1.【例1】已知反比例函数$y=\frac{2}{x}$。
（1）若点$(1,y_1),(2,y_2)$在该图象上，则
$y_1$$y_2$；
（2）若点$(-1,y_3),(-2,y_4)$在该图象上，则
$y_3$$y_4$；
（3）若点$(-1,y_5),(2,y_6)$在该图象上，则
$y_5$$y_6$。

1. (1) ＞ (2) ＜ (3) ＜

【分析】
解题思路可按以下步骤梳理：首先确定反比例函数$y=\frac{2}{x}$的比例系数$k=2＞0$，由此得到两个核心性质：①图象分布在第一、三象限，第一象限内点的纵坐标为正，第三象限内点的纵坐标为负；②同一象限内，$y$随$x$的增大而减小。比较函数值时分两类处理：若两点在同一象限，直接用增减性判断；若两点在不同象限，通过纵坐标的正负性判断即可。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，$k=2＞0$，
因此该函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
(1) 点$(1,y_1)$、$(2,y_2)$都在第一象限，
$\because 1＜2$，根据同一象限内$y$随$x$增大而减小，可得$y_1＞y_2$；
(2) 点$(-1,y_3)$、$(-2,y_4)$都在第三象限，
$\because -1＞-2$，根据同一象限内$y$随$x$增大而减小，可得$y_3＜y_4$；
(3) 点$(-1,y_5)$在第三象限，因此$y_5＜0$；点$(2,y_6)$在第一象限，因此$y_6＞0$，
$\because$负数小于正数，$\therefore y_5＜y_6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{＞}$；(2) $\boldsymbol{＜}$；(3) $\boldsymbol{＜}$
【知识点】
反比例函数的性质、函数值大小比较
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，易错点是忽略增减性的适用前提：只有在同一个象限内，才能通过$x$的大小关系判断$y$的大小，不同象限的点直接通过函数值正负判断即可，避免盲目套用增减性出错。
【难度系数】
0.8

2. (1)已知点$A(x_1,y_1)$和点$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上.如果$x_1＜x_2$,且$x_1,x_2$同号,那么$y_1\_\_\_\_\_\_y_2$;
(2)若双曲线$y=\frac{k}{x}(k＜0)$经过点$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$且$x_1＜0＜x_2$,则$y_1$与$y_2$的大小关系为.

2. (1) ＞ (2) $y_1＞y_2$

【分析】
解决这类反比例函数值比较大小的问题，核心思路是先根据k的正负确定函数的图象性质，再根据自变量x的取值判断点所在的象限：①若两点在同一象限，直接用反比例函数的增减性判断函数值大小；②若两点在不同象限，可根据象限内点的坐标符号特征直接比较。
第(1)问：先明确k＞0时反比例函数的增减性，再结合x₁、x₂同号说明两点在同一象限，即可推导y₁和y₂的大小；第(2)问：先明确k＜0时函数图象所在象限，再结合x₁＜0＜x₂判断两点分别在第二、第四象限，根据两象限纵坐标的正负即可比较大小。
【解析】
(1) 对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$，其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
已知$x_1＜x_2$且$x_1,x_2$同号，说明点$A$、$B$在同一个象限内，根据增减性可得：自变量越小，对应的函数值越大，因此$y_1＞y_2$。
(2) 对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$，其图象位于第二、四象限。
已知$x_1＜0$，则点$(x_1,y_1)$在第二象限，第二象限内点的纵坐标为正，即$y_1＞0$；
已知$x_2＞0$，则点$(x_2,y_2)$在第四象限，第四象限内点的纵坐标为负，即$y_2＜0$。
因为正数大于负数，所以$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{＞}$；(2) $\boldsymbol{y_1＞y_2}$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题时要注意：反比例函数的增减性只适用于同一象限内的点，若两点在不同象限，直接利用坐标的正负性比较大小更简便，避免直接套用增减性出错。
【难度系数】
0.8

3.【例2】已知反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$。
(1)当$-3 ≤ x ≤ -1$时，$y$的取值范围是；
(2)当$y＞2$时，$x$的取值范围是。

3. (1) $4≤y≤12$ (2) $-6＜x＜0$

【分析】
首先回忆反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的性质：当$k＜0$时，图象在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
(1) 中给出的$x$范围$-3≤x≤-1$全是负数，对应第二象限的图象，可直接利用单调性代入端点计算$y$的最值，得到$y$的取值范围；
(2) 中$y＞2$为正数，说明$x$是负数（对应第二象限），再列不等式求解，注意乘负数时不等号方向要改变。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$，$k=-12＜0$，因此图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
(1) 当$-3≤ x≤ -1$时，$x$均为负数，属于第二象限的分支，函数单调递增：
将$x=-3$代入得$y=-\dfrac{12}{-3}=4$；
将$x=-1$代入得$y=-\dfrac{12}{-1}=12$；
因此$y$的取值范围是$4≤ y≤ 12$。
(2) 当$y＞2$时，$y$为正数，此时对应第二象限的图象，故$x＜0$：
列不等式$-\dfrac{12}{x}＞2$，
因为$x＜0$，两边同时乘$x$（负数），不等号方向改变，得$-12＜2x$，
解得$x＞-6$，结合$x＜0$，可得$x$的取值范围是$-6＜x＜0$。
【答案】
(1) $4≤y≤12$；(2) $-6＜x＜0$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 不等式的求解
【点评】
本题核心考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先判断自变量或函数值所在的象限，再结合增减性或列不等式求解，要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，解含负数分母的不等式时要记得改变不等号方向。
【难度系数】
0.7

4. 已知反比例函数$y=\frac{6}{x}$。
(1) 当$-3 ≤ x ≤ -1$时，$y$的取值范围是；
(2) 当$2 ≤ y ＜ 6$时，$x$的取值范围是。

4. (1) $-6≤y≤-2$ (2) $1＜x≤3$

【分析】
已知反比例函数$y=\frac{6}{x}$的比例系数$k=6＞0$，因此函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。解题时先根据给定的$x$或$y$的取值范围判断对应图象所在的象限，再代入端点值计算对应的函数值或自变量值，最后结合单调性确定取值范围：
(1) 给定$x$的范围均为负数，对应第三象限的图象分支，代入$x=-3$和$x=-1$计算$y$值，结合单调性推导$y$的范围；
(2) 给定$y$的范围均为正数，对应第一象限的图象分支，代入$y=2$和$y=6$计算$x$值，结合单调性和不等号方向推导$x$的范围。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{6}{x}$中$k=6＞0$，
∴ 函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
(1) 当$-3 ≤ x ≤ -1$时，$x$均为负数，对应第三象限的图象：
当$x=-3$时，$y=\frac{6}{-3}=-2$；
当$x=-1$时，$y=\frac{6}{-1}=-6$；
∵ 第三象限内$y$随$x$增大而减小，$x$从$-3$增大到$-1$，
∴ $y$的取值范围为$-6≤y≤-2$。
(2) 当$2 ≤ y ＜ 6$时，$y$均为正数，对应第一象限的图象：
当$y=2$时，$2=\frac{6}{x}$，解得$x=3$；
当$y=6$时，$6=\frac{6}{x}$，解得$x=1$；
∵ 第一象限内$y$随$x$增大而减小，$y$从$2$增大到$6$，且$y＜6$，
∴ $x$的取值范围为$1＜x≤3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6≤y≤-2}$；(2) $\boldsymbol{1＜x≤3}$
【知识点】
反比例函数的性质，函数取值范围求解
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是先明确对应图象所在象限，再结合单调性推导取值范围，要注意反比例函数的单调性仅在单个象限内成立，不能跨象限直接使用。
【难度系数】
0.7

5.【例3】(1)如图,过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上任意一点$P(x,y)$作$x$轴,$y$轴的垂线,垂足分别为点$A,B$,所得的矩形$PAOB$的面积为$S_{矩形PAOB}=|x|·|y|=|xy|=$;

(2)连接$OP$,则$S_{△ PAO}=S_{△ PBO}=\frac{1}{2}S_{矩形PAOB}=$.

5. (1) $|k|$ (2) $\frac{1}{2}|k|$

【分析】
解题时先结合反比例函数的解析式特征分析：①已知点P在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，可推出x与y的乘积为k；②矩形PAOB的邻边长分别是点P横、纵坐标的绝对值，面积为邻边长度的乘积，结合xy=k即可推导面积结果；③三角形PAO、PBO均由矩形的对角线分割得到，面积为矩形的一半，代入第一问的结果即可求解。
【解析】
(1)
∵点$P(x,y)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴将$P(x,y)$代入解析式得$xy=k$，
又
∵矩形$PAOB$的面积$S_{矩形PAOB}=|x|·|y|=|xy|$，
∴$S_{矩形PAOB}=|k|$。
(2) 由图可知，$OP$是矩形$PAOB$的对角线，对角线将矩形分为两个面积相等的三角形，
∴$S_{△PAO}=S_{△PBO}=\frac{1}{2}S_{矩形PAOB}$，
代入$S_{矩形PAOB}=|k|$，得$S_{△PAO}=S_{△PBO}=\frac{1}{2}|k|$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{|k|}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}|k|}$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 矩形面积计算
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查反比例函数中参数k的几何意义，该性质是解决反比例函数与图形面积结合类问题的常用结论，解题时要注意面积为非负数，因此结果需保留绝对值。
【难度系数】
0.8

6. 如图,反比例函数 $y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$ 的图象经过点 P.

(1)若已知矩形 PMON 的面积为 6,则 $k =$ ;
(2)连接 OP,若 $S_{△ OPM} = 4$,则 $k =$ .

6. (1) $-6$ (2) $-8$

【分析】
解题核心是运用反比例函数中k的几何意义：①过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图像上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$\vert k\vert$；②以该点、原点、x轴（或y轴）上的垂足为顶点的直角三角形面积为$\frac{1}{2}\vert k\vert$。再结合本题反比例函数图像位于第二象限（$x＜0$时$y＞0$），可判断$k＜0$，求出$\vert k\vert$后添加负号即可得到k的取值。
【解析】
(1) 设点P坐标为$(x,y)$，
∵点P在$y=\frac{k}{x}(x＜0)$上，
∴$xy=k$。
矩形PMON的面积$=|x|·|y|=|xy|=|k|$，已知矩形面积为6，
∴$|k|=6$。
∵函数图像在第二象限，$x＜0,y＞0$，
∴$k=xy＜0$，故$k=-6$。
(2) $△ OPM$为直角三角形，面积$S_{△ OPM}=\frac{1}{2}·|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ OPM}=4$，
∴$\frac{1}{2}|k|=4$，解得$|k|=8$。
结合$k＜0$，故$k=-8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$；(2) $\boldsymbol{-8}$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 反比例函数的图像性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，重点考查k的几何意义的应用，解题的易错点是忽略函数图像所在象限，漏判断k的符号导致结果错误，熟练掌握k的几何意义即可快速求解。
【难度系数】
0.8