登录
5. 抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与x轴的公共点是$ (-1,0),(3,0) $，则这条抛物线的对称轴为
x=1
。答案
5. x = 1
解析
【分析】
抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点一定关于对称轴对称，因此对称轴是这两个交点连线的垂直平分线，只需计算两个交点横坐标的平均值，即可得到对称轴对应的x值。
【解析】
已知抛物线与x轴的公共点为$(-1,0)$和$(3,0)$，这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴的横坐标为两个交点横坐标的平均数：
$x=\frac{-1+3}{2}=1$
因此这条抛物线的对称轴为直线$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
抛物线的轴对称性；二次函数与x轴交点的性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，利用抛物线的对称性可以直接快速求出对称轴，无需代入解析式计算，掌握该规律能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.9
抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点一定关于对称轴对称，因此对称轴是这两个交点连线的垂直平分线，只需计算两个交点横坐标的平均值，即可得到对称轴对应的x值。
【解析】
已知抛物线与x轴的公共点为$(-1,0)$和$(3,0)$，这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴的横坐标为两个交点横坐标的平均数：
$x=\frac{-1+3}{2}=1$
因此这条抛物线的对称轴为直线$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
抛物线的轴对称性；二次函数与x轴交点的性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，利用抛物线的对称性可以直接快速求出对称轴，无需代入解析式计算，掌握该规律能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.9
6. 抛物线 $ y = ax^2 - 2ax - 3a (a ≠ 0) $ 的对称轴是
x=1
。答案
6. x = 1
解析
【分析】
要求二次函数抛物线的对称轴，九年级阶段常用两种方法求解：①公式法：对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，只需确定解析式中$a$、$b$的值代入计算即可；②配方法：将一般式配方化为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，对称轴即为直线$x=h$，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
方法一：公式法
在二次函数$y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$中，二次项系数为$a$，一次项系数$b=-2a$，
代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可得：
$x=-\frac{-2a}{2× a}=\frac{2a}{2a}=1$
因此抛物线的对称轴是直线$x=1$。
方法二：配方法
对解析式变形：
$\begin{aligned}y&=ax^2-2ax-3a\\&=a(x^2-2x)-3a\\&=a(x^2-2x+1-1)-3a\\&=a(x-1)^2 -a -3a\\&=a(x-1)^2-4a\end{aligned}$
该式为顶点式，对应$h=1$，因此抛物线的对称轴是直线$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式
2. 配方法化顶点式
【点评】
本题是二次函数性质的基础考题，核心考查对称轴的计算方法，熟练掌握公式法或配方法都能快速解题，是二次函数模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
要求二次函数抛物线的对称轴，九年级阶段常用两种方法求解：①公式法：对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，只需确定解析式中$a$、$b$的值代入计算即可；②配方法：将一般式配方化为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，对称轴即为直线$x=h$，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
方法一：公式法
在二次函数$y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$中，二次项系数为$a$，一次项系数$b=-2a$，
代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可得：
$x=-\frac{-2a}{2× a}=\frac{2a}{2a}=1$
因此抛物线的对称轴是直线$x=1$。
方法二：配方法
对解析式变形：
$\begin{aligned}y&=ax^2-2ax-3a\\&=a(x^2-2x)-3a\\&=a(x^2-2x+1-1)-3a\\&=a(x-1)^2 -a -3a\\&=a(x-1)^2-4a\end{aligned}$
该式为顶点式，对应$h=1$，因此抛物线的对称轴是直线$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式
2. 配方法化顶点式
【点评】
本题是二次函数性质的基础考题，核心考查对称轴的计算方法，熟练掌握公式法或配方法都能快速解题，是二次函数模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
7.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的$x,y$的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为（
A.$y$轴
B.$x=\frac{5}{2}$
C.$x=2$
D.$x=\frac{3}{2}$
则该二次函数图象的对称轴为（
D
）A.$y$轴
B.$x=\frac{5}{2}$
C.$x=2$
D.$x=\frac{3}{2}$
答案
7. D
解析
【分析】
二次函数的图象是轴对称的抛物线，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为这两个点横坐标之和的一半；也可以先代入已知点坐标求出二次函数解析式，再利用对称轴公式计算。观察表格发现x=0和x=3时y值均为1，这两个点是对称点，用对称性求解更简便。
【解析】
方法1：利用二次函数对称性求解
观察表格可知，当x=0和x=3时，对应的函数值y都为1，因此点(0,1)和点(3,1)是抛物线上的一组对称点，对称轴为两点横坐标的平均值：
$x=\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$
方法2：求解析式后代入对称轴公式求解
将(0,1)代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=1$。
再将(-1,5)、(1,-1)分别代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}a-b+1=5\\a+b+1=-1\end{cases}$
解得：$a=1$，$b=-3$。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$x=-\frac{-3}{2×1}=\frac{3}{2}$
综上，该二次函数图象的对称轴为$x=\frac{3}{2}$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数对称轴的求解，两种方法中利用对称点的性质计算更快捷，建议优先掌握这种方法，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
二次函数的图象是轴对称的抛物线，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为这两个点横坐标之和的一半；也可以先代入已知点坐标求出二次函数解析式，再利用对称轴公式计算。观察表格发现x=0和x=3时y值均为1，这两个点是对称点，用对称性求解更简便。
【解析】
方法1：利用二次函数对称性求解
观察表格可知，当x=0和x=3时，对应的函数值y都为1，因此点(0,1)和点(3,1)是抛物线上的一组对称点，对称轴为两点横坐标的平均值：
$x=\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$
方法2：求解析式后代入对称轴公式求解
将(0,1)代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=1$。
再将(-1,5)、(1,-1)分别代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}a-b+1=5\\a+b+1=-1\end{cases}$
解得：$a=1$，$b=-3$。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$x=-\frac{-3}{2×1}=\frac{3}{2}$
综上，该二次函数图象的对称轴为$x=\frac{3}{2}$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数对称轴的求解，两种方法中利用对称点的性质计算更快捷，建议优先掌握这种方法，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
8. 如图是抛物线$y=ax^2+bx+c$的部分图象，则抛物线与x轴的另一交点坐标是
(5,0)
。答案
8. (5,0)
解析
【分析】
解题时首先从图像中提取两个关键信息：一是抛物线的对称轴为直线x=2，二是抛物线与x轴的其中一个交点坐标为(-1,0)。接下来回忆二次函数的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点关于对称轴对称，即两个交点到对称轴的水平距离相等。先计算已知交点到对称轴的距离，再根据对称性求出另一交点的横坐标，即可得到交点坐标。
【解析】
解：由题图可得，抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=2}$，且抛物线与x轴的一个交点为$(-1,0)$。
根据二次函数的轴对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一交点的横坐标为$x$，则两个交点横坐标的平均数等于对称轴横坐标：
$\frac{-1+x}{2}=2$
解这个方程：
$-1+x=4$
$x=5$
因此抛物线与x轴的另一交点坐标为$(5,0)$。
【答案】
$(5,0)$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与x轴交点
【点评】
本题侧重考查二次函数基本性质的应用，解题关键是明确抛物线与x轴的交点关于对称轴对称，属于基础题型，只要掌握二次函数的轴对称性就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从图像中提取两个关键信息：一是抛物线的对称轴为直线x=2，二是抛物线与x轴的其中一个交点坐标为(-1,0)。接下来回忆二次函数的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点关于对称轴对称，即两个交点到对称轴的水平距离相等。先计算已知交点到对称轴的距离，再根据对称性求出另一交点的横坐标，即可得到交点坐标。
【解析】
解：由题图可得，抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=2}$，且抛物线与x轴的一个交点为$(-1,0)$。
根据二次函数的轴对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一交点的横坐标为$x$，则两个交点横坐标的平均数等于对称轴横坐标：
$\frac{-1+x}{2}=2$
解这个方程：
$-1+x=4$
$x=5$
因此抛物线与x轴的另一交点坐标为$(5,0)$。
【答案】
$(5,0)$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与x轴交点
【点评】
本题侧重考查二次函数基本性质的应用，解题关键是明确抛物线与x轴的交点关于对称轴对称，属于基础题型，只要掌握二次函数的轴对称性就能快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 若二次函数$y=2x^2 - bx -1$的图象经过点$(3,y_0)$和$(9,y_0)$，则$b$的值为（
A.-24
B.-12
C.12
D.24
D
）A.-24
B.-12
C.12
D.24
答案
9. D
解析
【分析】
解题思路：首先观察到已知两点的纵坐标相等，说明这两点是二次函数图象上关于对称轴对称的点，因此对称轴为两点横坐标的平均值；再结合二次函数一般式的对称轴公式，列出关于b的方程，解方程即可求出b的值。
【解析】
∵ 二次函数图象经过点$(3,y_0)$和$(9,y_0)$，两点纵坐标相同
∴ 该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{3+9}{2}=6$
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴公式为$x=-\frac{\mathrm{一次项系数}}{2a}$
本题中二次函数为$y=2x^2 - bx -1$，$a=2$，一次项系数为$-b$，因此对称轴为：
$x=-\frac{-b}{2×2}=\frac{b}{4}$
联立对称轴的两个表达式，得：$\frac{b}{4}=6$
解得：$b=24$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数对称轴公式
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，解题的关键是掌握纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，结合对称轴公式建立方程求解，是二次函数部分的基础常见题型。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察到已知两点的纵坐标相等，说明这两点是二次函数图象上关于对称轴对称的点，因此对称轴为两点横坐标的平均值；再结合二次函数一般式的对称轴公式，列出关于b的方程，解方程即可求出b的值。
【解析】
∵ 二次函数图象经过点$(3,y_0)$和$(9,y_0)$，两点纵坐标相同
∴ 该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{3+9}{2}=6$
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴公式为$x=-\frac{\mathrm{一次项系数}}{2a}$
本题中二次函数为$y=2x^2 - bx -1$，$a=2$，一次项系数为$-b$，因此对称轴为：
$x=-\frac{-b}{2×2}=\frac{b}{4}$
联立对称轴的两个表达式，得：$\frac{b}{4}=6$
解得：$b=24$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数对称轴公式
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，解题的关键是掌握纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，结合对称轴公式建立方程求解，是二次函数部分的基础常见题型。
【难度系数】
0.8
10. 如图，抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的对称轴是$x=1$，且经过点$P(3,0)$，则$a-b+c$的值为
0
。答案
10. 0
解析
【分析】
要计算代数式$a-b+c$的值，首先观察该代数式的特征：将$x=-1$代入二次函数$y=ax^2+bx+c$，可得$y=a×(-1)^2 +b×(-1)+c=a-b+c$，因此问题转化为求$x=-1$时二次函数的函数值。接下来结合已知条件：抛物线对称轴为$x=1$，且经过点$P(3,0)$，根据二次函数的对称性，可求出点$P(3,0)$关于对称轴$x=1$的对称点，该对称点的横坐标即为$-1$，其纵坐标就是$x=-1$时的函数值，也就是所求的$a-b+c$的值。
【解析】
1. 联系代数式与二次函数的关系：
当$x=-1$时，代入二次函数解析式得：
$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$，
因此求$a-b+c$的值等价于求$x=-1$时二次函数的函数值。
2. 利用抛物线的对称性求对称点：
已知抛物线的对称轴为直线$x=1$，点$P(3,0)$在抛物线上，
根据抛物线对称性，抛物线上关于对称轴对称的点纵坐标相等，且横坐标到对称轴的距离相等。点$P(3,0)$到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，因此其对称点的横坐标为$1-2=-1$，即点$(-1,0)$也在抛物线上，也就是$x=-1$时，$y=0$。
3. 得结论：
所以$a-b+c=0$。
【答案】
0
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题解题的核心是两步转化：一是将代数式求值转化为求二次函数对应自变量的函数值，二是利用抛物线的对称性，由已知点坐标推出未知点的坐标，不需要求解解析式即可快速得到结果，是二次函数性质的基础应用。
【难度系数】
0.7
要计算代数式$a-b+c$的值，首先观察该代数式的特征：将$x=-1$代入二次函数$y=ax^2+bx+c$，可得$y=a×(-1)^2 +b×(-1)+c=a-b+c$，因此问题转化为求$x=-1$时二次函数的函数值。接下来结合已知条件：抛物线对称轴为$x=1$，且经过点$P(3,0)$，根据二次函数的对称性，可求出点$P(3,0)$关于对称轴$x=1$的对称点，该对称点的横坐标即为$-1$，其纵坐标就是$x=-1$时的函数值，也就是所求的$a-b+c$的值。
【解析】
1. 联系代数式与二次函数的关系：
当$x=-1$时，代入二次函数解析式得：
$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$，
因此求$a-b+c$的值等价于求$x=-1$时二次函数的函数值。
2. 利用抛物线的对称性求对称点：
已知抛物线的对称轴为直线$x=1$，点$P(3,0)$在抛物线上，
根据抛物线对称性，抛物线上关于对称轴对称的点纵坐标相等，且横坐标到对称轴的距离相等。点$P(3,0)$到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，因此其对称点的横坐标为$1-2=-1$，即点$(-1,0)$也在抛物线上，也就是$x=-1$时，$y=0$。
3. 得结论：
所以$a-b+c=0$。
【答案】
0
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题解题的核心是两步转化：一是将代数式求值转化为求二次函数对应自变量的函数值，二是利用抛物线的对称性，由已知点坐标推出未知点的坐标，不需要求解解析式即可快速得到结果，是二次函数性质的基础应用。
【难度系数】
0.7
11. 二次函数 $y = -x^2 + 3x + 4$ 的图象与一次函数 $y = 2x - 1$ 的图象相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标。
答案
11. 解:相交.
联立$\begin{cases} y = -x^2 + 3x + 4, \\ y = 2x - 1. \end{cases}$
消去y,得x² -x -5 = 0. 解得$x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
∴ 当$x = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$时,$y = \sqrt{21}$.
当$x = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$时,$y = -\sqrt{21}$.
∴ 它们的交点坐标为$( \frac{1 + \sqrt{21}}{2},\sqrt{21} )$和$( \frac{1 - \sqrt{21}}{2},-\sqrt{21} )$.
联立$\begin{cases} y = -x^2 + 3x + 4, \\ y = 2x - 1. \end{cases}$
消去y,得x² -x -5 = 0. 解得$x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
∴ 当$x = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$时,$y = \sqrt{21}$.
当$x = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$时,$y = -\sqrt{21}$.
∴ 它们的交点坐标为$( \frac{1 + \sqrt{21}}{2},\sqrt{21} )$和$( \frac{1 - \sqrt{21}}{2},-\sqrt{21} )$.
解析
【分析】
判断两个函数图象是否相交，本质是判断两个函数解析式联立组成的方程组是否有实数解。解题时先联立两个函数的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，若方程有实数根则说明图象相交，再求解方程得到x的取值，代入一次函数解析式求出对应的y值，就能得到交点坐标。
【解析】
解：联立两个函数解析式，得方程组：
$\begin{cases} y = -x^2 + 3x + 4 \\ y = 2x - 1 \end{cases}$
将$y=2x-1$代入二次函数解析式消去y，得：
$2x - 1 = -x^2 + 3x + 4$
整理得：$x^2 - x - 5 = 0$
由根的判别式得$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-5) = 21＞0$，因此该方程有两个不相等的实数根，两个函数图象相交。
用公式法解方程得：$x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$
当$x = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$时，代入$y=2x-1$得$y = 2×\frac{1+\sqrt{21}}{2} -1 = \sqrt{21}$；
当$x = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$时，代入$y=2x-1$得$y = 2×\frac{1-\sqrt{21}}{2} -1 = -\sqrt{21}$。
【答案】
相交，交点坐标为$( \frac{1 + \sqrt{21}}{2},\sqrt{21} )$和$( \frac{1 - \sqrt{21}}{2},-\sqrt{21} )$
【知识点】
函数图象交点与方程组的关系，一元二次方程的解法，根的判别式应用
【点评】
本题是函数交点类基础题型，核心考查转化思想，只要掌握将图象交点问题转化为方程组解的问题的思路，结合一元二次方程的相关知识就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
判断两个函数图象是否相交，本质是判断两个函数解析式联立组成的方程组是否有实数解。解题时先联立两个函数的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，若方程有实数根则说明图象相交，再求解方程得到x的取值，代入一次函数解析式求出对应的y值，就能得到交点坐标。
【解析】
解：联立两个函数解析式，得方程组：
$\begin{cases} y = -x^2 + 3x + 4 \\ y = 2x - 1 \end{cases}$
将$y=2x-1$代入二次函数解析式消去y，得：
$2x - 1 = -x^2 + 3x + 4$
整理得：$x^2 - x - 5 = 0$
由根的判别式得$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-5) = 21＞0$，因此该方程有两个不相等的实数根，两个函数图象相交。
用公式法解方程得：$x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$
当$x = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$时，代入$y=2x-1$得$y = 2×\frac{1+\sqrt{21}}{2} -1 = \sqrt{21}$；
当$x = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$时，代入$y=2x-1$得$y = 2×\frac{1-\sqrt{21}}{2} -1 = -\sqrt{21}$。
【答案】
相交，交点坐标为$( \frac{1 + \sqrt{21}}{2},\sqrt{21} )$和$( \frac{1 - \sqrt{21}}{2},-\sqrt{21} )$
【知识点】
函数图象交点与方程组的关系，一元二次方程的解法，根的判别式应用
【点评】
本题是函数交点类基础题型，核心考查转化思想，只要掌握将图象交点问题转化为方程组解的问题的思路，结合一元二次方程的相关知识就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
