2a}$的区间内，$y$随$x$的增大而减小，因此③处填减小；
④ 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧即$x＜-\frac{b}{2a}$的区间内，$y$随$x$的增大而增大，因此④处填增大。
【答案】
① $\boldsymbol{-\frac{b}{2a}}$；② $\boldsymbol{(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})}$；③ $\boldsymbol{减小}$；④ $\boldsymbol{增大}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点坐标；二次函数增减性
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查的都是二次函数最核心的基础性质，是后续解决二次函数各类综合题的基础，需要熟练记忆相关公式和增减性规律。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数基本性质的识记，解题思路如下：1.回忆二次函数一般式的对称轴、顶点坐标公式，直接对应填写①②空；2.结合二次函数开口方向和对称轴的位置判断增减性：$a＞0$时开口向上，对称轴左侧函数随$x$增大而减小，右侧随$x$增大而增大；$a＜0$时开口向下，对称轴左侧函数随$x$增大而增大，右侧随$x$增大而减小，据此填写③④空即可。
【解析】
① 对于二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，对称轴的公式为$x=-\frac{b}{2a}$，因此①处填$-\frac{b}{2a}$；
② 将二次函数一般式配方为顶点式：$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，可得顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，因此②处填$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；
③ 当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴左侧即$x＜-\frac{b}{2a}$的区间内，$y$随$x$的增大而减小，因此③处填减小；
④ 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧即$x＜-\frac{b}{2a}$的区间内，$y$随$x$的增大而增大，因此④处填增大。
【答案】
① $\boldsymbol{-\frac{b}{2a}}$；② $\boldsymbol{(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})}$；③ $\boldsymbol{减小}$；④ $\boldsymbol{增大}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点坐标；二次函数增减性
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查的都是二次函数最核心的基础性质，是后续解决二次函数各类综合题的基础，需要熟练记忆相关公式和增减性规律。
【难度系数】
0.9
1. 抛物线 $y=x^2 + 2$ 的顶点坐标是 （
A.$(0,2)$
B.$(0,-2)$
C.$(2,0)$
D.$(-2,0)$
A
）A.$(0,2)$
B.$(0,-2)$
C.$(2,0)$
D.$(-2,0)$
答案
1. A
解析
【分析】
求解本题首先需要回忆二次函数顶点坐标的求解方法：方法一，本题给出的抛物线解析式没有一次项，属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的特殊顶点式，该形式的抛物线顶点坐标为$(0,k)$，可直接对应参数得到结果；方法二，若对顶点式规律不熟悉，也可使用一般式的顶点坐标公式计算，先算顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}$，再代入解析式求纵坐标即可。
【解析】
解法1：观察抛物线解析式$y=x^2+2$，属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的形式，该类抛物线的顶点坐标为$(0,k)$。
本题中$a=1$，$k=2$，因此顶点坐标为$(0,2)$。
解法2：抛物线一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点横坐标公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中$a=1$，$b=0$，$c=2$，代入得$x=-\frac{0}{2×1}=0$，将$x=0$代入解析式得$y=0^2+2=2$，因此顶点坐标为$(0,2)$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标、二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查二次函数顶点坐标的求解能力，只要掌握顶点式的规律或顶点坐标公式即可快速解题，是二次函数部分必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
求解本题首先需要回忆二次函数顶点坐标的求解方法：方法一，本题给出的抛物线解析式没有一次项，属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的特殊顶点式，该形式的抛物线顶点坐标为$(0,k)$，可直接对应参数得到结果；方法二，若对顶点式规律不熟悉，也可使用一般式的顶点坐标公式计算，先算顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}$，再代入解析式求纵坐标即可。
【解析】
解法1：观察抛物线解析式$y=x^2+2$，属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的形式，该类抛物线的顶点坐标为$(0,k)$。
本题中$a=1$，$k=2$，因此顶点坐标为$(0,2)$。
解法2：抛物线一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点横坐标公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中$a=1$，$b=0$，$c=2$，代入得$x=-\frac{0}{2×1}=0$，将$x=0$代入解析式得$y=0^2+2=2$，因此顶点坐标为$(0,2)$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标、二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查二次函数顶点坐标的求解能力，只要掌握顶点式的规律或顶点坐标公式即可快速解题，是二次函数部分必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
2. 抛物线$y=-x^2 -2x +1$的对称轴是 （
A.$x=1$
B.$x=-2$
C.$x=-1$
D.$x=2$
C
）A.$x=1$
B.$x=-2$
C.$x=-1$
D.$x=2$
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，可回忆二次函数求对称轴的两种常用方法：一是公式法，对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，只需确定解析式中$a$、$b$的取值代入计算即可；二是配方法，将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a\ne0)$，对称轴就是直线$x=h$。计算时要注意$a$、$b$的符号，避免符号出错。
【解析】
方法一（公式法）：
已知抛物线解析式为$y=-x^2-2x+1$，对应二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得$a=-1$，$b=-2$。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算：
$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=\frac{2}{-2}=-1$，即对称轴为$x=-1$。
方法二（配方法）：
对解析式配方变形：
$y=-x^2-2x+1$
$=-(x^2+2x)+1$
$=-(x^2+2x+1-1)+1$
$=-(x+1)^2+1+1$
$=-(x+1)^2+2$
得到顶点式$y=-(x+1)^2+2$，因此对称轴为$x=-1$。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数一般式
【点评】
本题是二次函数基础考题，主要考查对称轴的求解方法，两种常用解法都需要熟练掌握，计算时需注意各项系数的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，可回忆二次函数求对称轴的两种常用方法：一是公式法，对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，只需确定解析式中$a$、$b$的取值代入计算即可；二是配方法，将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a\ne0)$，对称轴就是直线$x=h$。计算时要注意$a$、$b$的符号，避免符号出错。
【解析】
方法一（公式法）：
已知抛物线解析式为$y=-x^2-2x+1$，对应二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得$a=-1$，$b=-2$。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算：
$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=\frac{2}{-2}=-1$，即对称轴为$x=-1$。
方法二（配方法）：
对解析式配方变形：
$y=-x^2-2x+1$
$=-(x^2+2x)+1$
$=-(x^2+2x+1-1)+1$
$=-(x+1)^2+1+1$
$=-(x+1)^2+2$
得到顶点式$y=-(x+1)^2+2$，因此对称轴为$x=-1$。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数一般式
【点评】
本题是二次函数基础考题，主要考查对称轴的求解方法，两种常用解法都需要熟练掌握，计算时需注意各项系数的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.9
3. 下列对二次函数$y=x^2 +x$的图象的描述，正确的是（
A.对称轴是y轴
B.开口向下
C.经过原点
D.顶点在y轴右侧
C
）A.对称轴是y轴
B.开口向下
C.经过原点
D.顶点在y轴右侧
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查二次函数的图象与性质，解题时先明确二次函数$y=ax^2+bx+c$中各项系数$a、b、c$的取值，再结合二次函数的相关性质逐一判断每个选项的正误即可：先根据$a$的正负判断开口方向，用对称轴公式计算对称轴判断顶点位置，再代入原点坐标验证是否过该点。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+x$，可得系数$a=1$，$b=1$，$c=0$：
1. 判断选项A：二次函数对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$，不是y轴（y轴对应直线$x=0$），故A错误；
2. 判断选项B：二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，故B错误；
3. 判断选项C：将原点$(0,0)$代入函数解析式，左边$y=0$，右边$0^2+0=0$，等式成立，因此函数图象经过原点，故C正确；
4. 判断选项D：顶点的横坐标与对称轴一致，为$x=-\frac{1}{2}＜0$，因此顶点在y轴左侧，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质、二次函数的对称轴、函数图象上点的特征
【点评】
本题属于二次函数基础考查题，解题核心是熟练掌握二次函数各项性质的判定方法，只要牢记相关公式和判定规则就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的图象与性质，解题时先明确二次函数$y=ax^2+bx+c$中各项系数$a、b、c$的取值，再结合二次函数的相关性质逐一判断每个选项的正误即可：先根据$a$的正负判断开口方向，用对称轴公式计算对称轴判断顶点位置，再代入原点坐标验证是否过该点。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+x$，可得系数$a=1$，$b=1$，$c=0$：
1. 判断选项A：二次函数对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$，不是y轴（y轴对应直线$x=0$），故A错误；
2. 判断选项B：二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，故B错误；
3. 判断选项C：将原点$(0,0)$代入函数解析式，左边$y=0$，右边$0^2+0=0$，等式成立，因此函数图象经过原点，故C正确；
4. 判断选项D：顶点的横坐标与对称轴一致，为$x=-\frac{1}{2}＜0$，因此顶点在y轴左侧，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质、二次函数的对称轴、函数图象上点的特征
【点评】
本题属于二次函数基础考查题，解题核心是熟练掌握二次函数各项性质的判定方法，只要牢记相关公式和判定规则就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
4.若点$(3,a),(4,b)$都在二次函数$y=(x-2)^2$的图象上,则$a$与$b$的大小关系是 (
A.$a ＞ b$
B.$a ＜ b$
C.$a = b$
D.无法确定
B
)A.$a ＞ b$
B.$a ＜ b$
C.$a = b$
D.无法确定
答案
4. B
解析
【分析】
要比较a、b的大小，有两种常用解题思路：①直接将两个点的横坐标代入二次函数解析式，分别计算出a、b的数值后比较大小；②利用二次函数的增减性判断：先明确二次函数的开口方向、对称轴，再判断两个点横坐标所在的区间，结合该区间的增减性即可比较纵坐标的大小。
【解析】
方法一：代入求值法
把x=3代入$y=(x-2)^2$，得$a=(3-2)^2=1$；
把x=4代入$y=(x-2)^2$，得$b=(4-2)^2=4$；
∵$1＜4$，
∴$a＜b$。
方法二：利用二次函数增减性判断
二次函数$y=(x-2)^2$的开口向上，对称轴为直线$x=2$，
∴当$x＞2$时，y随x的增大而增大，
∵$2＜3＜4$，
∴对应函数值满足$a＜b$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，两种解题方法都容易掌握，代入计算法直观易懂，利用增减性判断解题效率更高，有助于加深对二次函数性质的理解。
【难度系数】
0.8
要比较a、b的大小，有两种常用解题思路：①直接将两个点的横坐标代入二次函数解析式，分别计算出a、b的数值后比较大小；②利用二次函数的增减性判断：先明确二次函数的开口方向、对称轴，再判断两个点横坐标所在的区间，结合该区间的增减性即可比较纵坐标的大小。
【解析】
方法一：代入求值法
把x=3代入$y=(x-2)^2$，得$a=(3-2)^2=1$；
把x=4代入$y=(x-2)^2$，得$b=(4-2)^2=4$；
∵$1＜4$，
∴$a＜b$。
方法二：利用二次函数增减性判断
二次函数$y=(x-2)^2$的开口向上，对称轴为直线$x=2$，
∴当$x＞2$时，y随x的增大而增大，
∵$2＜3＜4$，
∴对应函数值满足$a＜b$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，两种解题方法都容易掌握，代入计算法直观易懂，利用增减性判断解题效率更高，有助于加深对二次函数性质的理解。
【难度系数】
0.8
