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4. 如图,一张正方形纸板ABCD的边长为10 cm,将它割去四个全等的直角三角形(图中阴影部分),留下一个正方形.设AF = x cm,正方形EFGH的面积为y cm².当x为何值时,正方形EFGH的面积达到最小?
答案
4. 解:由题意,得AF = BE = CH = DG = x cm.
在正方形ABCD中,AB = BC = CD = DA = 10 cm,
则BF = CE = DH = AG = (10 - x)cm.
∴ y = x² + (10 - x)² = 2x² - 20x + 100 = 2(x - 5)² + 50.
∵ 2 ＞ 0,0 ＜ x ＜ 10,
∴ 当x = 5时,正方形EFGH的面积达到最小.
在正方形ABCD中,AB = BC = CD = DA = 10 cm,
则BF = CE = DH = AG = (10 - x)cm.
∴ y = x² + (10 - x)² = 2x² - 20x + 100 = 2(x - 5)² + 50.
∵ 2 ＞ 0,0 ＜ x ＜ 10,
∴ 当x = 5时,正方形EFGH的面积达到最小.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先结合几何关系建立面积关于x的函数表达式，再利用二次函数的性质求最小值：第一步，根据四个割去的直角三角形全等，推出各直角边的长度；第二步，利用勾股定理得到中间正方形边长的平方（即面积）的表达式；第三步，将得到的二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，即可找到面积最小时对应的x值。
【解析】
由题意得，割去的四个直角三角形全等，因此$AF=BE=CH=DG=x\ \mathrm{cm}$。
∵正方形$ABCD$的边长为$10\ \mathrm{cm}$，
∴$BF=CE=DH=AG=(10-x)\ \mathrm{cm}$。
正方形$EFGH$的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理，其面积$y$为：
$\begin{aligned}y&=x^2+(10-x)^2\\&=x^2+100-20x+x^2\\&=2x^2-20x+100\\&=2(x-5)^2+50\end{aligned}$
∵二次项系数$2＞0$，抛物线开口向上，且$0＜x＜10$，顶点横坐标$x=5$在自变量取值范围内，
∴当$x=5$时，$y$取得最小值。
【答案】当$x=5$时，正方形EFGH的面积达到最小。
【知识点】
二次函数最值应用，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何与函数结合的基础应用题，解题关键是正确根据几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，验证最值点是否符合要求。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要先结合几何关系建立面积关于x的函数表达式，再利用二次函数的性质求最小值：第一步，根据四个割去的直角三角形全等，推出各直角边的长度；第二步，利用勾股定理得到中间正方形边长的平方（即面积）的表达式；第三步，将得到的二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，即可找到面积最小时对应的x值。
【解析】
由题意得，割去的四个直角三角形全等，因此$AF=BE=CH=DG=x\ \mathrm{cm}$。
∵正方形$ABCD$的边长为$10\ \mathrm{cm}$，
∴$BF=CE=DH=AG=(10-x)\ \mathrm{cm}$。
正方形$EFGH$的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理，其面积$y$为：
$\begin{aligned}y&=x^2+(10-x)^2\\&=x^2+100-20x+x^2\\&=2x^2-20x+100\\&=2(x-5)^2+50\end{aligned}$
∵二次项系数$2＞0$，抛物线开口向上，且$0＜x＜10$，顶点横坐标$x=5$在自变量取值范围内，
∴当$x=5$时，$y$取得最小值。
【答案】当$x=5$时，正方形EFGH的面积达到最小。
【知识点】
二次函数最值应用，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何与函数结合的基础应用题，解题关键是正确根据几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，验证最值点是否符合要求。
【难度系数】
0.7
1. 用12 cm长的绳子围成一个矩形，设其一边长为x cm，面积为y cm²，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是（
A.$y = -x^2 + 6x(3 ＜ x ＜ 6)$
B.$y = -x^2 + 6x(0 ＜ x ＜ 6)$
C.$y = -x^2 + 12x(6 ＜ x ＜ 12)$
D.$y = -x^2 + 12x(0 ＜ x ＜ 12)$
B
）A.$y = -x^2 + 6x(3 ＜ x ＜ 6)$
B.$y = -x^2 + 6x(0 ＜ x ＜ 6)$
C.$y = -x^2 + 12x(6 ＜ x ＜ 12)$
D.$y = -x^2 + 12x(0 ＜ x ＜ 12)$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先利用矩形周长公式求出已知边的邻边长度，再根据矩形面积公式列出函数关系式，最后结合实际问题中边长为正数的要求，求出自变量x的取值范围，对应选项选出正确答案即可。
【解析】
已知矩形周长为12 cm，一边长为x cm：
1. 求矩形的另一边长：矩形周长=2×(长+宽)，因此另一边长为 $\frac{12}{2} - x = (6 - x)$ cm；
2. 列面积函数关系式：矩形面积=长×宽，因此 $y = x(6 - x) = -x^2 + 6x$；
3. 求自变量取值范围：矩形边长为正数，因此满足 $\begin{cases}x ＞ 0 \\ 6 - x ＞ 0\end{cases}$，解得 $0 ＜ x ＜ 6$。
综上，函数关系式为$y = -x^2 + 6x$，自变量取值范围是$0 ＜ x ＜ 6$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
矩形周长与面积计算，二次函数实际应用，自变量取值范围确定
【点评】
本题属于二次函数与几何结合的基础应用题，核心是熟练掌握矩形的周长、面积公式，同时注意实际问题中自变量的取值必须符合现实意义，避免只看函数式忽略实际限制导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时先利用矩形周长公式求出已知边的邻边长度，再根据矩形面积公式列出函数关系式，最后结合实际问题中边长为正数的要求，求出自变量x的取值范围，对应选项选出正确答案即可。
【解析】
已知矩形周长为12 cm，一边长为x cm：
1. 求矩形的另一边长：矩形周长=2×(长+宽)，因此另一边长为 $\frac{12}{2} - x = (6 - x)$ cm；
2. 列面积函数关系式：矩形面积=长×宽，因此 $y = x(6 - x) = -x^2 + 6x$；
3. 求自变量取值范围：矩形边长为正数，因此满足 $\begin{cases}x ＞ 0 \\ 6 - x ＞ 0\end{cases}$，解得 $0 ＜ x ＜ 6$。
综上，函数关系式为$y = -x^2 + 6x$，自变量取值范围是$0 ＜ x ＜ 6$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
矩形周长与面积计算，二次函数实际应用，自变量取值范围确定
【点评】
本题属于二次函数与几何结合的基础应用题，核心是熟练掌握矩形的周长、面积公式，同时注意实际问题中自变量的取值必须符合现实意义，避免只看函数式忽略实际限制导致出错。
【难度系数】
0.8
2. 一根铝合金型材长为6 m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD（如图），如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？
答案
2. 解:设AD 为 x m,面积为 y m²,则宽 AB 为$\frac{6-2x}{3}$ m.
$\therefore y = \frac{6 - 2x}{3} · x = -\frac{2}{3}x^2 + 2x = -\frac{2}{3}(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2}$
$(0 ＜ x ＜ 3).$
$\because 0 ＜ x ＜ 3, -\frac{2}{3} ＜ 0,$
$\therefore 当 x = \frac{3}{2}时,y 有最大值. \therefore \frac{6 - 2 × \frac{3}{2}}{3} = 1.$
答:AB,AD分别为1 m,$\frac{3}{2}$ m时,窗户的面积最大.
$\therefore y = \frac{6 - 2x}{3} · x = -\frac{2}{3}x^2 + 2x = -\frac{2}{3}(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2}$
$(0 ＜ x ＜ 3).$
$\because 0 ＜ x ＜ 3, -\frac{2}{3} ＜ 0,$
$\therefore 当 x = \frac{3}{2}时,y 有最大值. \therefore \frac{6 - 2 × \frac{3}{2}}{3} = 1.$
答:AB,AD分别为1 m,$\frac{3}{2}$ m时,窗户的面积最大.
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求解实际问题最值的题目，解题思路如下：第一步，设其中一条边AD为自变量x，结合“日”字形框架总长为6m的条件，推导另一条边AB与x的数量关系，用含x的代数式表示AB；第二步，根据矩形面积公式，写出面积y关于x的函数解析式，整理为二次函数形式；第三步，结合二次函数的性质，因二次项系数小于0，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，同时结合边长为正的实际要求确定自变量的取值范围，最终求出最值对应的两条边长即可。
【解析】
解：设AD的长度为$x$ m，窗户的面积为$y$ m²。
观察“日”字形框架可得，框架包含2条AD边、3条AB边，总长度为6m，因此AB的长度为$\frac{6-2x}{3}$ m。
根据矩形面积公式列式：
$y = x · \frac{6-2x}{3} = -\frac{2}{3}x^2 + 2x$
将函数配方得：$y = -\frac{2}{3}(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2}$
结合实际边长为正的要求，可得$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 3$。
∵二次项系数$-\frac{2}{3} ＜ 0$，抛物线开口向下，
∴当$x = \frac{3}{2}$时，$y$取得最大值，此时$AB = \frac{6 - 2 × \frac{3}{2}}{3} = 1$（m）。
【答案】
当AB为1 m，AD为$\frac{3}{2}$ m时，窗户的面积最大。
【知识点】
1. 二次函数的应用 2. 二次函数的最值 3. 矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的常见题型，解题核心是根据周长的等量关系建立面积关于边长的二次函数模型，再结合二次函数的性质求解，解题时需注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求解实际问题最值的题目，解题思路如下：第一步，设其中一条边AD为自变量x，结合“日”字形框架总长为6m的条件，推导另一条边AB与x的数量关系，用含x的代数式表示AB；第二步，根据矩形面积公式，写出面积y关于x的函数解析式，整理为二次函数形式；第三步，结合二次函数的性质，因二次项系数小于0，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，同时结合边长为正的实际要求确定自变量的取值范围，最终求出最值对应的两条边长即可。
【解析】
解：设AD的长度为$x$ m，窗户的面积为$y$ m²。
观察“日”字形框架可得，框架包含2条AD边、3条AB边，总长度为6m，因此AB的长度为$\frac{6-2x}{3}$ m。
根据矩形面积公式列式：
$y = x · \frac{6-2x}{3} = -\frac{2}{3}x^2 + 2x$
将函数配方得：$y = -\frac{2}{3}(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2}$
结合实际边长为正的要求，可得$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 3$。
∵二次项系数$-\frac{2}{3} ＜ 0$，抛物线开口向下，
∴当$x = \frac{3}{2}$时，$y$取得最大值，此时$AB = \frac{6 - 2 × \frac{3}{2}}{3} = 1$（m）。
【答案】
当AB为1 m，AD为$\frac{3}{2}$ m时，窗户的面积最大。
【知识点】
1. 二次函数的应用 2. 二次函数的最值 3. 矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的常见题型，解题核心是根据周长的等量关系建立面积关于边长的二次函数模型，再结合二次函数的性质求解，解题时需注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.7
3. 如图,四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,AC + BD = 12,当AC=
6
,BD=6
时,四边形ABCD的面积最大,面积为18
. 答案
3. 6 6 18
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆对角线互相垂直的四边形的面积计算方法：面积等于两条对角线乘积的一半。已知AC与BD的和为12，我们可以设AC的长度为自变量，将四边形面积表示为关于该自变量的二次函数，再利用二次函数求最值的方法，就能得到面积最大时对应的AC、BD长度和最大面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD的对角线$AC⊥ BD$，
∴ 四边形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}AC· BD$。
设$AC=x$，由$AC+BD=12$可得$BD=12-x$（$0＜x＜12$），代入面积公式得：
$S=\frac{1}{2}x(12-x)=-\frac{1}{2}x^2+6x$
该二次函数中$a=-\frac{1}{2}＜0$，函数图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-\frac{1}{2})}=6$时，S取得最大值。
此时$AC=6$，$BD=12-6=6$，最大面积$S=\frac{1}{2}×6×6=18$。
【答案】
6；6；18
【知识点】
对角线垂直四边形面积计算；二次函数最值应用
【点评】
本题是几何与代数的综合基础题，既考查了对角线垂直的特殊四边形的面积计算方法，也考查了二次函数求最值的应用，需要学生能将几何问题转化为函数问题求解，锻炼知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆对角线互相垂直的四边形的面积计算方法：面积等于两条对角线乘积的一半。已知AC与BD的和为12，我们可以设AC的长度为自变量，将四边形面积表示为关于该自变量的二次函数，再利用二次函数求最值的方法，就能得到面积最大时对应的AC、BD长度和最大面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD的对角线$AC⊥ BD$，
∴ 四边形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}AC· BD$。
设$AC=x$，由$AC+BD=12$可得$BD=12-x$（$0＜x＜12$），代入面积公式得：
$S=\frac{1}{2}x(12-x)=-\frac{1}{2}x^2+6x$
该二次函数中$a=-\frac{1}{2}＜0$，函数图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-\frac{1}{2})}=6$时，S取得最大值。
此时$AC=6$，$BD=12-6=6$，最大面积$S=\frac{1}{2}×6×6=18$。
【答案】
6；6；18
【知识点】
对角线垂直四边形面积计算；二次函数最值应用
【点评】
本题是几何与代数的综合基础题，既考查了对角线垂直的特殊四边形的面积计算方法，也考查了二次函数求最值的应用，需要学生能将几何问题转化为函数问题求解，锻炼知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4. (人教九上$\mathrm{P}_{55}$习题$\mathrm{T}_{6}$)一块三角形材料如图所示，$∠ A=30°$，$∠ C=90°$，$AB=12\ \mathrm{cm}$. 用这块材料剪出一个矩形$CDEF$，其中，点$D,E,F$分别在$BC,AB,AC$上. 要使剪出的矩形$CDEF$的面积最大，点$E$应选在何处？
答案
4. 解:设$AE = x$ cm.
$\because$ 四边形$CDEF$是矩形,$\therefore ∠ AFE = 90°.$
又$∠ A = 30°,$
$\therefore EF = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}x$ cm,$AF = \sqrt{AE^2 - EF^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ cm.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$∠ A = 30°$,$AB = 12$ cm,
$\therefore BC = \frac{1}{2}AB = 6$ cm.
由勾股定理,得$AC = \sqrt{12^2 - 6^2} = 6\sqrt{3} (\mathrm{cm}).$
$\therefore CF = AC - AF = (6\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x)\mathrm{cm}.$
$\therefore S_{\mathrm{矩形}CDEF} = CF · EF = (6\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x) · \frac{1}{2}x = -\frac{\sqrt{3}}{4}(x-6)^2 + 9\sqrt{3}.$
$\because 0 ＜ x ＜ 12, -\frac{\sqrt{3}}{4} ＜ 0,$
$\therefore$ 当$x = 6$时,矩形$CDEF$的面积最大,即当点$E$为$AB$的中点时,矩形$CDEF$的面积最大.
$\because$ 四边形$CDEF$是矩形,$\therefore ∠ AFE = 90°.$
又$∠ A = 30°,$
$\therefore EF = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}x$ cm,$AF = \sqrt{AE^2 - EF^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ cm.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$∠ A = 30°$,$AB = 12$ cm,
$\therefore BC = \frac{1}{2}AB = 6$ cm.
由勾股定理,得$AC = \sqrt{12^2 - 6^2} = 6\sqrt{3} (\mathrm{cm}).$
$\therefore CF = AC - AF = (6\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x)\mathrm{cm}.$
$\therefore S_{\mathrm{矩形}CDEF} = CF · EF = (6\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x) · \frac{1}{2}x = -\frac{\sqrt{3}}{4}(x-6)^2 + 9\sqrt{3}.$
$\because 0 ＜ x ＜ 12, -\frac{\sqrt{3}}{4} ＜ 0,$
$\therefore$ 当$x = 6$时,矩形$CDEF$的面积最大,即当点$E$为$AB$的中点时,矩形$CDEF$的面积最大.
解析
【分析】
本题是几何最值问题，可通过建立二次函数模型求解：首先选取合适的自变量（设AE长为x），利用含30°角的直角三角形的性质表示出矩形的边EF；再求出Rt△ABC的各边长，进而表示出矩形的另一条边CF；然后根据矩形面积公式得到面积关于x的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求出面积最大时x的值，即可确定点E的位置。
【解析】
设$AE = x$ cm.
$\because$ 四边形$CDEF$是矩形，$\therefore ∠ AFE = ∠ C = 90°$.
又$\because ∠ A = 30°$，
$\therefore EF = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}x$ cm，由勾股定理得$AF = \sqrt{AE^2 - EF^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ cm.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ A = 30°$，$AB=12$ cm，
$\therefore BC = \frac{1}{2}AB = 6$ cm，
由勾股定理得$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = 6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
$\therefore CF = AC - AF = (6\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x)\mathrm{cm}$.
矩形$CDEF$的面积：
$S = CF · EF = (6\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x) · \frac{1}{2}x = -\frac{\sqrt{3}}{4}(x-6)^2 + 9\sqrt{3}$
$\because 0 ＜ x ＜ 12$，且二次项系数$-\frac{\sqrt{3}}{4} ＜ 0$，
$\therefore$ 当$x=6$时，$S$取得最大值，此时$AE=6\ \mathrm{cm}$，即点E为AB的中点。
【答案】
当点E为AB的中点时，剪出的矩形CDEF的面积最大。
【知识点】
直角三角形的性质；二次函数的最值；矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题型，将几何图形的边长关系转化为二次函数关系，利用二次函数的性质求解最值，解题时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.6
本题是几何最值问题，可通过建立二次函数模型求解：首先选取合适的自变量（设AE长为x），利用含30°角的直角三角形的性质表示出矩形的边EF；再求出Rt△ABC的各边长，进而表示出矩形的另一条边CF；然后根据矩形面积公式得到面积关于x的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求出面积最大时x的值，即可确定点E的位置。
【解析】
设$AE = x$ cm.
$\because$ 四边形$CDEF$是矩形，$\therefore ∠ AFE = ∠ C = 90°$.
又$\because ∠ A = 30°$，
$\therefore EF = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}x$ cm，由勾股定理得$AF = \sqrt{AE^2 - EF^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ cm.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ A = 30°$，$AB=12$ cm，
$\therefore BC = \frac{1}{2}AB = 6$ cm，
由勾股定理得$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = 6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
$\therefore CF = AC - AF = (6\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x)\mathrm{cm}$.
矩形$CDEF$的面积：
$S = CF · EF = (6\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x) · \frac{1}{2}x = -\frac{\sqrt{3}}{4}(x-6)^2 + 9\sqrt{3}$
$\because 0 ＜ x ＜ 12$，且二次项系数$-\frac{\sqrt{3}}{4} ＜ 0$，
$\therefore$ 当$x=6$时，$S$取得最大值，此时$AE=6\ \mathrm{cm}$，即点E为AB的中点。
【答案】
当点E为AB的中点时，剪出的矩形CDEF的面积最大。
【知识点】
直角三角形的性质；二次函数的最值；矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题型，将几何图形的边长关系转化为二次函数关系，利用二次函数的性质求解最值，解题时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.6
