9. (2025资阳改编)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点.一次函数$y=kx-2$的图象与x轴交于点$A(-1,0)$,与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于点$B(-2,a)$,射线BO与反比例函数的图象交于点C,连接AC.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求$△ ABC$的面积;
(3)直接写出关于x的不等式$kx - 2 - \frac{m}{x} ＞ 0$的解集.

9. 解:(1)
∵ 一次函数 $y = kx - 2$ 的图象与 x 轴交于点 $A( - 1,0)$ ,
∴ $0 = - k - 2$. 解得 $k = - 2$.
∴ 一次函数的表达式为 $y = - 2x - 2$.
∵ 一次函数 $y = - 2x - 2$ 过点 $B( - 2,a)$ ,
∴ $a = - 2 × ( - 2) - 2 = 2. ∴ B( - 2,2)$.
∵ 反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象过点 $B( - 2,2)$ ,
∴ $2 = \frac{m}{-2}$. 解得 $m = - 4$.
∴ 反比例函数的表达式为 $y = - \frac{4}{x}$.
(2)设直线 BC 的表达式为 $y = nx(n≠0)$.
将 $B( - 2,2)$ 代入,得 $2 = - 2n$. 解得 $n = - 1$.
∴ 直线 BC 的表达式为 $y = - x$.
联立可得$\begin{cases} y = - \dfrac{4}{x} \\ y = - x. \end{cases}$,整理,得 $- \dfrac{4}{x} = - x$.
解得 $x_1 = 2,x_2 = - 2$.
∵ 点 C 在第四象限,
∴ $x = 2$.
∴ $y = - x = - 2. ∴ C(2, - 2)$.

过点 $B( - 2,2)$ 作 $BE ⊥ x$ 轴于点 E,过点 $C(2, - 2)$ 作 $CD ⊥ x$ 轴于点 D.
∴ $BE = 2,CD = 2$.
∵ $A( - 1,0),∴ AO = 1$.
∴ $S_{△ABC} = 2S_{△AOB} = 2 × \dfrac{1}{2} × 1 × 2 = 2$.
(3)根据图象,得关于 x 的不等式 $kx - 2 - \dfrac{m}{x} ＞ 0$ 的解集为 $x ＜ - 2$ 或 $0 ＜ x ＜ 1$.

【分析】
(1) 求函数表达式使用待定系数法：先将点A坐标代入一次函数解析式求出k，得到一次函数表达式；再将点B的横坐标代入一次函数求出a，得到B点坐标后代入反比例函数解析式求出m，即可得到反比例函数表达式。
(2) 求△ABC面积：首先直线BO过原点，先求出直线BO的解析式，联立反比例函数解析式即可求出C点坐标（也可利用反比例函数与过原点直线的交点关于原点对称的性质直接得到C点坐标）；再利用O是BC中点的性质，将△ABC的面积转化为2倍△AOB的面积，结合坐标代入三角形面积公式计算即可。
(3) 不等式$kx-2-\frac{m}{x}＞0$等价于一次函数值大于反比例函数值，结合两个函数的交点坐标，观察图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方对应的x区间即可，注意x≠0的隐含限制。
【解析】
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式：
∵ 一次函数 $y = kx - 2$ 的图象与x轴交于点 $A( - 1,0)$，
∴ 将$A(-1,0)$代入得 $0 = - k - 2$，解得 $k = - 2$，
∴ 一次函数的表达式为 $y = - 2x - 2$。
∵ 一次函数 $y = - 2x - 2$ 过点 $B( - 2,a)$，
∴ 将$x=-2$代入得 $a = - 2 × ( - 2) - 2 = 2$，即 $B( - 2,2)$。
∵ 反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象过点 $B( - 2,2)$，
∴ 将$B(-2,2)$代入得 $2 = \frac{m}{-2}$，解得 $m = - 4$，
∴ 反比例函数的表达式为 $y = - \frac{4}{x}$。
(2) 求$△ ABC$的面积：
设直线 BC 的表达式为 $y = nx(n≠0)$，
将 $B( - 2,2)$ 代入得 $2 = - 2n$，解得 $n = - 1$，
∴ 直线 BC 的表达式为 $y = - x$。
联立直线BC与反比例函数解析式：$\begin{cases} y = - \dfrac{4}{x} \\ y = - x \end{cases}$，
整理得 $- \dfrac{4}{x} = - x$，解得 $x_1 = 2,x_2 = - 2$，
∵ 点 C 在第四象限，
∴ $x = 2$，代入$y=-x$得 $y = -2$，即 $C(2, - 2)$。
过点 $B( - 2,2)$ 作 $BE ⊥ x$ 轴于点 E，过点 $C(2, - 2)$ 作 $CD ⊥ x$ 轴于点 D，
∴ $BE = 2,CD = 2$，又 $A( - 1,0)$，
∴ $AO = 1$。
∵ O为BC中点，
∴ $S_{△ABC} = 2S_{△AOB} = 2 × \dfrac{1}{2} × 1 × 2 = 2$。
(3) 不等式$kx - 2 - \frac{m}{x} ＞ 0$即一次函数值大于反比例函数值，结合两函数交点坐标观察图象，可得解集为 $x ＜ - 2$ 或 $0 ＜ x ＜ 1$。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-2x-2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{4}{x}}$；
(2) $△ ABC$的面积为$\boldsymbol{2}$；

(3) 不等式的解集为$\boldsymbol{x ＜ - 2}$或$\boldsymbol{0 ＜ x ＜ 1}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，数形结合解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常规考题，覆盖了函数解析式求解、坐标系中图形面积计算、函数图象解不等式三类核心考点，解题时要灵活运用函数的对称性简化运算，解不等式时注意结合图象分段分析，不要忽略x≠0的限制条件。
【难度系数】
0.7

1. 若函数$y=-4x$与$y=-\dfrac{1}{x}$的图象有一个交点坐标是$(-\dfrac{1}{2},m)$，则$m$的值为，另一个交点的坐标是。

1. 2 $(\frac{1}{2}, -2)$

【分析】
解题思路分为两步：①求m的值：函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此可以将交点的横坐标$x=-\frac{1}{2}$代入其中任意一个函数解析式，即可求出纵坐标m的值；②求另一个交点坐标：方法一，联立两个函数的解析式，解方程组得到所有交点坐标，排除已知交点即可；方法二，利用正比例函数和反比例函数的图象均关于原点中心对称的性质，可知两个交点也关于原点对称，直接求已知交点关于原点的对称点即可得到另一个交点。
【解析】
1. 求m的值：
∵点$(-\frac{1}{2},m)$在函数$y=-4x$的图象上，将$x=-\frac{1}{2}$代入$y=-4x$得：
$m=-4×(-\frac{1}{2})=2$
即已知交点坐标为$(-\frac{1}{2},2)$。
2. 求另一个交点坐标：
利用函数对称性求解：
∵正比例函数和反比例函数的图象均关于原点中心对称，
∴两函数的交点也关于原点对称，
已知一个交点为$(-\frac{1}{2},2)$，其关于原点对称的点横、纵坐标均变为原数的相反数，即$(\frac{1}{2},-2)$，也就是另一个交点坐标。
【答案】
2；$(\frac{1}{2},-2)$
【知识点】
1. 函数交点坐标性质
2. 反比例函数对称性
3. 代入法求函数值
【点评】
本题属于基础计算题，既可以通过联立方程的通用方法求解，也可以利用函数的对称性快速得出结果，掌握不同解题方法能灵活提升解题速度，核心是理解函数图象交点的坐标特征。
【难度系数】
0.8

2. 函数$y=kx+b$与$y=\frac{k}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

2. B

【分析】
本题考查同一坐标系中一次函数与反比例函数的图象共存问题，解题思路为：两个函数的系数k相同，因此先分k＞0和k＜0两种情况，分别判断反比例函数的图象所在象限，再对应判断一次函数的斜率（升降趋势）是否符合k的符号，排除矛盾选项，最后验证剩余选项中一次函数的b的符号是否和图象一致即可。
【解析】
我们分两种情况讨论参数k的符号：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限；一次函数$y=kx+b$的一次项系数为正，图象应从左下向右上上升。
观察选项A、D，反比例函数图象在第一、三象限满足$k＞0$，但两个选项的一次函数均为下降趋势，说明$k＜0$，两者矛盾，因此排除A、D。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限；一次函数$y=kx+b$的一次项系数为负，图象应从左上向右下下降。
观察选项C，反比例函数图象在第二、四象限满足$k＜0$，但一次函数为上升趋势，说明$k＞0$，两者矛盾，因此排除C；
观察选项B，反比例函数图象在第二、四象限满足$k＜0$，一次函数为下降趋势也满足$k＜0$，且一次函数与y轴交于负半轴，说明$b＜0$，此时一次函数$y=kx+b$（$k＜0,b＜0$）过第二、三、四象限，和图象特征完全一致。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数的图象与性质
2. 反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的典型基础题，解题核心是抓住两个函数共有的参数k的符号分类讨论，逐一排除矛盾选项，需要熟练掌握一次函数、反比例函数的图象特征和系数的对应关系，避免混淆两类函数的性质。
【难度系数】
0.7

3. 如图,已知一次函数$y_1 = ax + b$的图象与反比例函数$y_2 = \frac{k}{x}$的图象交于点$A(1,4)$,点$B(-4,-1)$。

(1)当时,$y_1 = y_2$；
(2)当时,$ax + b ＞ \frac{k}{x}$；
(3)当时,$ax + b - \frac{k}{x} ≤ 0$。

3. (1) x=1 或 -4 (2) -4 ＜ x ＜ 0 或 x ＞ 1 (3) x≤-4 或 0 ＜ x ≤1

【分析】
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题思路如下：
1. 求$y_1=y_2$的x取值：两个函数图象的交点处函数值相等，因此直接取交点的横坐标即可。
2. 比较两个函数值大小：利用数形结合思想，“图象位置靠上的函数值更大”，由于反比例函数$x≠0$，因此结合两个交点的横坐标$-4$和$1$，将x的取值范围划分为$x＜-4$、$-4＜x＜0$、$0＜x＜1$、$x＞1$四个区间，逐一判断每个区间内两个函数图象的上下位置，对应不等式要求写出取值范围即可，注意不等号带等号时要包含交点横坐标，且x不能取0。
【解析】
(1) 一次函数与反比例函数的交点处$y_1=y_2$，已知交点为$A(1,4)$、$B(-4,-1)$，因此当$x=1$或$x=-4$时，$y_1=y_2$。
(2) $ax+b＞\frac{k}{x}$即$y_1＞y_2$，对应一次函数图象在反比例函数图象上方的x范围：
观察图象可得：
① 当$-4＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数上方；
② 当$x＞1$时，一次函数图象在反比例函数上方；
综上，$-4＜x＜0$或$x＞1$时，$ax+b＞\frac{k}{x}$。
(3) $ax+b-\frac{k}{x}≤0$即$y_1≤ y_2$，对应一次函数图象在反比例函数图象下方或与反比例函数图象重合的x范围：
观察图象可得：
① 当$x≤-4$时，一次函数图象在反比例函数下方或重合；
② 当$0＜x≤1$时，一次函数图象在反比例函数下方或重合；
综上，$x≤-4$或$0＜x≤1$时，$ax+b-\frac{k}{x}≤0$。
【答案】
(1) $x=1$或$x=-4$
(2) $-4＜x＜0$或$x＞1$
(3) $x≤-4$或$0＜x≤1$
【知识点】
一次函数图象与性质；反比例函数图象与性质；函数与不等式关系
【点评】
本题是典型的数形结合类题型，解题的关键是结合函数图象的位置判断函数值的大小关系，要特别注意反比例函数自变量不能为0的隐含条件，避免出现包含$x=0$的错误。
【难度系数】
0.7