1.【例1】二次函数$y=-x^2 +4x$的图象如图所示.

(1)对称轴是;
(2)当$x=$时,$y=0$;
(3)当时,$y＞0$;
(4)当时,$y＜0$.
2.二次函数$y=x^2 -2x -3$的图象如图所示.

(1)对称轴是;
(2)当$x=$时,$y=0$;
(3)当时,$y＞0$;
(4)当时,$x^2 -2x -3 ＜0$.

1. (1) x=2 (2) 0或4 (3) 0＜x＜4 (4) x＜0或x＞4
2. (1) x=1 (2) -1或3 (3) x＞3或x＜-1 (4) -1＜x＜3

【分析】
这组题考查二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系，解题思路如下：1.求对称轴：可以用配方法将二次函数化为顶点式，或者用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；2.求$y=0$时的x值：本质是解对应的一元二次方程，得到的解就是函数图像与x轴交点的横坐标；3.求$y＞0$或$y＜0$的x范围：先明确二次函数的开口方向，再结合图像与x轴的交点判断：图像在x轴上方的部分对应的x范围就是$y＞0$的解集，在x轴下方的部分对应的x范围就是$y＜0$的解集。
【解析】
第1题 二次函数$y=-x^2+4x$
(1) 用公式法计算对称轴：已知$a=-1,b=4$，代入对称轴公式得$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$，即对称轴为直线$x=2$。
(2) 令$y=0$，列方程：$-x^2+4x=0$，因式分解得$-x(x-4)=0$，解得$x_1=0,x_2=4$，即$x=0$或$4$时$y=0$。
(3) 该函数$a=-1＜0$，开口向下，图像与x轴交于$(0,0)$、$(4,0)$，x轴上方的图像对应x的范围是$0＜x＜4$，即此时$y＞0$。
(4) x轴下方的图像对应x的范围是$x＜0$或$x＞4$，即此时$y＜0$。
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第2题 二次函数$y=x^2-2x-3$
(1) 用公式法计算对称轴：已知$a=1,b=-2$，代入对称轴公式得$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，即对称轴为直线$x=1$。
(2) 令$y=0$，列方程：$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$，即$x=-1$或$3$时$y=0$。
(3) 该函数$a=1＞0$，开口向上，图像与x轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，x轴上方的图像对应x的范围是$x＜-1$或$x＞3$，即此时$y＞0$。
(4) $x^2-2x-3＜0$即$y＜0$，对应x轴下方的图像，x的范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
1. (1) $x=2$ (2) $0$或$4$ (3) $0＜x＜4$ (4) $x＜0$或$x＞4$
2. (1) $x=1$ (2) $-1$或$3$ (3) $x＞3$或$x＜-1$ (4) $-1＜x＜3$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与一元二次方程的联系；二次函数与不等式的联系
【点评】
本题是二次函数与方程、不等式结合的基础题型，核心是运用数形结合思想，通过函数图像的开口方向、与x轴的交点位置，快速判断对应方程的解和不等式的解集，是后续解决复杂二次函数综合题的基础。
【难度系数】
0.75

3.【例2】如图，抛物线$y_1=ax^2+bx+c$与直线$y_2=mx+n$交于$A(4,2),B(-1,-3)$。

(1)当$x=$时，$y_1=y_2$；
(2)当时，$y_1＞y_2$；
(3)当时，$ax^2+bx+c＜mx+n$。

3. (1) -1或4 (2) x＜-1或x＞4 (3) -1＜x＜4

【分析】
解题思路如下：1. 首先明确函数图像交点的意义：两个函数图像的交点处，自变量x和函数值y同时满足两个函数的解析式，因此$y_1=y_2$时x的取值就是两个交点的横坐标。2. 比较函数值大小的方法：同一x取值下，位置靠上的函数图像对应的函数值更大，因此只需观察两个交点划分出的三个x区间内，两个图像的上下位置关系，即可得到对应不等式的解集。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y_1=ax^2+bx+c$与直线$y_2=mx+n$的交点为$A(4,2)$、$B(-1,-3)$，交点处两个函数的函数值相等，
∴ 当$x=-1$或$x=4$时，$y_1=y_2$。
(2) 观察图像可得：当$x＜-1$或$x＞4$时，抛物线$y_1$的图像在直线$y_2$的上方，此时对应$y_1＞y_2$。
(3) 不等式$ax^2+bx+c＜mx+n$等价于$y_1＜y_2$，观察图像可得：当$-1＜x＜4$时，抛物线$y_1$的图像在直线$y_2$的下方，满足$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) $-1$或$4$
(2) $x＜-1$或$x＞4$
(3) $-1＜x＜4$
【知识点】
函数图像交点的意义；利用图像比较函数值大小；二次函数与不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在函数问题中的应用，无需复杂计算，只需明确交点的意义，结合图像的上下位置关系即可快速求解，是函数类基础题型。
【难度系数】
0.8