1.【例1】用总长为60 m的篱笆围成一矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.
(1)矩形另一边长为m(用含l的代数式表示,下同),S与l的函数关系式为,其中自变量l的取值范围是.
(2)场地面积S有无最大值?若有最大值,请求出S的最大值;若没有最大值,请说明理由.
2.(人教九上$P_{51}$例2改编)如图,小亮父亲想用长为80 m的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD,已知房屋外墙长50 m,设矩形ABCD的边AB = x m,面积为S m².
(1)写出S与x之间的关系式,并指出x的取值范围.
(2)当AB,BC分别为多少米时,羊圈的面积最大?最大面积是多少?

1. (1) 30-l，S = -l² + 30l，0 ＜ l ＜ 30
(2) 有最大值.
∵ S = -l² + 30l,且0 ＜ l ＜ 30,
∴ 当l = -b/(2a) = -30/(2×(-1)) = 15 时,S有最大值,S最大 = (4ac - b²)/(4a) = (4×(-1)×0 - 30²)/(4×(-1)) = 225.
∴ 当l为15 m时,场地面积有最大值,为225 m².
2. (1)
∵ AB = CD = x m,
∴ BC = (80 - 2x)m.
∵ AB ＞ 0,0 ＜ BC ≤50,
∴ $\begin{cases} x＞0, \\ 0 ＜ 80 - 2x ≤ 50 \end{cases}$ 解得15 ≤x ＜ 40.
∴ S = x(80 - 2x) = -2x² + 80x(15 ≤x ＜ 40).
(2) S = -2(x² - 40x + 400 - 400) = -2(x - 20)² + 800.
∵ 15 ≤x ＜ 40,-2 ＜ 0,
∴ 当x = 20时,S有最大值,为800.
∴ 当AB = 20 m,BC = 40 m时,羊圈的面积最大,最大面积是800 m².

【分析】
这两道题均为二次函数解决实际面积最值的典型题，解题思路如下：①先根据篱笆/栅栏总长度，结合矩形边长关系，用已知边长表示出另一边长；②根据矩形面积公式写出面积关于边长的函数关系式，再结合边长为正、靠墙问题需额外考虑墙长限制，确定自变量的取值范围；③最后根据二次函数的开口方向，结合自变量取值范围，利用二次函数顶点性质求出面积的最大值。
【解析】
第1题
(1) 矩形周长为60m，一边长为$l$，因此另一边长为$\frac{60}{2}-l=30-l$；
矩形面积$S=l×(30-l)=-l^2+30l$；
边长为正数，因此$\begin{cases}l＞0 \\ 30-l＞0\end{cases}$，解得$0＜l＜30$。
(2) 有最大值，理由如下：
二次函数$S=-l^2+30l$中$a=-1＜0$，图象开口向下，顶点处取得最大值，且顶点横坐标$l=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-1)}=15$，在$0＜l＜30$范围内；
代入顶点纵坐标公式得最大值$S_{最大}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×0-30^2}{4×(-1)}=225$，即$l=15m$时，面积最大为$225m^2$。
第2题
(1) 由题意得，$AB=CD=x\ \mathrm{m}$，栅栏总长80m，因此$BC=(80-2x)\ \mathrm{m}$；
结合实际限制：边长为正，且$BC$不超过墙长50m，因此$\begin{cases}x＞0 \\ 0＜80-2x≤50\end{cases}$，解得$15≤ x＜40$；
面积$S=AB× BC=x(80-2x)=-2x^2+80x$，即$S=-2x^2+80x(15≤ x＜40)$。
(2) 将函数配方得：$S=-2x^2+80x=-2(x^2-40x+400-400)=-2(x-20)^2+800$；
$a=-2＜0$，图象开口向下，顶点横坐标$x=20$在$15≤ x＜40$范围内，因此当$x=20$时，$S$取最大值800；
此时$AB=20m$，$BC=80-2×20=40m$，最大面积为$800m^2$。
【答案】
1. (1) $30-l$，$S=-l^2+30l$，$0＜l＜30$
(2) 有最大值，当$l$为$15\ \mathrm{m}$时，场地面积最大，最大值为$225\ \mathrm{m}^2$
2. (1) $S=-2x^2+80x(15≤ x＜40)$
(2) 当$AB=20\ \mathrm{m}$，$BC=40\ \mathrm{m}$时，羊圈面积最大，最大面积是$800\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值计算，自变量取值范围确定
【点评】
这两道题是面积类二次函数实际问题的常考题型，解题关键是先根据几何关系建立正确的二次函数模型，靠墙类问题需格外注意墙长对边长的限制，准确确定自变量取值范围后，再结合二次函数的性质求解最值，避免忽略实际条件导致错误。
【难度系数】
0.7

3.【例2】如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=12\ \mathrm{cm}$,$BC=24\ \mathrm{cm}$,动点$P$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度从点$A$向点$B$移动(不与点$B$重合),动点$Q$以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度从点$B$向点$C$移动(不与点$C$重合).若点$P$,$Q$同时出发,试问经过几秒后,四边形$APQC$的面积最小? 并求出最小值.

3. 解:设点P,Q运动的时间为t s,四边形APQC的面积为S cm².
由题可知,AP = 2t cm,BQ = 4t cm,0 ＜ t ＜ 6.
∵ AB = 12 cm,BC = 24 cm,
∴ BP = (12 - 2t)cm.
∴ S = S△ABC - S△PBQ = $\frac{1}{2}$ ×12×24 - $\frac{1}{2}$ ×4t · (12 - 2t) = 4(t - 3)² + 108.
∴ 当t = 3时,S最小 = 108.
答:经过3 s后,四边形APQC的面积最小,最小值为108 cm².

【分析】
要计算不规则四边形APQC的面积最小值，直接求解难度较高，因此采用割补法转化为规则图形面积的差求解：首先设运动时间为t，结合动点的移动速度表示出△PBQ的两条直角边长度，同时根据点P、Q的移动限制确定t的取值范围；再用△ABC的总面积减去△PBQ的面积得到四边形面积关于t的函数表达式，该表达式为二次函数，最后结合二次函数的性质和t的取值范围即可求出面积的最小值。
【解析】
解：设点P、Q运动的时间为$ t\ \mathrm{s} $，四边形$ APQC $的面积为$ S\ \mathrm{cm^2} $。
由题意可知：$ AP = 2t\ \mathrm{cm} $，$ BQ = 4t\ \mathrm{cm} $，且P不与B重合、Q不与C重合，因此$ 0 ＜ t ＜ 6 $。
已知$ AB=12\ \mathrm{cm} $，则$ BP = AB - AP = (12 - 2t)\ \mathrm{cm} $。
根据面积关系可得：
$\begin{aligned}S &= S_{△ ABC} - S_{△ PBQ} \\&= \frac{1}{2} × 12 × 24 - \frac{1}{2} × 4t · (12 - 2t) \\&= 144 - 24t + 4t^2 \\&= 4(t - 3)^2 + 108\end{aligned}$
由于二次项系数$ 4＞0 $，抛物线开口向上，且$ t=3 $在$ 0 ＜ t ＜ 6 $的取值范围内，因此当$ t=3 $时，$ S $取得最小值，最小值为$ 108\ \mathrm{cm^2} $。
【答案】
经过3 s后，四边形APQC的面积最小，最小值为$\boxed{108\ \mathrm{cm^2}}$
【知识点】
二次函数最值，割补法求面积，动点问题
【点评】
本题是二次函数解决几何最值的典型题型，核心思路是将不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，建立函数模型后结合函数性质求解，解题时要注意动点的运动限制，保证所求的最值符合实际情况。
【难度系数】
0.7