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1.【例1】菜农要建一个面积为240 m²的长方形菜地.
(1)菜地的长y(单位:m)与宽x(单位:m)存在怎样的函数关系?
(2)若菜地的宽为10 m,则长为多少米?
(3)由于场地限制,菜地的长最多为20 m,则宽至少为多少米?
2.打字员要完成一篇4 200字的文章录入工作.
(1)写出录入时间y(单位:分)关于录入速度x(单位:字/分)的函数解析式;
(2)若平均每分录入60个字,则完成工作需要多少分?
(3)若想一个小时内完成工作,则平均每分至少需录入多少个字?
(1)菜地的长y(单位:m)与宽x(单位:m)存在怎样的函数关系?
(2)若菜地的宽为10 m,则长为多少米?
(3)由于场地限制,菜地的长最多为20 m,则宽至少为多少米?
2.打字员要完成一篇4 200字的文章录入工作.
(1)写出录入时间y(单位:分)关于录入速度x(单位:字/分)的函数解析式;
(2)若平均每分录入60个字,则完成工作需要多少分?
(3)若想一个小时内完成工作,则平均每分至少需录入多少个字?
答案
1. 解:(1)根据题意,得 xy = 240.
∴ y = 240/x.
(2)当x = 10 时,y = 240/10 = 24(m).
∴ 长为24 m.
(3)根据题意,得240/x ≤20. 解得 x≥12.
∴ 宽至少为12 m.
2. 解:(1)由题意,得 xy = 4 200.
∴ y = 4200/x.
(2)当x = 60 时,y = 4200/60 = 70(分).
∴ 完成工作需要70分.
(3)当y = 60 时,x = 4200/60 = 70(字/分).
∵ 4 200 ＞ 0,
∴ 当x ＞ 0 时,y 随x 的增大而减小.
∴ 平均每分至少需录入70个字.
∴ y = 240/x.
(2)当x = 10 时,y = 240/10 = 24(m).
∴ 长为24 m.
(3)根据题意,得240/x ≤20. 解得 x≥12.
∴ 宽至少为12 m.
2. 解:(1)由题意,得 xy = 4 200.
∴ y = 4200/x.
(2)当x = 60 时,y = 4200/60 = 70(分).
∴ 完成工作需要70分.
(3)当y = 60 时,x = 4200/60 = 70(字/分).
∵ 4 200 ＞ 0,
∴ 当x ＞ 0 时,y 随x 的增大而减小.
∴ 平均每分至少需录入70个字.
解析
【分析】
这两道题均属于反比例函数的实际应用类问题，解题核心是先从实际场景中提取乘积为定值的两个变量，建立反比例函数模型，再结合代入求值、函数性质或不等式解决后续问题：
1. 长方形菜地问题：
（1）根据长方形面积公式“面积=长×宽”，已知面积为定值240，变形等式即可得到y关于x的函数关系，注意宽度x取值为正；
（2）已知宽x=10m，直接代入第一问的函数解析式，即可求出对应长的值；
（3）已知长最多为20m，将y的表达式代入不等式，结合x＞0的范围求解，即可得到宽的最小值。
2. 打字录入问题：
（1）根据“总字数=录入速度×录入时间”，总字数4200为定值，变形后即可得到y关于x的函数解析式，录入速度x取值为正；
（2）已知录入速度x=60字/分，代入解析式即可求出对应录入时间；
（3）要求1小时（即60分钟）内完成，可利用k＞0时反比例函数在第一象限y随x增大而减小的性质，或直接列不等式求解，得到录入速度的最小值。
【解析】
1. 解：
(1) 根据长方形面积公式，得$xy=240$（$x＞0$），
整理得$y=\frac{240}{x}(x＞0)$，即y是x的反比例函数。
(2) 把$x=10$代入$y=\frac{240}{x}$，得$y=\frac{240}{10}=24$。
(3) 由题意得$y≤20$，即$\frac{240}{x}≤20$，
∵$x＞0$，不等式两边同乘x得$240≤20x$，解得$x≥12$。
2. 解：
(1) 根据“总字数=录入速度×录入时间”，得$xy=4200$（$x＞0$），
整理得$y=\frac{4200}{x}(x＞0)$。
(2) 把$x=60$代入$y=\frac{4200}{x}$，得$y=\frac{4200}{60}=70$。
(3) 1小时=60分钟，要求$y≤60$，
∵$k=4200＞0$，当$x＞0$时，y随x的增大而减小，
当$y=60$时，$x=\frac{4200}{60}=70$，因此要满足$y≤60$，则$x≥70$。
【答案】
1. (1) $y=\frac{240}{x}(x＞0)$；(2) 24m；(3) 12m
2. (1) $y=\frac{4200}{x}(x＞0)$；(2) 70分；(3) 70字/分
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 反比例函数的性质
3. 代入法求函数值
【点评】
本题以生活中常见的长方形面积计算、文字录入场景为载体，考查反比例函数的建模与应用能力，既要求学生能从实际问题中提取等量关系建立函数模型，也要求学生能结合函数性质或不等式求解最值，贴合生活实际，有助于培养数学应用意识。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于反比例函数的实际应用类问题，解题核心是先从实际场景中提取乘积为定值的两个变量，建立反比例函数模型，再结合代入求值、函数性质或不等式解决后续问题：
1. 长方形菜地问题：
（1）根据长方形面积公式“面积=长×宽”，已知面积为定值240，变形等式即可得到y关于x的函数关系，注意宽度x取值为正；
（2）已知宽x=10m，直接代入第一问的函数解析式，即可求出对应长的值；
（3）已知长最多为20m，将y的表达式代入不等式，结合x＞0的范围求解，即可得到宽的最小值。
2. 打字录入问题：
（1）根据“总字数=录入速度×录入时间”，总字数4200为定值，变形后即可得到y关于x的函数解析式，录入速度x取值为正；
（2）已知录入速度x=60字/分，代入解析式即可求出对应录入时间；
（3）要求1小时（即60分钟）内完成，可利用k＞0时反比例函数在第一象限y随x增大而减小的性质，或直接列不等式求解，得到录入速度的最小值。
【解析】
1. 解：
(1) 根据长方形面积公式，得$xy=240$（$x＞0$），
整理得$y=\frac{240}{x}(x＞0)$，即y是x的反比例函数。
(2) 把$x=10$代入$y=\frac{240}{x}$，得$y=\frac{240}{10}=24$。
(3) 由题意得$y≤20$，即$\frac{240}{x}≤20$，
∵$x＞0$，不等式两边同乘x得$240≤20x$，解得$x≥12$。
2. 解：
(1) 根据“总字数=录入速度×录入时间”，得$xy=4200$（$x＞0$），
整理得$y=\frac{4200}{x}(x＞0)$。
(2) 把$x=60$代入$y=\frac{4200}{x}$，得$y=\frac{4200}{60}=70$。
(3) 1小时=60分钟，要求$y≤60$，
∵$k=4200＞0$，当$x＞0$时，y随x的增大而减小，
当$y=60$时，$x=\frac{4200}{60}=70$，因此要满足$y≤60$，则$x≥70$。
【答案】
1. (1) $y=\frac{240}{x}(x＞0)$；(2) 24m；(3) 12m
2. (1) $y=\frac{4200}{x}(x＞0)$；(2) 70分；(3) 70字/分
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 反比例函数的性质
3. 代入法求函数值
【点评】
本题以生活中常见的长方形面积计算、文字录入场景为载体，考查反比例函数的建模与应用能力，既要求学生能从实际问题中提取等量关系建立函数模型，也要求学生能结合函数性质或不等式求解最值，贴合生活实际，有助于培养数学应用意识。
【难度系数】
0.8
3.【例2】如图是某一蓄水池的排水速度Q(单位:m³/h)与排完满池水所用的时间t(单位:h)之间的函数图象.
(1)该蓄水池的容积是
(2)如果要6 h排完满池水,那么每小时的排水量应该是多少?
(3)如果每小时排水量不超过5 000 m³,那么至少要多少小时才可排完满池水?
(1)该蓄水池的容积是
48 000
m³;(2)如果要6 h排完满池水,那么每小时的排水量应该是多少?
(3)如果每小时排水量不超过5 000 m³,那么至少要多少小时才可排完满池水?
答案
3. 解:(1) 48 000
(2)由(1),得 Q = 48000/t.
当t = 6 时,Q = 48000/6 = 8 000(m³/h).
∴ 每小时的排水量应该是8 000 m³.
(3)
∵ Q≤5 000,
∴ 48000/t ≤5 000.
∴ t≥9.6.
∴ 至少要9.6小时才可排完满池水.
(2)由(1),得 Q = 48000/t.
当t = 6 时,Q = 48000/6 = 8 000(m³/h).
∴ 每小时的排水量应该是8 000 m³.
(3)
∵ Q≤5 000,
∴ 48000/t ≤5 000.
∴ t≥9.6.
∴ 至少要9.6小时才可排完满池水.
解析
【分析】
这道题是反比例函数的实际应用问题，解题核心是抓住“蓄水池总容积固定”这一不变量：1. 第一问可直接利用图像给出的t=12h、Q=4000m³/h，通过“总容积=排水速度×排水时间”计算得到结果；2. 第二问先根据总容积写出Q与t的反比例函数解析式，再将t=6代入解析式即可求出对应排水量；3. 第三问根据“每小时排水量不超过5000m³”的条件列出关于t的不等式，结合t为正数的实际意义解不等式即可得到最少排水时间。
【解析】
(1) 蓄水池的容积为排水总量，由容积=排水速度×排水时间，结合图像中t=12h时Q=4000m³/h，可得：
容积$V=Q· t=12×4000=48000\mathrm{m}^3$。
(2) 由总容积固定，可得Q与t的反比例函数解析式为$Q=\frac{48000}{t}(t＞0)$。
将$t=6$代入解析式：
$Q=\frac{48000}{6}=8000(\mathrm{m}^3/\mathrm{h})$。
(3) 由题意得$Q≤5000$，代入解析式得：
$\frac{48000}{t}≤5000$，
$\because t＞0$，不等式两边同时乘$t$不等号方向不变，得$48000≤5000t$，
解得$t≥\frac{48000}{5000}=9.6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{48000}$
(2) 每小时的排水量应该是$\boldsymbol{8000\mathrm{m}^3}$
(3) 至少要$\boldsymbol{9.6}$小时才可排完满池水
【知识点】
反比例函数应用、代入法求值、不等式求解
【点评】
本题结合排水场景考查反比例函数的实际应用，解题关键是先确定总容积（即反比例函数的比例系数），再根据问题要求代入计算或列不等式求解，需注意实际问题中自变量的取值需符合现实意义。
【难度系数】
0.8
这道题是反比例函数的实际应用问题，解题核心是抓住“蓄水池总容积固定”这一不变量：1. 第一问可直接利用图像给出的t=12h、Q=4000m³/h，通过“总容积=排水速度×排水时间”计算得到结果；2. 第二问先根据总容积写出Q与t的反比例函数解析式，再将t=6代入解析式即可求出对应排水量；3. 第三问根据“每小时排水量不超过5000m³”的条件列出关于t的不等式，结合t为正数的实际意义解不等式即可得到最少排水时间。
【解析】
(1) 蓄水池的容积为排水总量，由容积=排水速度×排水时间，结合图像中t=12h时Q=4000m³/h，可得：
容积$V=Q· t=12×4000=48000\mathrm{m}^3$。
(2) 由总容积固定，可得Q与t的反比例函数解析式为$Q=\frac{48000}{t}(t＞0)$。
将$t=6$代入解析式：
$Q=\frac{48000}{6}=8000(\mathrm{m}^3/\mathrm{h})$。
(3) 由题意得$Q≤5000$，代入解析式得：
$\frac{48000}{t}≤5000$，
$\because t＞0$，不等式两边同时乘$t$不等号方向不变，得$48000≤5000t$，
解得$t≥\frac{48000}{5000}=9.6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{48000}$
(2) 每小时的排水量应该是$\boldsymbol{8000\mathrm{m}^3}$
(3) 至少要$\boldsymbol{9.6}$小时才可排完满池水
【知识点】
反比例函数应用、代入法求值、不等式求解
【点评】
本题结合排水场景考查反比例函数的实际应用，解题关键是先确定总容积（即反比例函数的比例系数），再根据问题要求代入计算或列不等式求解，需注意实际问题中自变量的取值需符合现实意义。
【难度系数】
0.8
