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1. 已知反比例函数$y=\frac{2}{x}$，当$x＞0$时，y
$＞$
0，这部分图象位于第 一
象限，且y随x的增大而 减小
。答案
1. $＞$ 一 减小
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的相关性质：当$k＞0$时，函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。本题先确定比例系数$k$的取值，再结合$x＞0$的范围依次判断$y$的符号、图象所在象限、增减性即可。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，比例系数$k=2＞0$：
1. 当$x＞0$时，$y=\frac{2}{x}$的分子、分母均为正数，因此$y＞0$；
2. 横、纵坐标均为正数的点位于平面直角坐标系的第一象限，因此$x＞0$对应的这部分图象位于第一象限；
3. 根据反比例函数性质，$k＞0$时在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此这部分图象上$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
$＞$；一；减小
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的象限分布；反比例函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数的基本性质，熟练掌握比例系数$k$的正负与函数图象特征、增减性的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的相关性质：当$k＞0$时，函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。本题先确定比例系数$k$的取值，再结合$x＞0$的范围依次判断$y$的符号、图象所在象限、增减性即可。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，比例系数$k=2＞0$：
1. 当$x＞0$时，$y=\frac{2}{x}$的分子、分母均为正数，因此$y＞0$；
2. 横、纵坐标均为正数的点位于平面直角坐标系的第一象限，因此$x＞0$对应的这部分图象位于第一象限；
3. 根据反比例函数性质，$k＞0$时在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此这部分图象上$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
$＞$；一；减小
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的象限分布；反比例函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数的基本性质，熟练掌握比例系数$k$的正负与函数图象特征、增减性的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2. 若反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ≠ 0) $ 经过点 $ (a,b) $，则下列选项中的点不在该函数图象上的是（
A.$ (b,a) $
B.$ (-b,a) $
C.$ (2a, \frac{b}{2}) $
D.$ (-a, -b) $
B
）A.$ (b,a) $
B.$ (-b,a) $
C.$ (2a, \frac{b}{2}) $
D.$ (-a, -b) $
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用反比例函数的核心性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于定值$k$。首先根据已知经过的点$(a,b)$求出$k$的表达式，再逐一计算四个选项中点的横纵坐标乘积，对比是否等于$k$，乘积不等于$k$的点就不在该函数图象上。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$经过点$(a,b)$
∴将$(a,b)$代入解析式得：$b=\frac{k}{a}$，即$k=ab$
反比例函数上所有点的横、纵坐标乘积均为定值$ab$，逐一验证选项：
A. 点$(b,a)$的横纵坐标乘积为$b×a=ab=k$，故该点在函数图象上；
B. 点$(-b,a)$的横纵坐标乘积为$(-b)×a=-ab≠ab$，故该点不在函数图象上；
C. 点$(2a,\frac{b}{2})$的横纵坐标乘积为$2a×\frac{b}{2}=ab=k$，故该点在函数图象上；
D. 点$(-a,-b)$的横纵坐标乘积为$(-a)×(-b)=ab=k$，故该点在函数图象上。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是牢记反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值$k$，掌握该性质即可快速验证各选项，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先利用反比例函数的核心性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于定值$k$。首先根据已知经过的点$(a,b)$求出$k$的表达式，再逐一计算四个选项中点的横纵坐标乘积，对比是否等于$k$，乘积不等于$k$的点就不在该函数图象上。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$经过点$(a,b)$
∴将$(a,b)$代入解析式得：$b=\frac{k}{a}$，即$k=ab$
反比例函数上所有点的横、纵坐标乘积均为定值$ab$，逐一验证选项：
A. 点$(b,a)$的横纵坐标乘积为$b×a=ab=k$，故该点在函数图象上；
B. 点$(-b,a)$的横纵坐标乘积为$(-b)×a=-ab≠ab$，故该点不在函数图象上；
C. 点$(2a,\frac{b}{2})$的横纵坐标乘积为$2a×\frac{b}{2}=ab=k$，故该点在函数图象上；
D. 点$(-a,-b)$的横纵坐标乘积为$(-a)×(-b)=ab=k$，故该点在函数图象上。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是牢记反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值$k$，掌握该性质即可快速验证各选项，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
3. (2025天津)若点$A(-3,y_1),B(1,y_2),C(3,y_3)$都在反比例函数$y=-\dfrac{9}{x}$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
C.$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
D.$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
D
）A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
C.$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
D.$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
答案
3. D
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先根据反比例函数的解析式确定k的正负，以此判断函数图象所在的象限以及增减性；第二步根据三个点横坐标的正负，判断各点所在的象限，初步确定对应y值的正负范围；第三步对位于同一象限的点，结合函数的增减性比较对应y值的大小，最终完成排序。也可以直接将各点横坐标代入解析式求出y值，再直接比较大小。
【解析】
方法一：利用反比例函数性质求解
已知反比例函数为$y=-\dfrac{9}{x}$，其中$k=-9＜0$，因此该函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
点$A(-3,y_1)$的横坐标$-3＜0$，位于第二象限，第二象限内的点纵坐标为正，因此$y_1＞0$；
点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标均大于0，位于第四象限，第四象限内的点纵坐标为负，因此$y_2＜0$，$y_3＜0$。
第四象限内$y$随$x$的增大而增大，且$1＜3$，因此$y_2＜y_3$。
综上可得$y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：代入计算求解
将三个点的横坐标分别代入函数解析式，计算对应的y值：
当$x=-3$时，$y_1=-\dfrac{9}{-3}=3$；
当$x=1$时，$y_2=-\dfrac{9}{1}=-9$；
当$x=3$时，$y_3=-\dfrac{9}{3}=-3$。
比较大小：$-9＜-3＜3$，即$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，两种解题方法都较为常规，既可以通过计算直接得到结果，也可以利用函数的增减性和象限特征快速判断，掌握反比例函数的基本性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步先根据反比例函数的解析式确定k的正负，以此判断函数图象所在的象限以及增减性；第二步根据三个点横坐标的正负，判断各点所在的象限，初步确定对应y值的正负范围；第三步对位于同一象限的点，结合函数的增减性比较对应y值的大小，最终完成排序。也可以直接将各点横坐标代入解析式求出y值，再直接比较大小。
【解析】
方法一：利用反比例函数性质求解
已知反比例函数为$y=-\dfrac{9}{x}$，其中$k=-9＜0$，因此该函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
点$A(-3,y_1)$的横坐标$-3＜0$，位于第二象限，第二象限内的点纵坐标为正，因此$y_1＞0$；
点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标均大于0，位于第四象限，第四象限内的点纵坐标为负，因此$y_2＜0$，$y_3＜0$。
第四象限内$y$随$x$的增大而增大，且$1＜3$，因此$y_2＜y_3$。
综上可得$y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：代入计算求解
将三个点的横坐标分别代入函数解析式，计算对应的y值：
当$x=-3$时，$y_1=-\dfrac{9}{-3}=3$；
当$x=1$时，$y_2=-\dfrac{9}{1}=-9$；
当$x=3$时，$y_3=-\dfrac{9}{3}=-3$。
比较大小：$-9＜-3＜3$，即$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，两种解题方法都较为常规，既可以通过计算直接得到结果，也可以利用函数的增减性和象限特征快速判断，掌握反比例函数的基本性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
4. 如图,点A在双曲线$y=\frac{1}{x}$上,点B在双曲线$y=-\frac{2}{x}$上,且AB//x轴,点C和点D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则矩形ABCD的面积为（
A.1
B.1.5
C.3
D.6
C
）A.1
B.1.5
C.3
D.6
答案
4. C
解析
【分析】
解题思路：首先利用AB平行x轴的性质，可知点A和点B纵坐标相等，我们可以先设出点A的坐标，结合反比例函数解析式表示出点B的坐标，再根据矩形对边相等的性质，用坐标表示出矩形的长和宽，最后计算面积即可，计算过程中参数会自动消去，得到固定的面积值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{1}{a})$（$a＞0$），
∵$AB// x$轴，四边形ABCD是矩形，
∴点B的纵坐标与点A相同，为$\frac{1}{a}$，矩形的高为$\frac{1}{a}$。
将$y=\frac{1}{a}$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$\frac{1}{a}=-\frac{2}{x}$，解得$x=-2a$，即点B的坐标为$(-2a,\frac{1}{a})$。
∴AB的长度为$a - (-2a)=3a$，
∴矩形ABCD的面积$S=AB× 高=3a× \frac{1}{a}=3$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的坐标特征，矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础题型，解题的关键是利用平行于x轴的直线上点纵坐标相等的性质设出坐标，通过坐标表示边长计算面积，参数会在计算中消去，无需额外求解参数值。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先利用AB平行x轴的性质，可知点A和点B纵坐标相等，我们可以先设出点A的坐标，结合反比例函数解析式表示出点B的坐标，再根据矩形对边相等的性质，用坐标表示出矩形的长和宽，最后计算面积即可，计算过程中参数会自动消去，得到固定的面积值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{1}{a})$（$a＞0$），
∵$AB// x$轴，四边形ABCD是矩形，
∴点B的纵坐标与点A相同，为$\frac{1}{a}$，矩形的高为$\frac{1}{a}$。
将$y=\frac{1}{a}$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$\frac{1}{a}=-\frac{2}{x}$，解得$x=-2a$，即点B的坐标为$(-2a,\frac{1}{a})$。
∴AB的长度为$a - (-2a)=3a$，
∴矩形ABCD的面积$S=AB× 高=3a× \frac{1}{a}=3$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的坐标特征，矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础题型，解题的关键是利用平行于x轴的直线上点纵坐标相等的性质设出坐标，通过坐标表示边长计算面积，参数会在计算中消去，无需额外求解参数值。
【难度系数】
0.7
5. (易错题)已知反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$,则下列结论错误的是 (
A.图象位于第二、第四象限
B.图象必经过点$(-2,4)$
C.当$-1 ＜ x ＜ 0$时,$y ＞ 8$
D.$y$随$x$的增大而增大
D
)A.图象位于第二、第四象限
B.图象必经过点$(-2,4)$
C.当$-1 ＜ x ＜ 0$时,$y ＞ 8$
D.$y$随$x$的增大而增大
答案
5. D
解析
【分析】
要判断关于反比例函数结论的正误，首先明确该反比例函数的比例系数$k=-8$，再结合反比例函数的图象位置、图象上点的坐标特征、增减性的适用条件，逐个对选项进行验证即可。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$，比例系数$k=-8＜0$：
A选项：当$k＜0$时，反比例函数图象位于第二、第四象限，该结论正确，不符合题意；
B选项：将$x=-2$代入函数解析式，得$y=-\dfrac{8}{-2}=4$，因此点$(-2,4)$在函数图象上，该结论正确，不符合题意；
C选项：当$x=-1$时，代入得$y=-\dfrac{8}{-1}=8$，由于$k＜0$，在第二象限内$y$随$x$的增大而增大，因此当$-1＜x＜0$时，$y＞8$，该结论正确，不符合题意；
D选项：反比例函数的增减性成立的前提是“在每个象限内”，若跨象限比较则不成立，例如$x=1$时$y=-8$，$x=-1$时$y=8$，此时$x$增大$y$反而减小，因此“$y$随$x$的增大而增大”的结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础易错题，核心易错点是忽略反比例函数增减性的适用范围，判断增减性时必须限定在同一象限内。
【难度系数】
0.7
要判断关于反比例函数结论的正误，首先明确该反比例函数的比例系数$k=-8$，再结合反比例函数的图象位置、图象上点的坐标特征、增减性的适用条件，逐个对选项进行验证即可。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$，比例系数$k=-8＜0$：
A选项：当$k＜0$时，反比例函数图象位于第二、第四象限，该结论正确，不符合题意；
B选项：将$x=-2$代入函数解析式，得$y=-\dfrac{8}{-2}=4$，因此点$(-2,4)$在函数图象上，该结论正确，不符合题意；
C选项：当$x=-1$时，代入得$y=-\dfrac{8}{-1}=8$，由于$k＜0$，在第二象限内$y$随$x$的增大而增大，因此当$-1＜x＜0$时，$y＞8$，该结论正确，不符合题意；
D选项：反比例函数的增减性成立的前提是“在每个象限内”，若跨象限比较则不成立，例如$x=1$时$y=-8$，$x=-1$时$y=8$，此时$x$增大$y$反而减小，因此“$y$随$x$的增大而增大”的结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础易错题，核心易错点是忽略反比例函数增减性的适用范围，判断增减性时必须限定在同一象限内。
【难度系数】
0.7
6. 若反比例函数 $ y_1 = \frac{2}{x}, y_2 = -\frac{3}{x} $，当 $ 1 ≤ x ≤ 3 $ 时，函数 $ y_1 $ 的最大值是 $ a $，函数 $ y_2 $ 的最大值是 $ b $，则 $ a^b = \_\_\_\_\_\_ $
答案
$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步回忆反比例函数的增减性与系数k的关系；第二步分别判断两个反比例函数在1≤x≤3区间内的增减性，代入对应x值求出最大值a、b；第三步根据负整数指数幂的规则计算a^b的值。
首先明确反比例函数性质：当k＞0时，在x＞0的区间内y随x的增大而减小，要找最大值需取最小的x；当k＜0时，在x＞0的区间内y随x的增大而增大，要找最大值需取最大的x，结合这个规律就能分别求出a和b。
【解析】
1. 求a的值：
对于反比例函数$y_1=\frac{2}{x}$，$k=2＞0$，在$x＞0$时，$y_1$随$x$的增大而减小。
已知$1≤x≤3$，因此当$x=1$时，$y_1$取得最大值$a$，代入得$a=\frac{2}{1}=2$。
2. 求b的值：
对于反比例函数$y_2=-\frac{3}{x}$，$k=-3＜0$，在$x＞0$时，$y_2$随$x$的增大而增大。
已知$1≤x≤3$，因此当$x=3$时，$y_2$取得最大值$b$，代入得$b=\frac{-3}{3}=-1$。
3. 计算$a^b$：
根据负整数指数幂的运算规则，$a^b=2^{-1}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质；负整数指数幂运算；函数最值求解
【点评】
本题重点考查反比例函数在给定区间的最值计算，易错点是容易混淆k正负对应的增减性，以及负数大小比较、负指数幂的运算规则，做题时要先明确反比例函数的增减性再代入计算，可有效避免错误。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步回忆反比例函数的增减性与系数k的关系；第二步分别判断两个反比例函数在1≤x≤3区间内的增减性，代入对应x值求出最大值a、b；第三步根据负整数指数幂的规则计算a^b的值。
首先明确反比例函数性质：当k＞0时，在x＞0的区间内y随x的增大而减小，要找最大值需取最小的x；当k＜0时，在x＞0的区间内y随x的增大而增大，要找最大值需取最大的x，结合这个规律就能分别求出a和b。
【解析】
1. 求a的值：
对于反比例函数$y_1=\frac{2}{x}$，$k=2＞0$，在$x＞0$时，$y_1$随$x$的增大而减小。
已知$1≤x≤3$，因此当$x=1$时，$y_1$取得最大值$a$，代入得$a=\frac{2}{1}=2$。
2. 求b的值：
对于反比例函数$y_2=-\frac{3}{x}$，$k=-3＜0$，在$x＞0$时，$y_2$随$x$的增大而增大。
已知$1≤x≤3$，因此当$x=3$时，$y_2$取得最大值$b$，代入得$b=\frac{-3}{3}=-1$。
3. 计算$a^b$：
根据负整数指数幂的运算规则，$a^b=2^{-1}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质；负整数指数幂运算；函数最值求解
【点评】
本题重点考查反比例函数在给定区间的最值计算，易错点是容易混淆k正负对应的增减性，以及负数大小比较、负指数幂的运算规则，做题时要先明确反比例函数的增减性再代入计算，可有效避免错误。
【难度系数】
0.7
7. 如图，点A，B关于y轴对称，AB与y轴正半轴交于点C，$S_{△ AOB}=8$，点A在双曲线$y=\dfrac{2k}{x}$上，则k的值为
$-4$
。答案
7. $-4$
解析
【分析】
解题时首先利用轴对称的性质分析△AOB的特征：点A、B关于y轴对称，可知AB平行于x轴，y轴平分AB，因此△AOC和△BOC面积相等，可先求出△AOC的面积。再结合反比例函数k的几何意义，点A在第二象限，横纵坐标的乘积等于反比例函数的系数2k，通过△AOC的面积建立等量关系，最后求解k即可，注意根据点A所在象限判断符号避免出错。
【解析】
解：
∵点A，B关于y轴对称，AB与y轴交于点C，
∴AB//x轴，AC=BC，OC⊥AB，
∴$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×8=4$。
设点A的坐标为$(x,y)$（$x＜0,y＞0$），则$|x|=-x$，$OC=y$，
根据三角形面积公式得：$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· |x|· y=\frac{1}{2}· (-x)· y=4$，
整理得$xy=-8$。
∵点A在双曲线$y=\frac{2k}{x}$上，
∴将$A(x,y)$代入解析式得$y=\frac{2k}{x}$，即$xy=2k$，
∴$2k=-8$，解得$k=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，轴对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的典型综合题，解题核心是利用轴对称性质将大三角形面积转化为与反比例函数相关的小直角三角形面积，再结合反比例函数解析式的特征建立等量关系求解，需要注意坐标符号和反比例函数系数的对应关系，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用轴对称的性质分析△AOB的特征：点A、B关于y轴对称，可知AB平行于x轴，y轴平分AB，因此△AOC和△BOC面积相等，可先求出△AOC的面积。再结合反比例函数k的几何意义，点A在第二象限，横纵坐标的乘积等于反比例函数的系数2k，通过△AOC的面积建立等量关系，最后求解k即可，注意根据点A所在象限判断符号避免出错。
【解析】
解：
∵点A，B关于y轴对称，AB与y轴交于点C，
∴AB//x轴，AC=BC，OC⊥AB，
∴$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×8=4$。
设点A的坐标为$(x,y)$（$x＜0,y＞0$），则$|x|=-x$，$OC=y$，
根据三角形面积公式得：$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· |x|· y=\frac{1}{2}· (-x)· y=4$，
整理得$xy=-8$。
∵点A在双曲线$y=\frac{2k}{x}$上，
∴将$A(x,y)$代入解析式得$y=\frac{2k}{x}$，即$xy=2k$，
∴$2k=-8$，解得$k=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，轴对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的典型综合题，解题核心是利用轴对称性质将大三角形面积转化为与反比例函数相关的小直角三角形面积，再结合反比例函数解析式的特征建立等量关系求解，需要注意坐标符号和反比例函数系数的对应关系，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
8. 已知反比例函数 $y=\dfrac{2m+6}{x}$ 的图象的一支如图所示.
(1) $m=$
(2) 当 $x≤ -2$ 时, $y$ 的取值范围是
(3) 若点 $(a,n)$ 在该函数的图象上,且 $a ＞ -2,a≠ 0$,求 $n$ 的取值范围.
(1) $m=$
$-6$
;(2) 当 $x≤ -2$ 时, $y$ 的取值范围是
$0＜y≤3$
;(3) 若点 $(a,n)$ 在该函数的图象上,且 $a ＞ -2,a≠ 0$,求 $n$ 的取值范围.
答案
8. 解:(1) $-6$ (2)$0＜y≤3$
(3)由(1),得$y = -\dfrac{6}{x}$. 当$x = -2$时,$y=3$.
∵在每一支上,$y$随$x$的增大而增大,点$(a,n)$在该函数图象上,且$a ＞ -2,a≠0$,
∴$n$的取值范围是$n＞3$或$n＜0$.
(3)由(1),得$y = -\dfrac{6}{x}$. 当$x = -2$时,$y=3$.
∵在每一支上,$y$随$x$的增大而增大,点$(a,n)$在该函数图象上,且$a ＞ -2,a≠0$,
∴$n$的取值范围是$n＞3$或$n＜0$.
解析
【分析】
解题思路：(1) 观察图象可得反比例函数过点(-2,3)，将该点坐标代入函数解析式，列方程即可求出m的值；(2) 先根据m的值得出反比例函数的解析式，通过k的符号判断函数增减性，再结合x≤-2的范围对应第二象限的图象，即可得出y的取值范围；(3) 已知a＞-2且a≠0，需分-2＜a＜0（第二象限）和a＞0（第四象限）两种情况，结合函数在各象限的增减性，分别求出n的取值范围后合并即可。
【解析】
(1) 由图象可知，反比例函数$y=\dfrac{2m+6}{x}$过点$(-2,3)$，将$x=-2,y=3$代入解析式得：
$3=\dfrac{2m+6}{-2}$
两边同乘$-2$得：$2m+6=-6$
解得：$m=-6$
(2) 把$m=-6$代入解析式得$y=-\dfrac{6}{x}$，其中$k=-6＜0$，因此该反比例函数在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
当$x≤-2$时，函数图象位于第二象限：当$x=-2$时，$y=3$；当$x$趋近于负无穷时，$y$趋近于0且始终大于0，因此$y$的取值范围是$0＜y≤3$。
(3) 由(1)得函数解析式为$y=-\dfrac{6}{x}$，分两种情况讨论：
① 当$-2＜a＜0$时，点$(a,n)$位于第二象限的图象上，由函数增减性得$y$随$x$增大而增大，因此$n＞3$；
② 当$a＞0$时，点$(a,n)$位于第四象限的图象上，此时函数值均为负数，因此$n＜0$。
综上，$n$的取值范围是$n＞3$或$n＜0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$；(2) $\boldsymbol{0＜y≤3}$；(3) $\boldsymbol{n＞3或n＜0}$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质 2. 待定系数法求解析式 3. 函数增减性应用
【点评】
本题围绕反比例函数的性质设置问题，解题核心是先利用图象上的已知点求出函数解析式，再结合反比例函数“在每个象限内的增减性”分析取值范围，解题时要注意分象限讨论，避免忽略自变量的取值范围导致漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路：(1) 观察图象可得反比例函数过点(-2,3)，将该点坐标代入函数解析式，列方程即可求出m的值；(2) 先根据m的值得出反比例函数的解析式，通过k的符号判断函数增减性，再结合x≤-2的范围对应第二象限的图象，即可得出y的取值范围；(3) 已知a＞-2且a≠0，需分-2＜a＜0（第二象限）和a＞0（第四象限）两种情况，结合函数在各象限的增减性，分别求出n的取值范围后合并即可。
【解析】
(1) 由图象可知，反比例函数$y=\dfrac{2m+6}{x}$过点$(-2,3)$，将$x=-2,y=3$代入解析式得：
$3=\dfrac{2m+6}{-2}$
两边同乘$-2$得：$2m+6=-6$
解得：$m=-6$
(2) 把$m=-6$代入解析式得$y=-\dfrac{6}{x}$，其中$k=-6＜0$，因此该反比例函数在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
当$x≤-2$时，函数图象位于第二象限：当$x=-2$时，$y=3$；当$x$趋近于负无穷时，$y$趋近于0且始终大于0，因此$y$的取值范围是$0＜y≤3$。
(3) 由(1)得函数解析式为$y=-\dfrac{6}{x}$，分两种情况讨论：
① 当$-2＜a＜0$时，点$(a,n)$位于第二象限的图象上，由函数增减性得$y$随$x$增大而增大，因此$n＞3$；
② 当$a＞0$时，点$(a,n)$位于第四象限的图象上，此时函数值均为负数，因此$n＜0$。
综上，$n$的取值范围是$n＞3$或$n＜0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6}$；(2) $\boldsymbol{0＜y≤3}$；(3) $\boldsymbol{n＞3或n＜0}$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质 2. 待定系数法求解析式 3. 函数增减性应用
【点评】
本题围绕反比例函数的性质设置问题，解题核心是先利用图象上的已知点求出函数解析式，再结合反比例函数“在每个象限内的增减性”分析取值范围，解题时要注意分象限讨论，避免忽略自变量的取值范围导致漏解。
【难度系数】
0.6
