登录
2.【例2】若抛物线 $y = x^2 + 6x + m - 1$ 与x轴有2个交点，求m的取值范围.
答案
2. 解:依题意,得 Δ = b² -4ac = 6² -4 × 1 × (m - 1) ＞ 0.
解得m ＜ 10.
解得m ＜ 10.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的关系：当抛物线与x轴有2个交点时，对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，此时根的判别式Δ=b²-4ac＞0。解题时先从抛物线解析式中提取a、b、c的取值，代入Δ＞0得到关于m的一元一次不等式，再解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵抛物线$y = x^2 + 6x + m - 1$与x轴有2个交点
∴对应的一元二次方程$x^2 + 6x + m - 1 = 0$有两个不相等的实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$b=6$，$c=m-1$，代入得：
$\Delta = 6^2 - 4 × 1 × (m - 1) ＞ 0$
化简计算：
$36 - 4(m-1) ＞ 0$
$36 - 4m + 4 ＞ 0$
$40 - 4m ＞ 0$
移项得$4m ＜ 40$，解得$m ＜ 10$
【答案】
$m ＜ 10$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；根的判别式；一元一次不等式解法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数与一元二次方程的对应关系，只要熟练掌握判别式与交点个数的对应规律，准确代入系数计算，就能快速得出结果，注意解不等式时不要弄错运算符号。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的关系：当抛物线与x轴有2个交点时，对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，此时根的判别式Δ=b²-4ac＞0。解题时先从抛物线解析式中提取a、b、c的取值，代入Δ＞0得到关于m的一元一次不等式，再解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵抛物线$y = x^2 + 6x + m - 1$与x轴有2个交点
∴对应的一元二次方程$x^2 + 6x + m - 1 = 0$有两个不相等的实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$b=6$，$c=m-1$，代入得：
$\Delta = 6^2 - 4 × 1 × (m - 1) ＞ 0$
化简计算：
$36 - 4(m-1) ＞ 0$
$36 - 4m + 4 ＞ 0$
$40 - 4m ＞ 0$
移项得$4m ＜ 40$，解得$m ＜ 10$
【答案】
$m ＜ 10$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；根的判别式；一元一次不等式解法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数与一元二次方程的对应关系，只要熟练掌握判别式与交点个数的对应规律，准确代入系数计算，就能快速得出结果，注意解不等式时不要弄错运算符号。
【难度系数】
0.8
3.若抛物线$y=x^2+4x+m$与x轴有交点，求m的取值范围.
答案
3. 解:依题意,得 Δ = b² -4ac = 4² -4 × 1 · m ≥0.
解得m ≤4.
解得m ≤4.
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的交点情况，可转化为判断该抛物线对应的一元二次方程的实数根情况：抛物线与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，因此根的判别式Δ≥0。首先确定二次函数中a、b、c的取值，再代入判别式列不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2+4x+m$与x轴有交点
∴ 一元二次方程$x^2+4x+m=0$有实数根
根据一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=4$，常数项$c=m$，可得：
$\Delta = 4^2 - 4×1× m ≥ 0$
计算得：$16 - 4m ≥ 0$
移项得：$4m ≤ 16$
两边同时除以4，解得：$m ≤ 4$
【答案】
$m ≤ 4$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数与方程结合的基础题型，解题核心是明确抛物线与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，计算时需准确识别二次函数各项系数，解不等式时注意不等号方向的正确性。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线与x轴的交点情况，可转化为判断该抛物线对应的一元二次方程的实数根情况：抛物线与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，因此根的判别式Δ≥0。首先确定二次函数中a、b、c的取值，再代入判别式列不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2+4x+m$与x轴有交点
∴ 一元二次方程$x^2+4x+m=0$有实数根
根据一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=4$，常数项$c=m$，可得：
$\Delta = 4^2 - 4×1× m ≥ 0$
计算得：$16 - 4m ≥ 0$
移项得：$4m ≤ 16$
两边同时除以4，解得：$m ≤ 4$
【答案】
$m ≤ 4$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数与方程结合的基础题型，解题核心是明确抛物线与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，计算时需准确识别二次函数各项系数，解不等式时注意不等号方向的正确性。
【难度系数】
0.8
4.【例3】若抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-1,0),(2,0)$,则方程 $ax^2+bx+c=0$ 的解为
x₁ = -1,x₂ = 2
.答案
4. x₁ = -1,x₂ = 2
解析
【分析】
解题的核心是掌握二次函数与对应一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。已知抛物线与$x$轴的两个交点坐标，直接提取交点的横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系可知：抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的解。
已知抛物线与$x$轴的交点为$(-1,0)$、$(2,0)$，两个交点的横坐标分别为$-1$和$2$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=-1$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=2$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题是基础考点，主要考查二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程解的对应关系，牢记二者的对应规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题的核心是掌握二次函数与对应一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。已知抛物线与$x$轴的两个交点坐标，直接提取交点的横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系可知：抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的解。
已知抛物线与$x$轴的交点为$(-1,0)$、$(2,0)$，两个交点的横坐标分别为$-1$和$2$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=-1$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=2$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题是基础考点，主要考查二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程解的对应关系，牢记二者的对应规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
5. 若一元二次方程 $ ax^2 + bx = 0 $ 的解为 $ x_1 = -2, x_2 = 0 $，则抛物线 $ y = ax^2 + bx $ 与x轴的交点坐标为
(-2,0),(0,0)
。答案
5. (-2,0),(0,0)
解析
【分析】
解题思路：首先回忆二次函数与x轴交点的性质：抛物线与x轴交点的纵坐标为0，因此求抛物线与x轴的交点横坐标，就是求解当y=0时对应的一元二次方程的根。已知方程$ax^2+bx=0$的两个解为$x_1=-2$、$x_2=0$，直接将这两个解作为横坐标，搭配纵坐标0，就能得到交点坐标。
【解析】
解：当抛物线$ y = ax^2 + bx $与x轴相交时，交点的纵坐标为0，即$y=0$，此时对应一元二次方程$ ax^2 + bx = 0 $。
已知该方程的解为$x_1=-2$，$x_2=0$，即抛物线与x轴交点的横坐标为-2和0，纵坐标均为0，因此交点坐标为$(-2,0)$和$(0,0)$。
【答案】
$(-2,0),(0,0)$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；抛物线与x轴交点坐标
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解一元二次方程的根就是对应抛物线与x轴交点的横坐标，熟练掌握该对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆二次函数与x轴交点的性质：抛物线与x轴交点的纵坐标为0，因此求抛物线与x轴的交点横坐标，就是求解当y=0时对应的一元二次方程的根。已知方程$ax^2+bx=0$的两个解为$x_1=-2$、$x_2=0$，直接将这两个解作为横坐标，搭配纵坐标0，就能得到交点坐标。
【解析】
解：当抛物线$ y = ax^2 + bx $与x轴相交时，交点的纵坐标为0，即$y=0$，此时对应一元二次方程$ ax^2 + bx = 0 $。
已知该方程的解为$x_1=-2$，$x_2=0$，即抛物线与x轴交点的横坐标为-2和0，纵坐标均为0，因此交点坐标为$(-2,0)$和$(0,0)$。
【答案】
$(-2,0),(0,0)$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；抛物线与x轴交点坐标
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解一元二次方程的根就是对应抛物线与x轴交点的横坐标，熟练掌握该对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
1. (2025 哈尔滨)抛物线$y=x^2 -2x +c$与y轴交于点$C(0,-3)$，与x轴交于点A,B，则线段AB长是
4
.答案
1. 4
解析
【分析】
解题思路分三步展开：第一步，利用抛物线与y轴的交点坐标代入解析式，求出未知参数c，确定完整的抛物线解析式；第二步，求抛物线与x轴的交点，即令y=0，解对应的一元二次方程得到两个交点的横坐标；第三步，根据x轴上两点距离的计算规则，求出线段AB的长度。
【解析】
1. 求参数$c$的值：将点$C(0,-3)$代入抛物线解析式$y=x^2 -2x +c$，把$x=0,y=-3$代入得：
$-3=0^2-2×0+c$，解得$c=-3$。
2. 确定抛物线解析式：代入$c=-3$得$y=x^2-2x-3$。
3. 求抛物线与x轴的交点坐标：令$y=0$，解方程$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，即A、B两点坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$。
4. 计算线段AB的长度：x轴上两点的距离为横坐标差的绝对值，因此$AB=|3-(-1)|=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数与一元二次方程的关系；坐标轴两点距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数与坐标轴交点的相关计算，解题关键是先通过已知点求出函数解析式，再结合一元二次方程的解得到x轴交点坐标，即可顺利求出线段长度。
【难度系数】
0.8
解题思路分三步展开：第一步，利用抛物线与y轴的交点坐标代入解析式，求出未知参数c，确定完整的抛物线解析式；第二步，求抛物线与x轴的交点，即令y=0，解对应的一元二次方程得到两个交点的横坐标；第三步，根据x轴上两点距离的计算规则，求出线段AB的长度。
【解析】
1. 求参数$c$的值：将点$C(0,-3)$代入抛物线解析式$y=x^2 -2x +c$，把$x=0,y=-3$代入得：
$-3=0^2-2×0+c$，解得$c=-3$。
2. 确定抛物线解析式：代入$c=-3$得$y=x^2-2x-3$。
3. 求抛物线与x轴的交点坐标：令$y=0$，解方程$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，即A、B两点坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$。
4. 计算线段AB的长度：x轴上两点的距离为横坐标差的绝对值，因此$AB=|3-(-1)|=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数与一元二次方程的关系；坐标轴两点距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数与坐标轴交点的相关计算，解题关键是先通过已知点求出函数解析式，再结合一元二次方程的解得到x轴交点坐标，即可顺利求出线段长度。
【难度系数】
0.8
2. 二次函数$y=ax^2+bx+1$的图象如图所示，则方程$ax^2+bx+1=0$的根的情况是（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案
2. B
解析
【分析】
要判断方程$ax^2+bx+1=0$的根的情况，可利用二次函数与对应一元二次方程的关系求解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，本质是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，因此方程根的个数等于二次函数图象与x轴的交点个数。观察题干给出的$y=ax^2+bx+1$的图象，可知其与x轴有2个不同的交点，据此即可判断方程根的情况。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：二次函数$y=ax^2+bx+1$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+1=0$的根。
由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+1$的图象与x轴有两个不同的交点，因此方程$ax^2+bx+1=0$有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数和一元二次方程的对应关联，解题关键是明确二次函数图象与x轴的交点个数和对应方程根的个数的对应关系，掌握该规律即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
要判断方程$ax^2+bx+1=0$的根的情况，可利用二次函数与对应一元二次方程的关系求解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，本质是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，因此方程根的个数等于二次函数图象与x轴的交点个数。观察题干给出的$y=ax^2+bx+1$的图象，可知其与x轴有2个不同的交点，据此即可判断方程根的情况。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：二次函数$y=ax^2+bx+1$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+1=0$的根。
由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+1$的图象与x轴有两个不同的交点，因此方程$ax^2+bx+1=0$有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数和一元二次方程的对应关联，解题关键是明确二次函数图象与x轴的交点个数和对应方程根的个数的对应关系，掌握该规律即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
3. (1)已知抛物线$y = -2x^2 + x + c$与$x$轴没有交点，求$c$的取值范围.
(2)已知二次函数$y = x^2 - mx + m$的图象与$x$轴只有一个交点，则$m$的值为
(3)(易错题)已知二次函数$y = ax^2 - 2x + 3$的图象与$x$轴有两个交点，则$a$的取值范围为
(2)已知二次函数$y = x^2 - mx + m$的图象与$x$轴只有一个交点，则$m$的值为
0或4
.(3)(易错题)已知二次函数$y = ax^2 - 2x + 3$的图象与$x$轴有两个交点，则$a$的取值范围为
a ＜ 1/3 且 a≠0
.答案
3. (1)解:
∵ 抛物线y = -2x² + x + c与x轴没有交点,
∴ Δ ＜ 0,即1² -4 × (-2) · c ＜ 0. 解得c ＜ -1/8.
(2)0或4 (3)a ＜ 1/3且a≠0
∵ 抛物线y = -2x² + x + c与x轴没有交点,
∴ Δ ＜ 0,即1² -4 × (-2) · c ＜ 0. 解得c ＜ -1/8.
(2)0或4 (3)a ＜ 1/3且a≠0
解析
【分析】
这三道题均考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，解题思路如下：①先明确二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）与x轴交点个数的判定规则：$\Delta =b^2-4ac＞0$时，有2个交点；$\Delta =0$时，有1个交点；$\Delta ＜0$时，无交点。②第(1)题已知无交点，直接列$\Delta ＜0$的不等式求解即可；③第(2)题已知只有1个交点，列$\Delta =0$的方程求解m的值；④第(3)题为易错题，首先要保证函数是二次函数，故二次项系数$a≠0$，再结合有2个交点得$\Delta ＞0$，联立两个条件即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) 解：
∵抛物线$y = -2x^2 + x + c$与x轴没有交点，对应一元二次方程$-2x^2 + x + c=0$无实数根，
∴判别式$\Delta ＜ 0$，代入$a=-2$，$b=1$得：
$\Delta = 1^2 - 4 × (-2) · c ＜ 0$
整理得$1 + 8c ＜ 0$，
解得$c ＜ -\frac{1}{8}$。
(2) 解：
∵二次函数$y = x^2 - mx + m$的图象与x轴只有一个交点，对应一元二次方程$x^2 - mx + m=0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta = 0$，代入$a=1$，$b=-m$，$c=m$得：
$\Delta = (-m)^2 - 4 × 1 · m = 0$
整理得$m^2 - 4m = 0$，因式分解得$m(m-4)=0$，
解得$m=0$或$m=4$。
(3) 解：
∵该函数为二次函数，
∴二次项系数$a ≠ 0$，
又
∵图象与x轴有两个交点，
∴$\Delta ＞ 0$，代入$a=a$，$b=-2$，$c=3$得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × a × 3 ＞ 0$
整理得$4 - 12a ＞ 0$，
解得$a ＜ \frac{1}{3}$，
综上，$a$的取值范围是$a ＜ \frac{1}{3}$且$a ≠ 0$。
【答案】
(1)$c ＜ -\frac{1}{8}$；(2)0或4；(3)$a ＜ \frac{1}{3}$且$a ≠ 0$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义
【点评】
这组题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题核心是熟练掌握交点个数与判别式的对应关系，涉及二次函数的问题要先确认二次项系数不为0，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
这三道题均考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，解题思路如下：①先明确二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）与x轴交点个数的判定规则：$\Delta =b^2-4ac＞0$时，有2个交点；$\Delta =0$时，有1个交点；$\Delta ＜0$时，无交点。②第(1)题已知无交点，直接列$\Delta ＜0$的不等式求解即可；③第(2)题已知只有1个交点，列$\Delta =0$的方程求解m的值；④第(3)题为易错题，首先要保证函数是二次函数，故二次项系数$a≠0$，再结合有2个交点得$\Delta ＞0$，联立两个条件即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) 解：
∵抛物线$y = -2x^2 + x + c$与x轴没有交点，对应一元二次方程$-2x^2 + x + c=0$无实数根，
∴判别式$\Delta ＜ 0$，代入$a=-2$，$b=1$得：
$\Delta = 1^2 - 4 × (-2) · c ＜ 0$
整理得$1 + 8c ＜ 0$，
解得$c ＜ -\frac{1}{8}$。
(2) 解：
∵二次函数$y = x^2 - mx + m$的图象与x轴只有一个交点，对应一元二次方程$x^2 - mx + m=0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta = 0$，代入$a=1$，$b=-m$，$c=m$得：
$\Delta = (-m)^2 - 4 × 1 · m = 0$
整理得$m^2 - 4m = 0$，因式分解得$m(m-4)=0$，
解得$m=0$或$m=4$。
(3) 解：
∵该函数为二次函数，
∴二次项系数$a ≠ 0$，
又
∵图象与x轴有两个交点，
∴$\Delta ＞ 0$，代入$a=a$，$b=-2$，$c=3$得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × a × 3 ＞ 0$
整理得$4 - 12a ＞ 0$，
解得$a ＜ \frac{1}{3}$，
综上，$a$的取值范围是$a ＜ \frac{1}{3}$且$a ≠ 0$。
【答案】
(1)$c ＜ -\frac{1}{8}$；(2)0或4；(3)$a ＜ \frac{1}{3}$且$a ≠ 0$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义
【点评】
这组题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题核心是熟练掌握交点个数与判别式的对应关系，涉及二次函数的问题要先确认二次项系数不为0，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图，抛物线$y = -x^2 + x + 2$与x轴交于点A,B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.
(1)求A,B,C三点的坐标；
(2)若在x轴上方的抛物线上存在点P，满足$S_{△ ABP}=3S_{△ AOC}$，求点P的坐标.
(1)求A,B,C三点的坐标；
(2)若在x轴上方的抛物线上存在点P，满足$S_{△ ABP}=3S_{△ AOC}$，求点P的坐标.
答案
4. 解:(1)令y = 0,则 -x² + x + 2 = 0. 解得x₁ = -1,x₂ = 2.
∵ 点A在点B的左边,
∴ A(-1,0),B(2,0).
令x = 0,则y = 2.
∴ C(0,2).
(2)
∵ A(-1,0),B(2,0),C(0,2),
∴ S△AOC = 1/2 OA · OC = 1/2 × 1 × 2 = 1.
∵ S△ABP = 3S△AOC,
∴ S△ABP = 3.
设P(x, -x² + x + 2).
∴ S△ABP = 1/2 AB · |y_P| = 1/2 × |-1 -2| × |-x² + x + 2| = 3.
∴ |-x² + x + 2| = 2.
∵ 点P在x轴上方的抛物线上,
∴ -x² + x + 2 = 2. 解得x₁ = 0,x₂ = 1.
∴ 点P的坐标为(0,2)或(1,2).
∵ 点A在点B的左边,
∴ A(-1,0),B(2,0).
令x = 0,则y = 2.
∴ C(0,2).
(2)
∵ A(-1,0),B(2,0),C(0,2),
∴ S△AOC = 1/2 OA · OC = 1/2 × 1 × 2 = 1.
∵ S△ABP = 3S△AOC,
∴ S△ABP = 3.
设P(x, -x² + x + 2).
∴ S△ABP = 1/2 AB · |y_P| = 1/2 × |-1 -2| × |-x² + x + 2| = 3.
∴ |-x² + x + 2| = 2.
∵ 点P在x轴上方的抛物线上,
∴ -x² + x + 2 = 2. 解得x₁ = 0,x₂ = 1.
∴ 点P的坐标为(0,2)或(1,2).
解析
【分析】
(1) 求二次函数与坐标轴交点坐标：求x轴交点时令y=0，解一元二次方程得到x的取值，结合点A在点B左侧的条件即可确定A、B的坐标；求y轴交点时令x=0，代入解析式得到的y值即为点C的纵坐标。
(2) 先利用A、C的坐标计算△AOC的面积，结合面积关系得到△ABP的面积；△ABP的底为AB的长度，高为点P的纵坐标（因P在x轴上方，纵坐标为正），据此列方程求解x的值，代入解析式即可得到点P的坐标，注意结合点的位置要求筛选解。
【解析】
(1) 求A、B、C三点坐标：
令$y=0$，代入抛物线解析式得：$-x^2 + x + 2 = 0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=2$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(2,0)$；
令$x=0$，代入解析式得$y=2$，
∴$C(0,2)$。
(2) 求点P的坐标：
由A(-1,0)得$OA=1$，C(0,2)得$OC=2$，
∴$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· OA· OC=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∵$S_{△ ABP}=3S_{△ AOC}$，
∴$S_{△ ABP}=3×1=3$。
AB的长度为$|2 - (-1)|=3$，设点P的坐标为$(x, -x^2 + x + 2)$，
∵点P在x轴上方，
∴$-x^2 + x + 2＞0$，
由三角形面积公式得$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}· AB· y_P$，代入得：
$\frac{1}{2}×3×(-x^2 + x + 2)=3$，
化简得$-x^2 + x + 2=2$，解得$x_1=0$，$x_2=1$，
代入解析式得对应y值均为2，
∴点P的坐标为$(0,2)$或$(1,2)$。
【答案】
(1) $A(-1,0)$，$B(2,0)$，$C(0,2)$；
(2) 点P的坐标为$(0,2)$或$(1,2)$。
【知识点】
二次函数与坐标轴交点，三角形面积计算，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题关键是掌握二次函数与坐标轴交点的求解方法，结合面积公式建立方程求解，注意要根据点的位置限制对结果进行取舍。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数与坐标轴交点坐标：求x轴交点时令y=0，解一元二次方程得到x的取值，结合点A在点B左侧的条件即可确定A、B的坐标；求y轴交点时令x=0，代入解析式得到的y值即为点C的纵坐标。
(2) 先利用A、C的坐标计算△AOC的面积，结合面积关系得到△ABP的面积；△ABP的底为AB的长度，高为点P的纵坐标（因P在x轴上方，纵坐标为正），据此列方程求解x的值，代入解析式即可得到点P的坐标，注意结合点的位置要求筛选解。
【解析】
(1) 求A、B、C三点坐标：
令$y=0$，代入抛物线解析式得：$-x^2 + x + 2 = 0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=2$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(2,0)$；
令$x=0$，代入解析式得$y=2$，
∴$C(0,2)$。
(2) 求点P的坐标：
由A(-1,0)得$OA=1$，C(0,2)得$OC=2$，
∴$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· OA· OC=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∵$S_{△ ABP}=3S_{△ AOC}$，
∴$S_{△ ABP}=3×1=3$。
AB的长度为$|2 - (-1)|=3$，设点P的坐标为$(x, -x^2 + x + 2)$，
∵点P在x轴上方，
∴$-x^2 + x + 2＞0$，
由三角形面积公式得$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}· AB· y_P$，代入得：
$\frac{1}{2}×3×(-x^2 + x + 2)=3$，
化简得$-x^2 + x + 2=2$，解得$x_1=0$，$x_2=1$，
代入解析式得对应y值均为2，
∴点P的坐标为$(0,2)$或$(1,2)$。
【答案】
(1) $A(-1,0)$，$B(2,0)$，$C(0,2)$；
(2) 点P的坐标为$(0,2)$或$(1,2)$。
【知识点】
二次函数与坐标轴交点，三角形面积计算，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题关键是掌握二次函数与坐标轴交点的求解方法，结合面积公式建立方程求解，注意要根据点的位置限制对结果进行取舍。
【难度系数】
0.7
