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4. (2025贵州)如图,一次函数$y=x(x≥0)$与反比例函数$y=\frac{9}{x}(x＞0)$的图象交于点C,过反比例函数图象上点A作x轴垂线,垂足为点D,交$y=x$的图象于点B,点A的横坐标为1.有以下结论:①线段AB的长为8;②点C的坐标为$(3,3)$;③当$x＞3$时,一次函数的值小于反比例函数的值.其中结论正确的个数是 (
A.0
B.1
C.2
D.3
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
4. C
解析
【分析】
我们需要对三个结论逐一验证来确定正确个数：①先根据A点的横坐标，结合反比例函数、一次函数解析式分别求出A、B两点坐标，计算AB长度判断正误；②联立一次函数和反比例函数的解析式，求解得到交点C的坐标判断正误；③通过代入取值或者结合图象对比x＞3时两个函数的函数值大小判断正误，最后统计正确结论的数量即可。
【解析】
1. 验证结论①：
已知点A在反比例函数$y=\frac{9}{x}$上，横坐标为1，将$x=1$代入$y=\frac{9}{x}$，得$y=9$，即$A(1,9)$。
因为$AD⊥ x$轴，交直线$y=x$于点B，所以B点横坐标也为1，将$x=1$代入$y=x$得$y=1$，即$B(1,1)$。
则$AB=9-1=8$，结论①正确。
2. 验证结论②：
联立一次函数与反比例函数解析式$\begin{cases}y=x\\y=\frac{9}{x}\end{cases}$（$x＞0$），将$y=x$代入$y=\frac{9}{x}$得$x=\frac{9}{x}$，整理得$x^2=9$，结合$x＞0$解得$x=3$，此时$y=3$，即点C坐标为$(3,3)$，结论②正确。
3. 验证结论③：
当$x＞3$时，取$x=4$，代入一次函数得$y=4$，代入反比例函数得$y=\frac{9}{4}=2.25$，此时一次函数值大于反比例函数值，结论③错误。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 一次函数的图象与性质
3. 函数交点的求解
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了点坐标计算、函数交点求解、函数值大小比较三类基础考点，熟练掌握两类函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
我们需要对三个结论逐一验证来确定正确个数：①先根据A点的横坐标，结合反比例函数、一次函数解析式分别求出A、B两点坐标，计算AB长度判断正误；②联立一次函数和反比例函数的解析式，求解得到交点C的坐标判断正误；③通过代入取值或者结合图象对比x＞3时两个函数的函数值大小判断正误，最后统计正确结论的数量即可。
【解析】
1. 验证结论①：
已知点A在反比例函数$y=\frac{9}{x}$上，横坐标为1，将$x=1$代入$y=\frac{9}{x}$，得$y=9$，即$A(1,9)$。
因为$AD⊥ x$轴，交直线$y=x$于点B，所以B点横坐标也为1，将$x=1$代入$y=x$得$y=1$，即$B(1,1)$。
则$AB=9-1=8$，结论①正确。
2. 验证结论②：
联立一次函数与反比例函数解析式$\begin{cases}y=x\\y=\frac{9}{x}\end{cases}$（$x＞0$），将$y=x$代入$y=\frac{9}{x}$得$x=\frac{9}{x}$，整理得$x^2=9$，结合$x＞0$解得$x=3$，此时$y=3$，即点C坐标为$(3,3)$，结论②正确。
3. 验证结论③：
当$x＞3$时，取$x=4$，代入一次函数得$y=4$，代入反比例函数得$y=\frac{9}{4}=2.25$，此时一次函数值大于反比例函数值，结论③错误。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 一次函数的图象与性质
3. 函数交点的求解
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了点坐标计算、函数交点求解、函数值大小比较三类基础考点，熟练掌握两类函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-x+m$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象交于A,B两点,已知$A(2,4)$.
(1)$m=$
(2)求点B的坐标.
(1)$m=$
6
,$k=$8
;(2)求点B的坐标.
答案
5. (1) 6 8
(2)由(1),得一次函数的解析式为 $y = - x + 6$,反比例函数的解析式为 $y = \frac{8}{x}$.
联立,得$\begin{cases} y = - x + 6, \\ y = \dfrac{8}{x}. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = 2, \\ y = 4 \end{cases}$或$\begin{cases} x = 4, \\ y = 2, \end{cases}∴ B(4,2)$.
(2)由(1),得一次函数的解析式为 $y = - x + 6$,反比例函数的解析式为 $y = \frac{8}{x}$.
联立,得$\begin{cases} y = - x + 6, \\ y = \dfrac{8}{x}. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = 2, \\ y = 4 \end{cases}$或$\begin{cases} x = 4, \\ y = 2, \end{cases}∴ B(4,2)$.
解析
【分析】
（1）点A同时在一次函数和反比例函数的图象上，因此点A的坐标满足两个函数的解析式，将A(2,4)分别代入两个函数表达式，即可求出m和k的值。
（2）由（1）可得到两个函数的完整解析式，要求两个函数的交点B的坐标，只需联立两个函数的解析式得到方程组，求解方程组后排除已知的点A对应的解，剩下的解就是点B的坐标。
【解析】
(1) 将$A(2,4)$代入一次函数$y=-x+m$，得$4=-2+m$，解得$m=6$；
将$A(2,4)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$，得$4=\dfrac{k}{2}$，解得$k=8$。
(2) 由(1)可得，一次函数解析式为$y=-x+6$，反比例函数解析式为$y=\dfrac{8}{x}$。
联立两个函数解析式，得方程组：
$\begin{cases} y = - x + 6 \\ y = \dfrac{8}{x} \end{cases}$
消去$y$得：$-x+6=\dfrac{8}{x}$，两边同乘$x$（$x＞0$，不为0）整理得$x^2-6x+8=0$，因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$。
当$x=2$时，$y=4$，对应点A；当$x=4$时，$y=\dfrac{8}{4}=2$，因此点B的坐标为$(4,2)$。
【答案】
(1) $6$，$8$；
(2) $B(4,2)$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数与反比例函数交点求解
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题核心是掌握函数图象上的点与解析式的关系，以及联立方程求函数交点的方法，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
（1）点A同时在一次函数和反比例函数的图象上，因此点A的坐标满足两个函数的解析式，将A(2,4)分别代入两个函数表达式，即可求出m和k的值。
（2）由（1）可得到两个函数的完整解析式，要求两个函数的交点B的坐标，只需联立两个函数的解析式得到方程组，求解方程组后排除已知的点A对应的解，剩下的解就是点B的坐标。
【解析】
(1) 将$A(2,4)$代入一次函数$y=-x+m$，得$4=-2+m$，解得$m=6$；
将$A(2,4)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$，得$4=\dfrac{k}{2}$，解得$k=8$。
(2) 由(1)可得，一次函数解析式为$y=-x+6$，反比例函数解析式为$y=\dfrac{8}{x}$。
联立两个函数解析式，得方程组：
$\begin{cases} y = - x + 6 \\ y = \dfrac{8}{x} \end{cases}$
消去$y$得：$-x+6=\dfrac{8}{x}$，两边同乘$x$（$x＞0$，不为0）整理得$x^2-6x+8=0$，因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$。
当$x=2$时，$y=4$，对应点A；当$x=4$时，$y=\dfrac{8}{4}=2$，因此点B的坐标为$(4,2)$。
【答案】
(1) $6$，$8$；
(2) $B(4,2)$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数与反比例函数交点求解
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题核心是掌握函数图象上的点与解析式的关系，以及联立方程求函数交点的方法，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
6.若$ab＞0$,则正比例函数$y=-ax$与反比例函数$y=\dfrac{b}{x}$在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（
）
）答案
A
解析
【分析】
首先由已知条件$ab＞0$可得$a$、$b$同号，分两种情况讨论：①当$a＞0,b＞0$时，分别判断正比例函数$y=-ax$和反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象所在象限；②当$a＜0,b＜0$时，再判断两个函数图象所在象限，同时注意正比例函数图象必过原点，可先排除不符合该特征的选项，再匹配符合条件的选项即可。
【解析】
$\because ab＞0$，$\therefore a$、$b$同号，分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$，$b＞0$时：
正比例函数$y=-ax$中，比例系数$-a＜0$，因此图象过原点，且经过第二、四象限；
反比例函数$y=\frac{b}{x}$中，比例系数$b＞0$，因此图象的两个分支分别位于第一、三象限，该情况对应选项A符合。
2. 当$a＜0$，$b＜0$时：
正比例函数$y=-ax$中，比例系数$-a＞0$，因此图象过原点，且经过第一、三象限；
反比例函数$y=\frac{b}{x}$中，比例系数$b＜0$，因此图象的两个分支分别位于第二、四象限，四个选项中无符合该情况的选项。
另外，选项B中的直线不过原点，不是正比例函数，直接排除。
综上，符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；有理数乘法符号法则
【点评】
本题是函数图象判断的基础题型，解题的核心是根据参数的符号关系分类讨论两个函数的图象特征，也可先利用正比例函数必过原点的性质快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
首先由已知条件$ab＞0$可得$a$、$b$同号，分两种情况讨论：①当$a＞0,b＞0$时，分别判断正比例函数$y=-ax$和反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象所在象限；②当$a＜0,b＜0$时，再判断两个函数图象所在象限，同时注意正比例函数图象必过原点，可先排除不符合该特征的选项，再匹配符合条件的选项即可。
【解析】
$\because ab＞0$，$\therefore a$、$b$同号，分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$，$b＞0$时：
正比例函数$y=-ax$中，比例系数$-a＜0$，因此图象过原点，且经过第二、四象限；
反比例函数$y=\frac{b}{x}$中，比例系数$b＞0$，因此图象的两个分支分别位于第一、三象限，该情况对应选项A符合。
2. 当$a＜0$，$b＜0$时：
正比例函数$y=-ax$中，比例系数$-a＞0$，因此图象过原点，且经过第一、三象限；
反比例函数$y=\frac{b}{x}$中，比例系数$b＜0$，因此图象的两个分支分别位于第二、四象限，四个选项中无符合该情况的选项。
另外，选项B中的直线不过原点，不是正比例函数，直接排除。
综上，符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；有理数乘法符号法则
【点评】
本题是函数图象判断的基础题型，解题的核心是根据参数的符号关系分类讨论两个函数的图象特征，也可先利用正比例函数必过原点的性质快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
7. 如图,一次函数$y=ax+b$($a,b$为常数,$a≠0$)的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$($k$为常数,$k≠0$)的图象交于$A(2,4)$,$B(n,-2)$两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直线$AB$与$x$轴交于点$C$,点$P(m,0)$是$x$轴上的点,若$△ PAC$的面积大于12,请直接写出$m$的取值范围.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直线$AB$与$x$轴交于点$C$,点$P(m,0)$是$x$轴上的点,若$△ PAC$的面积大于12,请直接写出$m$的取值范围.
答案
7. 解:(1)把 $A(2,4)$ 代入 $y = \frac{k}{x}$,得 $k = 8$.
∴ 反比例函数的解析式为 $y = \frac{8}{x}$.
把 $B(n, - 2)$ 代入 $y = \frac{8}{x}$,得 $n = - 4$.
∵ 点 $A(2,4),B( - 4, - 2)$ 在一次函数 $y = ax + b$ 的图象上,
∴ $\begin{cases} 4 = 2a + b, \\ - 2 = - 4a + b. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a = 1, \\ b = 2. \end{cases}$
∴ 一次函数的解析式为 $y = x + 2$.
(2)$m$ 的取值范围为 $m ＞ 4$ 或 $m ＜ - 8$.
∴ 反比例函数的解析式为 $y = \frac{8}{x}$.
把 $B(n, - 2)$ 代入 $y = \frac{8}{x}$,得 $n = - 4$.
∵ 点 $A(2,4),B( - 4, - 2)$ 在一次函数 $y = ax + b$ 的图象上,
∴ $\begin{cases} 4 = 2a + b, \\ - 2 = - 4a + b. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a = 1, \\ b = 2. \end{cases}$
∴ 一次函数的解析式为 $y = x + 2$.
(2)$m$ 的取值范围为 $m ＞ 4$ 或 $m ＜ - 8$.
解析
【分析】
(1) 用待定系数法求解函数解析式：先将已知点A代入反比例函数表达式求出k值，得到反比例函数解析式；再将B点坐标代入反比例函数求出n的值，得到B点完整坐标，最后把A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可求出一次函数的系数，得到一次函数解析式。
(2) 先求直线AB与x轴交点C的坐标：令一次函数y=0即可解得C点横坐标。△PAC的底边PC在x轴上，长度为点P和点C横坐标差的绝对值，高为点A到x轴的距离（即A点的纵坐标4），根据三角形面积公式列出绝对值不等式，分两种情况解不等式即可得到m的取值范围，注意不要漏解。
【解析】
(1) 求反比例函数解析式：
将$A(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{2}$，解得$k=8$，
∴ 反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$。
将$B(n,-2)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$-2=\frac{8}{n}$，解得$n=-4$，即$B(-4,-2)$。
将$A(2,4)$、$B(-4,-2)$代入$y=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases} 2a + b = 4 \\ -4a + b = -2 \end{cases}$
两式相减消去b得$6a=6$，解得$a=1$，将$a=1$代入$2a+b=4$，解得$b=2$，
∴ 一次函数的解析式为$y=x+2$。
(2) 求C点坐标：
令$y=x+2$中$y=0$，得$x=-2$，即$C(-2,0)$。
$PC=|m-(-2)|=|m+2|$，△PAC的高为A点纵坐标4，由题意得：
$\frac{1}{2} × |m+2| × 4 ＞ 12$
化简得$|m+2|＞6$，即$m+2＞6$或$m+2＜-6$，
解得$m＞4$或$m＜-8$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{8}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=x+2}$；
(2) m的取值范围为$\boldsymbol{m＞4}$或$\boldsymbol{m＜-8}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，侧重考查基础知识点的应用，第二问结合面积列不等式时要注意绝对值的分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 用待定系数法求解函数解析式：先将已知点A代入反比例函数表达式求出k值，得到反比例函数解析式；再将B点坐标代入反比例函数求出n的值，得到B点完整坐标，最后把A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可求出一次函数的系数，得到一次函数解析式。
(2) 先求直线AB与x轴交点C的坐标：令一次函数y=0即可解得C点横坐标。△PAC的底边PC在x轴上，长度为点P和点C横坐标差的绝对值，高为点A到x轴的距离（即A点的纵坐标4），根据三角形面积公式列出绝对值不等式，分两种情况解不等式即可得到m的取值范围，注意不要漏解。
【解析】
(1) 求反比例函数解析式：
将$A(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{2}$，解得$k=8$，
∴ 反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$。
将$B(n,-2)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$-2=\frac{8}{n}$，解得$n=-4$，即$B(-4,-2)$。
将$A(2,4)$、$B(-4,-2)$代入$y=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases} 2a + b = 4 \\ -4a + b = -2 \end{cases}$
两式相减消去b得$6a=6$，解得$a=1$，将$a=1$代入$2a+b=4$，解得$b=2$，
∴ 一次函数的解析式为$y=x+2$。
(2) 求C点坐标：
令$y=x+2$中$y=0$，得$x=-2$，即$C(-2,0)$。
$PC=|m-(-2)|=|m+2|$，△PAC的高为A点纵坐标4，由题意得：
$\frac{1}{2} × |m+2| × 4 ＞ 12$
化简得$|m+2|＞6$，即$m+2＞6$或$m+2＜-6$，
解得$m＞4$或$m＜-8$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{8}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=x+2}$；
(2) m的取值范围为$\boldsymbol{m＞4}$或$\boldsymbol{m＜-8}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，侧重考查基础知识点的应用，第二问结合面积列不等式时要注意绝对值的分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
