1.【例1】在同一平面直角坐标系中，函数$y=kx+1$与$y=-\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象可能是（）

1. A

【分析】要判断两个函数图象的组合是否正确，首先利用一次函数的常数项特征排除部分错误选项，再分参数k＞0和k＜0两种情况，分别判断一次函数经过的象限、反比例函数所在的象限，找到两类函数图象特征一致的选项即可。
【解析】
步骤1：根据一次函数的截距排除错误选项
一次函数解析式为$y=kx+1$，其与y轴的交点为$(0,1)$，即直线必过y轴正半轴。观察选项B、D，其中的直线与y轴交于负半轴，不符合要求，故排除B、D。
步骤2：分情况讨论参数k的正负
① 当$k＞0$时：
一次函数$y=kx+1$斜率为正、截距为正，图象经过第一、二、三象限；
反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}$的比例系数为$-k＜0$，因此图象位于第二、四象限，选项A的图象符合该特征。
② 当$k＜0$时：
一次函数$y=kx+1$斜率为负、截距为正，图象经过第一、二、四象限；
反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}$的比例系数为$-k＞0$，因此图象位于第一、三象限，剩余选项C中直线经过第一、二、三象限，与$k＜0$的情况矛盾，不符合要求，排除C。
综上，正确选项为A。
【答案】A
【知识点】一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质
【点评】本题是函数图象判断的典型题型，解题时既可以通过分类讨论参数的正负验证选项，也可以结合函数的固定特征用排除法快速缩小范围，熟练掌握函数图象与系数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】0.7

2. 在同一平面直角坐标系中,反比例函数$y=\frac{k}{x}$与一次函数$y=kx - k$($k$为常数,且$k≠0$)的图象可能是 ()

2. D

【分析】
要判断两个函数的图象是否匹配，需结合参数k的正负分类讨论：首先分别回忆反比例函数、一次函数的图象与系数k的关系，分k＞0和k＜0两种情况，分别确定两类函数图象所在的象限及特征，再逐一和选项对比，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论参数k的取值：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx -k$中，斜率$k＞0$，图象从左到右上升，常数项$-k＜0$，与y轴交于负半轴，因此一次函数图象经过第一、三、四象限。
观察选项，B选项一次函数与y轴交于正半轴，不符合；D选项符合该情况的特征。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx -k$中，斜率$k＜0$，图象从左到右下降，常数项$-k＞0$，与y轴交于正半轴，因此一次函数图象经过第一、二、四象限。
观察选项，A选项一次函数图象上升（斜率为正），不符合；C选项一次函数与y轴交于负半轴，不符合。
综上只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的常规题型，解题核心是利用分类讨论思想，结合k的正负分别推导两个函数的图象特征，通过排除法即可快速得到结果，能有效考察对函数图象和性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7

3.【例2】正比例函数$y = x$与反比例函数$y = \frac{4}{x}$的图象的一个交点为$(2,2)$，则另一个交点为。

3. (-2, -2)

【分析】
遇到求两个函数交点的问题，有两种常见解题思路：①常规代数法：联立两个函数的解析式，解方程组，方程组的解对应交点坐标，该方法通用且易掌握；②性质法：回忆正比例函数和反比例函数的对称性，二者均为关于原点中心对称的图形，因此它们的交点也关于原点对称，已知一个交点坐标，直接取横、纵坐标的相反数即可得到另一个交点，该方法更快捷。
【解析】
方法一：联立解析式求解
联立两个函数的解析式得：
$\begin{cases}y=x \\ y=\frac{4}{x} \end{cases}$
将$y=x$代入$y=\frac{4}{x}$，可得$x=\frac{4}{x}$，
两边同时乘$x$（$x≠0$）得$x^2=4$，
解得$x_1=2$，$x_2=-2$，
当$x=-2$时，$y=x=-2$，因此另一个交点为$(-2,-2)$。
方法二：利用对称性求解
正比例函数$y=x$与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象均关于原点中心对称，因此两函数的交点也关于原点对称，已知一个交点为$(2,2)$，则其关于原点对称的点为$(-2,-2)$，即另一个交点为$(-2,-2)$。
【答案】
$(-2,-2)$
【知识点】
反比例函数图象性质；正比例函数图象性质；函数交点求解
【点评】
本题是反比例函数与正比例函数交点的基础题型，既可以通过联立解析式解方程组的代数方法求解，也可利用函数的中心对称性快速得到结果，熟练掌握两种方法可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.9

5.【例3】在平面直角坐标系中，双曲线$y=\frac{m}{x}$与直线$y=-2x+2$交于点$A(-1,a)$。
(1)$a$的值为________，$m$的值为________；
(2)该双曲线与直线$y=-2x+2$的另一个交点$B$的坐标为________。

(1) 4 -4 (2) (2, -2)

【分析】
(1) 已知点A在直线图象上，根据“函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式”，把点A的横坐标代入直线解析式就能算出a的值；得到点A的完整坐标后，再代入反比例函数解析式，即可求出m的值。
(2) 求两个函数图象的交点，只需联立两个函数的解析式得到方程组，求解方程组即可得到所有交点的坐标，排除已知的点A的坐标，剩余的就是点B的坐标。
【解析】
(1)
∵点$A(-1,a)$在直线$y=-2x+2$上，
∴将$x=-1$代入直线解析式，得：
$a=-2×(-1)+2=2+2=4$，
即点A的坐标为$(-1,4)$。
又
∵点A在双曲线$y=\frac{m}{x}$上，
∴将$x=-1,y=4$代入反比例函数解析式，得：
$4=\frac{m}{-1}$，解得$m=-4$。
(2) 联立两个函数的解析式，得方程组：
$\begin{cases}y=\frac{-4}{x}\\y=-2x+2\end{cases}$
将$y=\frac{-4}{x}$代入$y=-2x+2$，得：
$\frac{-4}{x}=-2x+2$
两边同乘$x$（$x≠0$）去分母，整理得：
$x^2-x-2=0$
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
$x=-1$对应点A的横坐标，故舍去；当$x=2$时，$y=-2×2+2=-2$，
∴另一个交点B的坐标为$(2,-2)$。
【答案】
(1) $4$，$-4$；(2) $(2,-2)$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、函数交点的求解
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考查点坐标和函数解析式的对应关系，联立方程求解是求函数交点的通用方法，计算难度低，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

4. 正比例函数 $ y = k_1x $ 与反比例函数 $ y = \frac{k_2}{x} $ 的图象交于A,B两点,若A点的坐标是$ (-1,2) $,则B点的坐标是.

4. (1, -2)

【分析】
解题有两种思路：1. 代入法：先将A点坐标分别代入两个函数解析式，求出两个函数的未知系数，再联立两个函数解析式解方程组，得到两个交点坐标，排除已知的A点即为B点；2. 对称法：正比例函数和反比例函数的图象均关于原点中心对称，因此它们的交点也关于原点对称，直接根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出B点坐标，此方法更简便。
【解析】
方法1（代入求解）：
① 将A(-1,2)代入$y=k_1x$，得$2=-k_1$，解得$k_1=-2$，故正比例函数解析式为$y=-2x$；
② 将A(-1,2)代入$y=\frac{k_2}{x}$，得$2=\frac{k_2}{-1}$，解得$k_2=-2$，故反比例函数解析式为$y=-\frac{2}{x}$；
③ 联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=-2x \\ y=-\frac{2}{x} \end{cases}$，将$y=-2x$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$-2x=-\frac{2}{x}$，整理得$x^2=1$，解得$x=1$或$x=-1$；
④ 当$x=1$时，$y=-2×1=-2$，即B点坐标为$(1,-2)$。
方法2（对称法）：
正比例函数和反比例函数的图象均是以原点为对称中心的中心对称图形，因此二者的交点也关于原点对称。已知点A坐标为$(-1,2)$，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，故B点坐标为$(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
正比例函数的性质，反比例函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数的交点问题，既可以通过常规的联立方程求解，也可以利用函数图象的中心对称性质快速得到结果，熟练掌握函数的基本性质能有效简化计算、提高解题速度。
【难度系数】
0.9

6. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$与一次函数$y=x+1$的图象没有交点，则$k$的值可以是（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$-\frac{1}{4}$
D.$-1$

6. D

【分析】
要解决反比例函数与一次函数图象无交点的问题，可按以下思路思考：①两个函数图象的交点坐标就是对应联立方程组的解，若无交点则说明联立后的方程组无实数解；②消去y后可得到关于x的一元二次方程，根据一元二次方程无实根的条件是判别式小于0，即可求出k的取值范围；③对照选项选出符合取值范围的k值即可。
【解析】
联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y=\frac{k}{x}\\y=x+1\end{cases}$
将$y=\frac{k}{x}$代入$y=x+1$，得：$\frac{k}{x}=x+1$
两边同乘$x$（$x≠0$）整理得一元二次方程：$x^2 + x - k = 0$
∵两个函数图象没有交点，
∴该一元二次方程没有实数根
根据根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，其中$a=1$，$b=1$，$c=-k$
代入得：$\Delta = 1^2 - 4×1×(-k) = 1 + 4k ＜ 0$
解不等式得：$k ＜ -\frac{1}{4}$
对照选项，只有$k=-1$满足$k ＜ -\frac{1}{4}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
函数交点与方程组的关系、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题是函数与方程结合的典型基础题，解题核心是将图象交点的几何问题转化为方程有无实根的代数问题，利用判别式求参数范围后即可快速判断选项，掌握数形结合的思想是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7

7.【例4】如图，直线$y_1 = ax + b$与双曲线$y_2 = \frac{k}{x}$的图象交于$A(2,2), B(-1,-4)$两点，则：

(1)当时，$y_1 = y_2$；
(2)当时，$y_1 ＞ y_2$；
(3)当时，$ax + b ＜ \frac{k}{x}$。

7. (1) x = -1 或 2 (2) -1 ＜ x ＜ 0 或 x ＞ 2 (3) x ＜ -1 或 0 ＜ x ＜ 2

【分析】
本题考查一次函数与反比例函数的综合，解题核心是利用数形结合思想，通过函数图像的位置关系判断函数值的大小。首先，两个函数图象的交点处函数值相等，因此交点的横坐标就是$y_1=y_2$的解；其次，要判断$y_1＞y_2$或$y_1＜y_2$，只需观察同一横坐标下直线在双曲线上方还是下方即可，注意反比例函数自变量$x≠0$，要分$x＜0$和$x＞0$两个区间分段讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 函数图象的交点处两个函数值相等，已知直线和双曲线交于$A(2,2)$、$B(-1,-4)$，因此交点的横坐标对应的就是$y_1=y_2$的$x$取值，即$x=-1$或$x=2$时，$y_1=y_2$；
(2) $y_1＞y_2$即直线位于双曲线上方的区域，观察图象可知：第三象限内$-1＜x＜0$时，直线在双曲线上方；第一象限内$x＞2$时，直线在双曲线上方，因此$y_1＞y_2$的$x$取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞2$；
(3) $ax + b ＜ \frac{k}{x}$即$y_1＜y_2$，对应直线位于双曲线下方的区域，观察图象可知：$x＜-1$时直线在双曲线下方，$0＜x＜2$时直线也在双曲线下方，因此$x$的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜2$。
【答案】
(1) $x = -1$ 或 $2$
(2) $-1 ＜ x ＜ 0$ 或 $x ＞ 2$
(3) $x ＜ -1$ 或 $0 ＜ x ＜ 2$
【知识点】
函数值大小比较，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点
【点评】
本题解题关键是运用数形结合思想，结合函数图象的位置关系判断函数值大小，需要注意反比例函数图象分为两支，$x$不能取0，讨论时要分区间分析，避免出现漏写区间的错误。
【难度系数】
0.7

8. 如图，直线$y_1 = ax$与双曲线$y_2 = \frac{k}{x}$交于点$A(-1,2),B(1,-2)$，则：

(1)当时，$y_1 = y_2$；
(2)当时，$ax ＞ \frac{k}{x}$；
(3)当时，$ax - \frac{k}{x} ≤ 0$。

8. (1) x = -1 或 1 (2) x ＜ -1 或 0 ＜ x ＜ 1 (3) -1≤x ＜ 0 或 x≥1

【分析】
本题考查一次函数与反比例函数的图象与性质，采用数形结合思想解题即可。①两个函数值相等的位置就是两函数图象的交点位置，对应的自变量取值就是交点的横坐标；②比较两个函数值的大小，只需观察图象：直线在双曲线上方的区域对应$y_1＞y_2$，直线在双曲线下方的区域对应$y_1＜y_2$，交点处两者相等，同时注意反比例函数自变量$x≠0$，分区间讨论即可得出对应自变量的取值范围。
【解析】
已知直线$y_1 = ax$与双曲线$y_2 = \frac{k}{x}$的交点为$A(-1,2)$、$B(1,-2)$：
(1) 当$y_1=y_2$时，对应两函数图象的交点，此时自变量$x$为交点的横坐标，即$x=-1$或$x=1$；
(2) 当$ax＞\frac{k}{x}$即$y_1＞y_2$时，观察图象：
在第二象限（$x＜0$），$x＜-1$时直线在双曲线上方；在第四象限（$x＞0$），$0＜x＜1$时直线在双曲线上方，综上$x$的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$；
(3) 当$ax - \frac{k}{x} ≤ 0$即$y_1≤y_2$时，观察图象：
在第二象限（$x＜0$），$-1≤x＜0$时直线在双曲线下方（含交点）；在第四象限（$x＞0$），$x≥1$时直线在双曲线下方（含交点），综上$x$的取值范围是$-1≤x＜0$或$x≥1$。
【答案】
(1) $x = -1$ 或 $1$ (2) $x ＜ -1$ 或 $0 ＜ x ＜ 1$ (3) $-1≤x ＜ 0$ 或 $x≥1$
【知识点】
1.一次函数与反比例函数综合 2.函数值大小比较 3.数形结合
【点评】
本题需要结合函数图象判断自变量的取值范围，解题的关键是找准交点横坐标，分区间分析图象的上下位置关系，同时要注意反比例函数的自变量不能为0，避免出现取值错误。
【难度系数】
0.7