登录
4. (广州中考)某燃气公司计划在地下修建一个容积为$V$($V$为定值，单位:$\mathrm{m}^3$)的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积$S$(单位:$\mathrm{m}^2$)与其深度$d$(单位:$\mathrm{m}$)是反比例函数关系，当$d=20$时，$S=500$.
(1)求储存室的容积$V$的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度$d$需要满足$16≤ d≤25$，求储存室的底面积$S$的范围.
(1)求储存室的容积$V$的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度$d$需要满足$16≤ d≤25$，求储存室的底面积$S$的范围.
答案
4. 解:(1)设 S = V/d (V≠0).
∵ 当d = 20 时,S = 500,
∴ 500 = V/20.
∴ V = 10 000(m³).
(2)由(1),得 S = 10000/d.
∵ 10 000 ＞ 0,
∴ 当d ＞ 0 时,S 随d 的增大而减小.
当d = 16 时,S = 625;当d = 25 时,S = 400.
∴ 当16≤d≤25 时,400≤S≤625.
∵ 当d = 20 时,S = 500,
∴ 500 = V/20.
∴ V = 10 000(m³).
(2)由(1),得 S = 10000/d.
∵ 10 000 ＞ 0,
∴ 当d ＞ 0 时,S 随d 的增大而减小.
当d = 16 时,S = 625;当d = 25 时,S = 400.
∴ 当16≤d≤25 时,400≤S≤625.
解析
【分析】
（1）根据圆柱的容积公式：容积=底面积×深度，可得底面积S与深度d的关系为$S=\frac{V}{d}$，题目给出了d=20时S=500，将对应值代入即可求出定值V。（2）先由第一问的结果确定S关于d的反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质：当比例系数k＞0时，在d＞0的范围内，S随d的增大而减小，将d的取值范围的两个端点分别代入解析式，得到S的最值，进而求出S的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得S与d的函数关系为$S=\frac{V}{d}$（$V≠0$），
把$d=20$，$S=500$代入得：$500=\frac{V}{20}$，
解得：$V=500×20=10000(\mathrm{m}^3)$。
(2) 由(1)可得反比例函数解析式为$S=\frac{10000}{d}$，
$\because 10000＞0$，
$\therefore$ 当$d＞0$时，S随d的增大而减小，
当$d=16$时，$S=\frac{10000}{16}=625$，
当$d=25$时，$S=\frac{10000}{25}=400$，
$\therefore$ 当$16≤ d≤25$时，$400≤ S≤625$。
【答案】
(1) $V=10000\mathrm{m}^3$；(2) 底面积S的取值范围是$400≤ S≤625\mathrm{m}^2$
【知识点】
反比例函数的应用、圆柱体积计算、反比例函数的性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查反比例函数的应用，解题关键是正确建立反比例函数模型，利用反比例函数的增减性求解取值范围，计算难度较低，解题时需注意自变量与因变量的变化对应关系，避免颠倒取值范围的顺序。
【难度系数】
0.8
（1）根据圆柱的容积公式：容积=底面积×深度，可得底面积S与深度d的关系为$S=\frac{V}{d}$，题目给出了d=20时S=500，将对应值代入即可求出定值V。（2）先由第一问的结果确定S关于d的反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质：当比例系数k＞0时，在d＞0的范围内，S随d的增大而减小，将d的取值范围的两个端点分别代入解析式，得到S的最值，进而求出S的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得S与d的函数关系为$S=\frac{V}{d}$（$V≠0$），
把$d=20$，$S=500$代入得：$500=\frac{V}{20}$，
解得：$V=500×20=10000(\mathrm{m}^3)$。
(2) 由(1)可得反比例函数解析式为$S=\frac{10000}{d}$，
$\because 10000＞0$，
$\therefore$ 当$d＞0$时，S随d的增大而减小，
当$d=16$时，$S=\frac{10000}{16}=625$，
当$d=25$时，$S=\frac{10000}{25}=400$，
$\therefore$ 当$16≤ d≤25$时，$400≤ S≤625$。
【答案】
(1) $V=10000\mathrm{m}^3$；(2) 底面积S的取值范围是$400≤ S≤625\mathrm{m}^2$
【知识点】
反比例函数的应用、圆柱体积计算、反比例函数的性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查反比例函数的应用，解题关键是正确建立反比例函数模型，利用反比例函数的增减性求解取值范围，计算难度较低，解题时需注意自变量与因变量的变化对应关系，避免颠倒取值范围的顺序。
【难度系数】
0.8
1. 某地资源总量$Q$一定,则该地人均资源享有量$\bar{x}$与人口数$n$之间的函数关系图象是 (
B
)答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先要理清三个量的等量关系：资源总量=人均资源享有量×人口数。已知资源总量Q为定值，因此可推导出人均资源享有量$\bar{x}$和人口数n的函数关系式，判断函数类型；再结合实际意义，人口数n和人均资源$\bar{x}$都为正数，确定函数图象所在象限；最后根据反比例函数的图象性质，对应选项选出正确答案。
【解析】
根据题意可得等量关系：$\bar{x} · n = Q$（Q为定值且$Q＞0$），
变形可得函数解析式：$\bar{x}=\frac{Q}{n}$，
结合实际意义，人口数$n＞0$，人均资源享有量$\bar{x}＞0$，因此该函数是第一象限内的反比例函数，
因为$k=Q＞0$，所以在第一象限内$\bar{x}$随$n$的增大而减小，图象为第一象限内下降的曲线，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的相关知识，解题的关键是先根据题意正确列出函数解析式，再结合自变量的实际取值范围和函数性质判断图象，解题时要注意排除不符合实际意义的图象选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理清三个量的等量关系：资源总量=人均资源享有量×人口数。已知资源总量Q为定值，因此可推导出人均资源享有量$\bar{x}$和人口数n的函数关系式，判断函数类型；再结合实际意义，人口数n和人均资源$\bar{x}$都为正数，确定函数图象所在象限；最后根据反比例函数的图象性质，对应选项选出正确答案。
【解析】
根据题意可得等量关系：$\bar{x} · n = Q$（Q为定值且$Q＞0$），
变形可得函数解析式：$\bar{x}=\frac{Q}{n}$，
结合实际意义，人口数$n＞0$，人均资源享有量$\bar{x}＞0$，因此该函数是第一象限内的反比例函数，
因为$k=Q＞0$，所以在第一象限内$\bar{x}$随$n$的增大而减小，图象为第一象限内下降的曲线，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的相关知识，解题的关键是先根据题意正确列出函数解析式，再结合自变量的实际取值范围和函数性质判断图象，解题时要注意排除不符合实际意义的图象选项。
【难度系数】
0.8
2. (跨学科)(广东中考)某蓄电池的电压为48 V,使用此蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)的函数表达式为$I=\frac{48}{R}$,当$R=12\ \Omega$时,I的值为
4
A.答案
2. 4
解析
【分析】
本题给出了电流I与电阻R的反比例函数表达式，要求指定电阻对应的电流值，解题思路清晰：直接将给定的电阻R的数值代入函数表达式，通过除法运算即可求出对应的电流I的值。
【解析】
已知电流I与电阻R的函数表达式为$I=\frac{48}{R}$，
将$R=12\ \Omega$代入表达式，得：
$I=\frac{48}{12}=4$（A）
【答案】
4
【知识点】
反比例函数，代入法求函数值
【点评】
本题结合物理电学场景考查函数的基本应用，属于基础题，只要掌握代入法求函数值的方法就能顺利得分，体现了跨学科融合的命题思路。
【难度系数】
0.9
本题给出了电流I与电阻R的反比例函数表达式，要求指定电阻对应的电流值，解题思路清晰：直接将给定的电阻R的数值代入函数表达式，通过除法运算即可求出对应的电流I的值。
【解析】
已知电流I与电阻R的函数表达式为$I=\frac{48}{R}$，
将$R=12\ \Omega$代入表达式，得：
$I=\frac{48}{12}=4$（A）
【答案】
4
【知识点】
反比例函数，代入法求函数值
【点评】
本题结合物理电学场景考查函数的基本应用，属于基础题，只要掌握代入法求函数值的方法就能顺利得分，体现了跨学科融合的命题思路。
【难度系数】
0.9
3. 加工某种材料的温度要求不低于80 ℃，不高于160 ℃. 当该材料加热到200 ℃时，停止加热，随着时间的推移，温度y（单位：℃）与时间x（单位：min）满足反比例函数关系，其函数图象如图所示，则可供加工的时间有
5
min. 答案
3. 5
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要根据已知条件求出温度y与时间x的反比例函数解析式，再结合加工要求的温度范围，分别求出温度为160℃和80℃对应的时间，两个时间的差值就是可供加工的时长。第一步，利用反比例函数的一般形式，代入图象上的已知点求出解析式；第二步，将温度上下限分别代入解析式，求出对应的时间；第三步，计算两个时间的差得到结果。
【解析】
设停止加热后，温度y与时间x的反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0, x ≥ 4 $）。
由图象可知，当$ x=4 $时，$ y=200 $，将其代入解析式得：
$ 200 = \frac{k}{4} $，解得$ k = 4 × 200 = 800 $，
因此反比例函数解析式为$ y = \frac{800}{x} $（$ x ≥ 4 $）。
根据加工温度要求$ 80 ≤ y ≤ 160 $：
① 当$ y=160 $时，代入解析式得$ 160 = \frac{800}{x} $，解得$ x = 5 $；
② 当$ y=80 $时，代入解析式得$ 80 = \frac{800}{x} $，解得$ x = 10 $。
所以可供加工的时间为$ 10 - 5 = 5 $（min）。
【答案】
5
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合材料加工的实际场景考查反比例函数的应用，解题的核心是先准确求出函数解析式，再根据温度的取值范围计算对应的时间区间，难度适中，注重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要根据已知条件求出温度y与时间x的反比例函数解析式，再结合加工要求的温度范围，分别求出温度为160℃和80℃对应的时间，两个时间的差值就是可供加工的时长。第一步，利用反比例函数的一般形式，代入图象上的已知点求出解析式；第二步，将温度上下限分别代入解析式，求出对应的时间；第三步，计算两个时间的差得到结果。
【解析】
设停止加热后，温度y与时间x的反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0, x ≥ 4 $）。
由图象可知，当$ x=4 $时，$ y=200 $，将其代入解析式得：
$ 200 = \frac{k}{4} $，解得$ k = 4 × 200 = 800 $，
因此反比例函数解析式为$ y = \frac{800}{x} $（$ x ≥ 4 $）。
根据加工温度要求$ 80 ≤ y ≤ 160 $：
① 当$ y=160 $时，代入解析式得$ 160 = \frac{800}{x} $，解得$ x = 5 $；
② 当$ y=80 $时，代入解析式得$ 80 = \frac{800}{x} $，解得$ x = 10 $。
所以可供加工的时间为$ 10 - 5 = 5 $（min）。
【答案】
5
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合材料加工的实际场景考查反比例函数的应用，解题的核心是先准确求出函数解析式，再根据温度的取值范围计算对应的时间区间，难度适中，注重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
4.某汽车的功率P为一定值,汽车行驶时的速度v(单位:m/s)与它所受的牵引力F(单位:N)之间的函数关系如图所示.
(1)这辆汽车的功率是多少?请写出该函数的解析式.(P=Fv,单位:W)
(2)当它所受的牵引力为1 200 N时,汽车的速度为
(3)若限定汽车的速度不超过30 m/s,则F在什么范围内?
(1)这辆汽车的功率是多少?请写出该函数的解析式.(P=Fv,单位:W)
(2)当它所受的牵引力为1 200 N时,汽车的速度为
50 m/s
.(3)若限定汽车的速度不超过30 m/s,则F在什么范围内?
答案
4. 解:(1)设v关于F的函数解析式为$v=\frac{P}{F}$.
把(3 000,20)代入$v=\frac{P}{F}(P≠0)$,得$P=60\ 000$.
∴ 这辆汽车的功率是60 000 W,该函数的解析式为$v=\frac{60\ 000}{F}$.
(2)50 m/s
(3)把$v=30$代入$v=\frac{60\ 000}{F}$,得$F=2\ 000$.
∵ 汽车的速度不超过30 m/s,
∴ $F≥2\ 000\ \mathrm{N}$.
把(3 000,20)代入$v=\frac{P}{F}(P≠0)$,得$P=60\ 000$.
∴ 这辆汽车的功率是60 000 W,该函数的解析式为$v=\frac{60\ 000}{F}$.
(2)50 m/s
(3)把$v=30$代入$v=\frac{60\ 000}{F}$,得$F=2\ 000$.
∵ 汽车的速度不超过30 m/s,
∴ $F≥2\ 000\ \mathrm{N}$.
解析
【分析】
本题是结合物理功率公式的反比例函数应用题，解题思路如下：首先由功率公式$P=Fv$，P为定值可知v与F成反比例函数关系；第一问利用图像给出的已知点$(3000,20)$，用待定系数法代入即可求出功率P，进而得到v关于F的函数解析式；第二问将$F=1200\ \mathrm{N}$代入已求的解析式，直接计算就能得到对应速度；第三问根据速度不超过30m/s的限定，得到关于F的不等式，结合反比例函数在第一象限的增减性（F越大v越小），即可求出F的取值范围，注意实际问题中牵引力F恒为正数。
【解析】
(1) 由功率公式$P=Fv$，P为定值，可得v与F的函数关系为$v=\frac{P}{F}\ (F＞0)$，属于反比例函数。
由图像可知函数过点$(3000,20)$，将$F=3000$，$v=20$代入解析式，得：
$20=\frac{P}{3000}$，解得$P=20×3000=60000\ \mathrm{W}$。
因此汽车功率为60000W，函数解析式为$v=\frac{60000}{F}\ (F＞0)$。
(2) 将$F=1200\ \mathrm{N}$代入$v=\frac{60000}{F}$，得：
$v=\frac{60000}{1200}=50\ \mathrm{m/s}$。
(3) 已知汽车速度不超过30m/s，即$v≤30$，代入解析式得：
$\frac{60000}{F}≤30$，
因为牵引力$F＞0$，不等式两边同时乘F不等号方向不变，得$60000≤30F$，
解得$F≥2000\ \mathrm{N}$。
【答案】
(1) 功率为$\boldsymbol{60000\ \mathrm{W}}$，函数解析式为$\boldsymbol{v=\frac{60000}{F}\ (F＞0)}$；
(2) $\boldsymbol{50\ \mathrm{m/s}}$；
(3) $\boldsymbol{F≥2000\ \mathrm{N}}$
【知识点】
反比例函数的实际应用、待定系数法求解析式、反比例函数的性质
【点评】
本题为跨学科的基础应用题，结合了物理功率公式考查反比例函数的相关知识，解题关键是明确v与F的反比例关系，结合图像信息求解解析式，同时注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.8
本题是结合物理功率公式的反比例函数应用题，解题思路如下：首先由功率公式$P=Fv$，P为定值可知v与F成反比例函数关系；第一问利用图像给出的已知点$(3000,20)$，用待定系数法代入即可求出功率P，进而得到v关于F的函数解析式；第二问将$F=1200\ \mathrm{N}$代入已求的解析式，直接计算就能得到对应速度；第三问根据速度不超过30m/s的限定，得到关于F的不等式，结合反比例函数在第一象限的增减性（F越大v越小），即可求出F的取值范围，注意实际问题中牵引力F恒为正数。
【解析】
(1) 由功率公式$P=Fv$，P为定值，可得v与F的函数关系为$v=\frac{P}{F}\ (F＞0)$，属于反比例函数。
由图像可知函数过点$(3000,20)$，将$F=3000$，$v=20$代入解析式，得：
$20=\frac{P}{3000}$，解得$P=20×3000=60000\ \mathrm{W}$。
因此汽车功率为60000W，函数解析式为$v=\frac{60000}{F}\ (F＞0)$。
(2) 将$F=1200\ \mathrm{N}$代入$v=\frac{60000}{F}$，得：
$v=\frac{60000}{1200}=50\ \mathrm{m/s}$。
(3) 已知汽车速度不超过30m/s，即$v≤30$，代入解析式得：
$\frac{60000}{F}≤30$，
因为牵引力$F＞0$，不等式两边同时乘F不等号方向不变，得$60000≤30F$，
解得$F≥2000\ \mathrm{N}$。
【答案】
(1) 功率为$\boldsymbol{60000\ \mathrm{W}}$，函数解析式为$\boldsymbol{v=\frac{60000}{F}\ (F＞0)}$；
(2) $\boldsymbol{50\ \mathrm{m/s}}$；
(3) $\boldsymbol{F≥2000\ \mathrm{N}}$
【知识点】
反比例函数的实际应用、待定系数法求解析式、反比例函数的性质
【点评】
本题为跨学科的基础应用题，结合了物理功率公式考查反比例函数的相关知识，解题关键是明确v与F的反比例关系，结合图像信息求解解析式，同时注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.8
