5.【例3】小亮在利用二次函数的图象求方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0,a,b,c为常数)$的一个解的范围时，为精确到0.01，进行了下面的试算，由此确定这个解的范围是（）


A.$3.25 ＜ x ＜ 3.26$
B.$3.24 ＜ x ＜ 3.25$
C.$3.23 ＜ x ＜ 3.24$
D.$3 ＜ x ＜ 3.23$

5. B

【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，需明确方程的解与对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的关系：方程的解就是二次函数函数值为0时对应的x值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当x取两个值时，若对应的函数值一正一负，则这两个x值之间必然存在一个x使得函数值为0，也就是方程的一个解。接下来观察表格中不同x对应的函数值，找到函数值从负变正的区间即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：方程$ax^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的x的取值。
观察表格数据可得：
当$x=3.24$时，$ax^2+bx+c=-0.02＜0$；
当$x=3.25$时，$ax^2+bx+c=0.03＞0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$3.24＜x＜3.25$这个区间内，必然存在一个x使得$ax^2+bx+c=0$，即方程的一个解的范围是$3.24＜x＜3.25$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.一元二次方程近似解估算
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值变化估算一元二次方程近似解的方法，解题核心是掌握二次函数图象连续的特性，函数值正负切换的区间内一定存在使函数值为0的点，即对应方程的根，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

6. 下表是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值，则方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的近似值可能是（）


A.1.09
B.1.35
C.1.19
D.1.25

6. C

【分析】
要解决这个问题，首先要明确二次函数与一元二次方程的关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的自变量$x$的值，也就是二次函数图像与$x$轴交点的横坐标。我们可以通过观察表格中$y$值的正负变化，确定$y=0$时$x$的取值范围，再结合选项判断符合条件的近似根。
首先看表格数据：当$x=1.1$时，$y=-0.49＜0$；当$x=1.2$时，$y=0.04＞0$，说明二次函数在$1.1＜x＜1.2$这个区间内穿过$x$轴，也就是方程的一个根在$(1.1,1.2)$之间，接下来只需判断哪个选项在这个区间内即可。
【解析】
解：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与$x$轴交点的横坐标是方程$ax^2+bx+c=0$的根，即当$y=0$时$x$的取值为方程的根。
观察表格可得：
当$x=1.1$时，$y=-0.49＜0$；
当$x=1.2$时，$y=0.04＞0$；
根据二次函数的连续性，可知在$1.1＜x＜1.2$的范围内存在一个$x$使得$y=0$，即方程的一个根在区间$(1.1,1.2)$内。
逐一分析选项：
A. $1.09＜1.1$，不在区间内，不符合；
B. $1.35＞1.2$，不在区间内，不符合；
C. $1.1＜1.19＜1.2$，在区间内，符合；
D. $1.25＞1.2$，不在区间内，不符合。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题解题核心是理解二次函数的函数值符号变化与对应一元二次方程根的关系，只需找到函数值由负变正（或正变负）对应的自变量区间，即可锁定根的取值范围，再结合选项筛选就能快速得到答案，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7

1. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示.
(1) 抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为;
(2) $ax^2+bx+c＜0$的解集为;
(3) 当时,$y$随$x$的增大而减小.

1. (1) (4,0) (2) -2 ＜ x ＜ 4 (3) x ＜ 1

【分析】
首先观察图象可获取三个关键信息：抛物线开口向上、对称轴为直线$x=1$、与$x$轴的一个交点为$(-2,0)$。
(1) 求另一个x轴交点：根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，两点到对称轴的距离相等，由此可计算另一个交点坐标；
(2) 求$ax^2+bx+c＜0$的解集：不等式的几何意义是二次函数图象位于x轴下方时对应的x取值范围，结合两个交点的横坐标即可写出解集；
(3) 求y随x增大而减小的区间：开口向上的抛物线，在对称轴左侧y随x的增大而减小，结合对称轴即可得到对应区间。
【解析】
(1) 已知抛物线对称轴为直线$x=1$，其中一个与x轴的交点为$(-2,0)$，两点关于对称轴对称，设另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{-2+x}{2}=1$，解得$x=4$，因此另一个交点坐标为$(4,0)$；
(2) $ax^2+bx+c＜0$对应抛物线在x轴下方的部分，结合两个交点坐标$(-2,0)$和$(4,0)$，可得解集为$-2＜x＜4$；
(3) 抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴为$x=1$，因此当$x＜1$时，y随x的增大而减小。
【答案】
(1) $(4,0)$；(2) $-2＜x＜4$；(3) $x＜1$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，结合图象读取关键信息，再利用二次函数的基本性质即可快速求解，熟练掌握二次函数的对称性、增减性以及与不等式的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2. 如图，点$A(2.18, -0.51)$，$B(2.68, 0.54)$在二次函数$y = ax^2 + bx + c(a≠0)$的图象上，则方程$ax^2 + bx + c = 0$的一个根的近似值可能是（）

A.$2.18$
B.$2.68$
C.$-0.51$
D.$2.45$

2. D

【分析】
解题时首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。观察题目给出的两个点的坐标：点A的纵坐标为负，说明x=2.18时函数值小于0；点B的纵坐标为正，说明x=2.68时函数值大于0。由于二次函数图象是连续的曲线，因此两点之间的图象必然穿过x轴，也就是方程的一个根在2.18和2.68之间，最后判断选项中落在该区间的数值即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。
已知当$x=2.18$时，$y=-0.51＜0$；当$x=2.68$时，$y=0.54＞0$。
因为二次函数图象是连续的曲线，所以在$2.18＜x＜2.68$的范围内，函数图象必然与x轴有一个交点，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根在2.18和2.68之间。
观察选项，只有2.45落在这个区间内，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数图象性质；近似根估算
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数与对应一元二次方程的关联，解题的关键是理解函数值正负变化对应图象穿过x轴的规律，掌握该知识点就能快速判断根的取值范围。
【难度系数】
0.7

3. 已知一次函数 $ y_1 = kx + m $ 和二次函数 $ y_2 = ax^2 + bx + c $ 的图象如图，它们有两个交点 $ A(2,2) $，$ B(4,3) $，则使 $ y_1 ＞ y_2 $ 的自变量 $ x $ 的取值范围是。

3. x ＜ 2 或 x ＞ 4

【分析】
要解决使$y_1＞y_2$的自变量$x$的取值范围问题，首先明确$y_1＞y_2$的几何意义：在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象位于二次函数图象上方的区域，对应的$x$的取值就是所求范围。首先找到两个函数的交点横坐标为2和4，这两个点是$y_1=y_2$的分界点，接下来观察图象，判断分界点两侧两个函数图象的上下位置即可得到结果。
【解析】
$y_1＞y_2$对应一次函数图象在二次函数图象上方的部分：
已知两个函数交于$A(2,2)$、$B(4,3)$，即$x=2$和$x=4$时$y_1=y_2$；
观察图象可得：
当$x＜2$时，直线在抛物线上方，满足$y_1＞y_2$；
当$2＜x＜4$时，抛物线在直线上方，满足$y_2＞y_1$；
当$x＞4$时，直线在抛物线上方，满足$y_1＞y_2$；
因此使$y_1＞y_2$的自变量$x$的取值范围是$x＜2$或$x＞4$。
【答案】
$x＜2$ 或 $x＞4$
【知识点】
一次函数的图象；二次函数的图象；函数值大小比较
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题的核心是理解函数值的大小关系对应图象的上下位置关系，无需复杂计算，通过读图即可得到答案，重点考察对函数图象的识别能力。
【难度系数】
0.8

4. 如图，若抛物线$y=ax^2+bx$与直线$y=mx+n$交于$A(3,p)$，$O(0,0)$两点，则不等式$ax^2 - mx + bx ＜ n$的解集是。

4. 0 ＜ x ＜ 3

【分析】
要解该不等式，首先对不等式做变形处理，将其转化为两个函数值比较大小的形式。原不等式$ax^2 - mx + bx ＜ n$移项后可得$ax^2+bx ＜ mx +n$，左边对应抛物线$y=ax^2+bx$的函数值，右边对应直线$y=mx+n$的函数值，因此不等式的解集就是抛物线函数值小于直线函数值时对应的$x$取值范围。再结合两个函数的交点坐标$O(0,0)$、$A(3,p)$，观察图像判断抛物线在直线下方的区间，即可得到解集。
【解析】
1. 移项变形不等式：
将$ax^2 - mx + bx ＜ n$整理得$ax^2+bx ＜ mx +n$。
2. 转化为函数值大小比较：
该不等式表示抛物线$y=ax^2+bx$的函数值小于直线$y=mx+n$的函数值时自变量$x$的取值范围。
3. 结合图像判断范围：
已知两函数交点为$(0,0)$和$(3,p)$，观察图像可得，当$0＜x＜3$时，抛物线位于直线下方，满足$ax^2+bx ＜ mx +n$。
【答案】
$0＜x＜3$
【知识点】
函数与不等式的关系、二次函数图像性质、一次函数图像性质
【点评】
本题考查利用数形结合思想求解不等式的方法，解题核心是将不等式转化为两个函数图像的上下位置关系判断，结合交点坐标就能快速得出结果，能很好地考查学生对函数图像的理解能力。
【难度系数】
0.7

5.若二次函数$y=ax^2+bx+c(a＜0)$的图象经过点$(2,0)$，且其对称轴为$x=-1$，则使函数值$y＞0$成立的$x$的取值范围是.

5. -4 ＜ x ＜ 2

【分析】
解题时先明确二次函数的图像特征：a＜0时抛物线开口向下，y＞0对应的是图像在x轴上方的部分，即两个x轴交点之间的x取值范围。首先利用二次函数的对称性，结合已知的交点坐标和对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再结合开口方向即可确定y＞0的x范围。
【解析】
解：
∵二次函数的对称轴为直线$x=-1$，且图象经过点$(2,0)$，
设抛物线与x轴的另一个交点横坐标为$x$，
根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，可得：
$\frac{2+x}{2}=-1$，
解得$x=-4$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(-4,0)$。
又
∵$a＜0$，
∴抛物线开口向下，
∴函数图象在x轴上方（即$y＞0$）时，对应的x的取值范围是两个交点之间的区间，
即$-4 ＜ x ＜ 2$。
【答案】
$-4 ＜ x ＜ 2$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象性质；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的常考基础题型，解题核心是利用对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点，再结合开口方向判断函数值大于0的取值范围，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

6.（几何直观）如图，这是二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象，则不等式$ax^2 + bx + c ＜ 3$的解集是（）


A.$x ＜ 0$
B.$x ＜ -1$或$x ＞ 3$
C.$0 ＜ x ＜ 2$
D.$x ＜ 0$或$x ＞ 2$

6. D

【分析】
要解不等式$ax^2 + bx + c ＜ 3$，可转化为求二次函数图象位于直线$y=3$下方时对应的$x$的取值范围。首先从图象提取信息：抛物线与$y$轴交于点$(0,3)$，对称轴为直线$x=1$，且开口向下。接下来利用抛物线的对称性，找到函数值等于3的另一个交点坐标，最后结合开口方向判断$y＜3$时$x$的范围即可。
【解析】
1. 观察图象可得：二次函数图象过点$(0,3)$，即当$x=0$时，$y=3$；抛物线对称轴为直线$x=1$，且抛物线开口向下。
2. 根据抛物线的对称性，点$(0,3)$关于对称轴$x=1$的对称点横坐标为$2×1 - 0=2$，即当$x=2$时，$y=3$。
3. 不等式$ax^2 + bx + c ＜ 3$即函数值$y＜3$，结合开口向下的抛物线图象，$y＜3$时图象在直线$y=3$下方，对应的$x$的取值范围是$x＜0$或$x＞2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，抛物线的对称性
【点评】
本题是二次函数与不等式的结合题型，解题核心是利用数形结合思想，结合抛物线的对称性找到函数值等于3的两个自变量取值，再根据开口方向判断不等式的解集，难度不大。
【难度系数】
0.7