登录
6. 在同一平面直角坐标系中,分别画出函数$y = \frac{2}{x}$和$y = -\frac{5}{x}$的图象.(不写画法)
答案
6. 解:如图所示.
解析
【分析】
要画出反比例函数的图象，首先明确反比例函数的图象是双曲线，第一步先根据比例系数k的符号判断图象所在的象限：函数$y=\frac{2}{x}$的$k=2＞0$，图象分布在第一、三象限；函数$y=-\frac{5}{x}$的$k=-5＜0$，图象分布在第二、四象限。接下来选取x的正负对称的若干个值，计算对应y值得到图象上的点坐标，再在坐标系中描点，最后用光滑的曲线顺次连接同一条双曲线上的点，注意双曲线无限接近但不与坐标轴相交，即可完成绘制。
【解析】
绘制两个反比例函数图象的步骤如下：
1. 判断图象位置：$y=\frac{2}{x}$的比例系数$k=2＞0$，图象是位于第一、三象限的双曲线；$y=-\frac{5}{x}$的比例系数$k=-5＜0$，图象是位于第二、四象限的双曲线。
2. 列表选取x的正负对称值，计算对应y值得到坐标点，在坐标系中描出对应点。
3. 用光滑的曲线分别连接同一象限内的点，即可得到两个函数的图象，最终图象如答案所示。
【答案】
如图所示。
【知识点】
反比例函数的图象、反比例函数的性质
【点评】
本题是基础的反比例函数作图题，解题核心是掌握反比例函数的图象特征，根据k的符号正确判断图象所在象限，连线时注意曲线光滑，且图象不会与坐标轴相交。
【难度系数】
0.8
要画出反比例函数的图象，首先明确反比例函数的图象是双曲线，第一步先根据比例系数k的符号判断图象所在的象限：函数$y=\frac{2}{x}$的$k=2＞0$，图象分布在第一、三象限；函数$y=-\frac{5}{x}$的$k=-5＜0$，图象分布在第二、四象限。接下来选取x的正负对称的若干个值，计算对应y值得到图象上的点坐标，再在坐标系中描点，最后用光滑的曲线顺次连接同一条双曲线上的点，注意双曲线无限接近但不与坐标轴相交，即可完成绘制。
【解析】
绘制两个反比例函数图象的步骤如下：
1. 判断图象位置：$y=\frac{2}{x}$的比例系数$k=2＞0$，图象是位于第一、三象限的双曲线；$y=-\frac{5}{x}$的比例系数$k=-5＜0$，图象是位于第二、四象限的双曲线。
2. 列表选取x的正负对称值，计算对应y值得到坐标点，在坐标系中描出对应点。
3. 用光滑的曲线分别连接同一象限内的点，即可得到两个函数的图象，最终图象如答案所示。
【答案】
如图所示。
【知识点】
反比例函数的图象、反比例函数的性质
【点评】
本题是基础的反比例函数作图题，解题核心是掌握反比例函数的图象特征，根据k的符号正确判断图象所在象限，连线时注意曲线光滑，且图象不会与坐标轴相交。
【难度系数】
0.8
7. (人教九上$P_{70}$例1变式)已知反比例函数的图象经过点$(2, -4)$.
(1)求反比例函数的解析式,它的图象位于哪些象限?
(2)$y$随$x$的增大如何变化?
(3)判断点$(-3,0),(-4,2)$是否在此函数的图象上?
(1)求反比例函数的解析式,它的图象位于哪些象限?
(2)$y$随$x$的增大如何变化?
(3)判断点$(-3,0),(-4,2)$是否在此函数的图象上?
答案
7. 解:(1)设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$.
$\therefore -4 = \frac{k}{2}.\therefore k = -8.$
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y = -\frac{8}{x}$,它的图象位于第二、第四象限.
(2)在每一象限内,y 随 x 的增大而增大.
(3)$\because -3 ×0 =0≠-8,-4 ×2 = -8$,
$\therefore$ 点( -3,0)不在此函数的图象上,( -4,2)在此函数的图象上.
$\therefore -4 = \frac{k}{2}.\therefore k = -8.$
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y = -\frac{8}{x}$,它的图象位于第二、第四象限.
(2)在每一象限内,y 随 x 的增大而增大.
(3)$\because -3 ×0 =0≠-8,-4 ×2 = -8$,
$\therefore$ 点( -3,0)不在此函数的图象上,( -4,2)在此函数的图象上.
解析
【分析】
这道题考查反比例函数的基础应用，解题思路如下：(1)首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，已知函数图象过定点，用待定系数法，将点坐标代入解析式即可求出k值，得到解析式后，根据k的正负判断图象所在象限：k＞0时图象在一、三象限，k＜0时图象在二、四象限。(2)反比例函数的增减性要结合象限判断，k＜0时，在每一个象限内y随x的增大而增大，注意不能省略“在每一象限内”的前提。(3)判断点是否在反比例函数图象上，只需验证点的横、纵坐标的乘积是否等于k即可，若乘积等于k则点在图象上，反之则不在。
【解析】
(1)设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$(2,-4)$代入解析式得：$-4 = \frac{k}{2}$，解得$k = -8$，
∴反比例函数的解析式为 $y = -\frac{8}{x}$，
∵$k=-8＜0$，
∴它的图象位于第二、第四象限。
(2)
∵$k=-8＜0$，
∴在每一象限内，y 随 x 的增大而增大。
(3)对于反比例函数$y = -\frac{8}{x}$，变形可得$xy=-8$，满足该等式的点在函数图象上：
点$(-3,0)$：$-3 ×0 =0≠-8$，因此不在此函数的图象上；
点$(-4,2)$：$-4 ×2 = -8$，因此在此函数的图象上。
【答案】
(1)反比例函数解析式为$y=-\frac{8}{x}$，图象位于第二、第四象限；
(2)在每一象限内，y随x的增大而增大；
(3)点$(-3,0)$不在此函数图象上，点$(-4,2)$在此函数图象上。
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的图象与性质
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题，核心考查对反比例函数基本性质的理解和应用，解题关键是熟练掌握待定系数法的使用，注意反比例函数增减性的适用范围，避免因遗漏前提条件出错。
【难度系数】
0.8
这道题考查反比例函数的基础应用，解题思路如下：(1)首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，已知函数图象过定点，用待定系数法，将点坐标代入解析式即可求出k值，得到解析式后，根据k的正负判断图象所在象限：k＞0时图象在一、三象限，k＜0时图象在二、四象限。(2)反比例函数的增减性要结合象限判断，k＜0时，在每一个象限内y随x的增大而增大，注意不能省略“在每一象限内”的前提。(3)判断点是否在反比例函数图象上，只需验证点的横、纵坐标的乘积是否等于k即可，若乘积等于k则点在图象上，反之则不在。
【解析】
(1)设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$(2,-4)$代入解析式得：$-4 = \frac{k}{2}$，解得$k = -8$，
∴反比例函数的解析式为 $y = -\frac{8}{x}$，
∵$k=-8＜0$，
∴它的图象位于第二、第四象限。
(2)
∵$k=-8＜0$，
∴在每一象限内，y 随 x 的增大而增大。
(3)对于反比例函数$y = -\frac{8}{x}$，变形可得$xy=-8$，满足该等式的点在函数图象上：
点$(-3,0)$：$-3 ×0 =0≠-8$，因此不在此函数的图象上；
点$(-4,2)$：$-4 ×2 = -8$，因此在此函数的图象上。
【答案】
(1)反比例函数解析式为$y=-\frac{8}{x}$，图象位于第二、第四象限；
(2)在每一象限内，y随x的增大而增大；
(3)点$(-3,0)$不在此函数图象上，点$(-4,2)$在此函数图象上。
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的图象与性质
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题，核心考查对反比例函数基本性质的理解和应用，解题关键是熟练掌握待定系数法的使用，注意反比例函数增减性的适用范围，避免因遗漏前提条件出错。
【难度系数】
0.8
8. (人教九上 $\mathrm{P}_{73}$ 习题 $\mathrm{T}_{6}$ 变式)若反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象位于第二、第四象限，则一次函数 $y=kx - b$ (常数 $k$ 和 $b$ 互为相反数)在平面直角坐标系中的图象大致是 (
D
)答案
8. D
解析
【分析】
解题时先从已知的反比例函数图象性质入手：①反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限，可直接得出$k＜0$；②再根据$k$和$b$互为相反数的条件，推导得到$b=-k＞0$，因此一次函数的常数项$-b＜0$；③最后结合一次函数的斜率（$k＜0$，图象呈下降趋势）和截距（$-b＜0$，与$y$轴交于负半轴），即可判断出一次函数的图象特征，匹配对应选项。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、第四象限，
∴$k＜0$，
∵常数$k$和$b$互为相反数，
∴$b=-k$，结合$k＜0$可得$b＞0$，
∴一次函数$y=kx-b$的常数项为$-b＜0$，
对于一次函数$y=kx-b$：
一次项系数$k＜0$，因此函数图象从左到右呈下降趋势，排除图象上升的A、B选项；
常数项$-b＜0$，因此函数图象与$y$轴交于负半轴，排除与$y$轴交于正半轴的C选项，只有D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；一次函数的图象与性质；相反数的定义
【点评】
本题是函数图象的基础综合题，核心考查两类函数的系数和图象位置的对应关系，解题的关键是按顺序推导$k$、$b$的符号，再对应一次函数的图象特征即可，是各类考试中高频考查的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的反比例函数图象性质入手：①反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限，可直接得出$k＜0$；②再根据$k$和$b$互为相反数的条件，推导得到$b=-k＞0$，因此一次函数的常数项$-b＜0$；③最后结合一次函数的斜率（$k＜0$，图象呈下降趋势）和截距（$-b＜0$，与$y$轴交于负半轴），即可判断出一次函数的图象特征，匹配对应选项。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、第四象限，
∴$k＜0$，
∵常数$k$和$b$互为相反数，
∴$b=-k$，结合$k＜0$可得$b＞0$，
∴一次函数$y=kx-b$的常数项为$-b＜0$，
对于一次函数$y=kx-b$：
一次项系数$k＜0$，因此函数图象从左到右呈下降趋势，排除图象上升的A、B选项；
常数项$-b＜0$，因此函数图象与$y$轴交于负半轴，排除与$y$轴交于正半轴的C选项，只有D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；一次函数的图象与性质；相反数的定义
【点评】
本题是函数图象的基础综合题，核心考查两类函数的系数和图象位置的对应关系，解题的关键是按顺序推导$k$、$b$的符号，再对应一次函数的图象特征即可，是各类考试中高频考查的基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 在平面直角坐标系中，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象如图所示，点A，B不在该反比例函数的图象上，则k的值可以为（
A.-1
B.-2
C.-3
D.-4
C
）A.-1
B.-2
C.-3
D.-4
答案
9. C
解析
【分析】
要确定k的取值范围，我们利用反比例函数的性质：若点$(x,y)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，则$k=xy$。已知点A、B都不在图象上，结合图象上相同横坐标处的函数值和点A、B的纵坐标的大小关系，列出不等式求出k的取值范围，再匹配选项即可。
首先分析第二象限的点$A(-2,2)$：当$x=-2$时，反比例函数图象上的点的纵坐标小于A点的纵坐标2；再分析第四象限的点$B(1,-2)$：当$x=1$时，反比例函数图象上的点的纵坐标小于B点的纵坐标-2，据此列不等式求解。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
1. 分析点$A(-2,2)$：由图象可知，当$x=-2$时，反比例函数对应的函数值小于A点的纵坐标2，即
$\frac{k}{-2}＜2$
不等式两边同时乘$-2$，不等号方向改变，得$k＞-4$。
2. 分析点$B(1,-2)$：由图象可知，当$x=1$时，反比例函数对应的函数值小于B点的纵坐标-2，即
$\frac{k}{1}＜-2$
解得$k＜-2$。
综上，k的取值范围是$-4＜k＜-2$，结合选项，只有$-3$符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是结合图象判断相同横坐标下，函数图象上点的纵坐标和已知点纵坐标的大小关系，进而列不等式求出k的取值范围。
【难度系数】
0.7
要确定k的取值范围，我们利用反比例函数的性质：若点$(x,y)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，则$k=xy$。已知点A、B都不在图象上，结合图象上相同横坐标处的函数值和点A、B的纵坐标的大小关系，列出不等式求出k的取值范围，再匹配选项即可。
首先分析第二象限的点$A(-2,2)$：当$x=-2$时，反比例函数图象上的点的纵坐标小于A点的纵坐标2；再分析第四象限的点$B(1,-2)$：当$x=1$时，反比例函数图象上的点的纵坐标小于B点的纵坐标-2，据此列不等式求解。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
1. 分析点$A(-2,2)$：由图象可知，当$x=-2$时，反比例函数对应的函数值小于A点的纵坐标2，即
$\frac{k}{-2}＜2$
不等式两边同时乘$-2$，不等号方向改变，得$k＞-4$。
2. 分析点$B(1,-2)$：由图象可知，当$x=1$时，反比例函数对应的函数值小于B点的纵坐标-2，即
$\frac{k}{1}＜-2$
解得$k＜-2$。
综上，k的取值范围是$-4＜k＜-2$，结合选项，只有$-3$符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是结合图象判断相同横坐标下，函数图象上点的纵坐标和已知点纵坐标的大小关系，进而列不等式求出k的取值范围。
【难度系数】
0.7
10.（推理能力）如图，已知点$A(5,0),B(4,4)$，以$OA,AB$为边作平行四边形$OABC$，若一个反比例函数的图象经过点$C$.
(1)求点$C$的坐标；
(2)求这个反比例函数的解析式.
(1)求点$C$的坐标；
(2)求这个反比例函数的解析式.
答案
10. 解:(1)如图,设 BC 交 y 轴于点 E.
$\because$ 点 $A(5,0),B(4,4)$,四边形 OABC 是平行四边形,
$\therefore BC = AO =5,BE =4,EO =4.$
$\therefore EC =1.$
$\therefore$ 点 C 的坐标为( -1,4).
(2)设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0).$
$\because$ 反比例函数的图象经过点 C,
$\therefore k =( -1) ×4 = -4.$
$\therefore$ 这个反比例函数的解析式为 $y = -\frac{4}{x}.$
解析
【分析】
(1) 求解点C坐标，优先结合平行四边形对边平行且相等的性质分析：已知四边形OABC是平行四边形，因此BC与OA平行且长度相等。OA在x轴上，长度为5，可得BC平行于x轴，故点C纵坐标与点B纵坐标相同为4；再根据BC长为5、点B横坐标为4，可推出点C横坐标为4-5=-1，即可得到C点坐标。
(2) 求反比例函数解析式使用待定系数法：设反比例函数为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将已求出的C点坐标代入解析式，计算得到k的值，即可确定反比例函数解析式。
【解析】
(1) 如图，设BC交y轴于点E。
∵ 点$A(5,0)$，$B(4,4)$，四边形OABC是平行四边形，
∴ $BC = AO =5$，且$BC// AO$，
∵ AO在x轴上，因此BC平行于x轴，B、C两点纵坐标相同，均为4，即$EO=4$，
点E在y轴上横坐标为0，因此$BE=4-0=4$，
∴ $EC=BC-BE=5-4=1$，
又
∵ 点C在y轴左侧，横坐标为负，因此点C横坐标为$-1$，
综上，点C的坐标为$(-1,4)$。
(2) 设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
∵ 反比例函数的图象经过点$C(-1,4)$，
将$x=-1$，$y=4$代入解析式可得：$k =(-1) ×4 = -4$，
∴ 这个反比例函数的解析式为 $y = -\frac{4}{x}$。
【答案】
(1) 点C的坐标为$(-1,4)$；
(2) 反比例函数的解析式为$y = -\frac{4}{x}$。
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 待定系数法求反比例函数解析式
3. 点的坐标特征
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，解题核心是熟练运用平行四边形对边平行且相等的性质求出未知点坐标，再结合待定系数法求解反比例函数解析式，属于常考的基础考点，需熟练掌握相关性质和方法。
【难度系数】
0.8
(1) 求解点C坐标，优先结合平行四边形对边平行且相等的性质分析：已知四边形OABC是平行四边形，因此BC与OA平行且长度相等。OA在x轴上，长度为5，可得BC平行于x轴，故点C纵坐标与点B纵坐标相同为4；再根据BC长为5、点B横坐标为4，可推出点C横坐标为4-5=-1，即可得到C点坐标。
(2) 求反比例函数解析式使用待定系数法：设反比例函数为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将已求出的C点坐标代入解析式，计算得到k的值，即可确定反比例函数解析式。
【解析】
(1) 如图，设BC交y轴于点E。
∵ 点$A(5,0)$，$B(4,4)$，四边形OABC是平行四边形，
∴ $BC = AO =5$，且$BC// AO$，
∵ AO在x轴上，因此BC平行于x轴，B、C两点纵坐标相同，均为4，即$EO=4$，
点E在y轴上横坐标为0，因此$BE=4-0=4$，
∴ $EC=BC-BE=5-4=1$，
又
∵ 点C在y轴左侧，横坐标为负，因此点C横坐标为$-1$，
综上，点C的坐标为$(-1,4)$。
(2) 设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
∵ 反比例函数的图象经过点$C(-1,4)$，
将$x=-1$，$y=4$代入解析式可得：$k =(-1) ×4 = -4$，
∴ 这个反比例函数的解析式为 $y = -\frac{4}{x}$。
【答案】
(1) 点C的坐标为$(-1,4)$；
(2) 反比例函数的解析式为$y = -\frac{4}{x}$。
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 待定系数法求反比例函数解析式
3. 点的坐标特征
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，解题核心是熟练运用平行四边形对边平行且相等的性质求出未知点坐标，再结合待定系数法求解反比例函数解析式，属于常考的基础考点，需熟练掌握相关性质和方法。
【难度系数】
0.8
