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1.【例1】某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出$(100 - x)$件,设销售这种商品每天的利润为$y$元.
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式.
(2)当销售单价定为多少元时,每天的利润最大?最大利润是多少?
2.(济宁中考改编)某商场以每件80元的价格购进一种商品,在一段时间内,销售量$y$(单位:件)与销售单价$x$(单位:元/件)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求这段时间内$y$与$x$之间的函数关系式.
(2)在这段时间内,若销售单价不低于100元,且不高于116元,当销售单价为多少时,商场获得利润最大?最大利润是多少?
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式.
(2)当销售单价定为多少元时,每天的利润最大?最大利润是多少?
2.(济宁中考改编)某商场以每件80元的价格购进一种商品,在一段时间内,销售量$y$(单位:件)与销售单价$x$(单位:元/件)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求这段时间内$y$与$x$之间的函数关系式.
(2)在这段时间内,若销售单价不低于100元,且不高于116元,当销售单价为多少时,商场获得利润最大?最大利润是多少?
答案
1. 解:(1)根据题意,得$y=(x-30)(100-x) = -x^2 + 130x - 3000$.
(2)$y = -x^2 + 130x - 3000 = -(x-65)^2 + 1225$.
∵ $-1＜0$,
∴ 当$x=65$时,$y$有最大值,为1225.
∴ 当销售单价定为65元时,每天的利润最大,最大利润是1225元.
2. 解:(1)设这段时间内$y$与$x$之间的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$.
∵ 由图象可知,函数的图象经过$(100,300)$,$(120,200)$,
∴ 可得$\begin{cases}100k + b = 300,\\120k + b = 200.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -5,\\b = 800.\end{cases}$
∴ 这段时间内$y$与$x$之间的函数关系式为$y = -5x + 800$.
(2)由题意知$100≤x≤116$.
设获得利润为$z$,则$z = (-5x + 800)x - (-5x + 800)×80 = -5x^2 + 1200x - 64000$.
∴ 对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1200}{2×(-5)} = 120$.
∵ $-5＜0$,即二次函数的图象开口向下,$x$的取值范围是$100≤x≤116$,
∴ 在$100≤x≤116$范围内,$z$随着$x$的增大而增大.
∴ 当$x=116$时,$z$有最大值,
此时$z = -5×116^2 + 1200×116 - 64000 = 7920$.
∴ 当销售单价为116元时,商场获得利润最大,最大利润是7920元.
(2)$y = -x^2 + 130x - 3000 = -(x-65)^2 + 1225$.
∵ $-1＜0$,
∴ 当$x=65$时,$y$有最大值,为1225.
∴ 当销售单价定为65元时,每天的利润最大,最大利润是1225元.
2. 解:(1)设这段时间内$y$与$x$之间的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$.
∵ 由图象可知,函数的图象经过$(100,300)$,$(120,200)$,
∴ 可得$\begin{cases}100k + b = 300,\\120k + b = 200.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -5,\\b = 800.\end{cases}$
∴ 这段时间内$y$与$x$之间的函数关系式为$y = -5x + 800$.
(2)由题意知$100≤x≤116$.
设获得利润为$z$,则$z = (-5x + 800)x - (-5x + 800)×80 = -5x^2 + 1200x - 64000$.
∴ 对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1200}{2×(-5)} = 120$.
∵ $-5＜0$,即二次函数的图象开口向下,$x$的取值范围是$100≤x≤116$,
∴ 在$100≤x≤116$范围内,$z$随着$x$的增大而增大.
∴ 当$x=116$时,$z$有最大值,
此时$z = -5×116^2 + 1200×116 - 64000 = 7920$.
∴ 当销售单价为116元时,商场获得利润最大,最大利润是7920元.
解析
【分析】
第1题解题思路
1. 第一小问依据“总利润=单件利润×销售数量”的核心公式推导：单件利润为售价减进价即$(x-30)$元，已知销售量为$(100-x)$件，代入公式整理即可得到函数关系式。
2. 第二小问属于二次函数求最值问题：二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，通过配方法或顶点公式计算顶点坐标，即可得到对应定价和最大利润。
第2题解题思路
1. 第一小问已知$y$与$x$为一次函数关系，图象给出两个已知点坐标，用待定系数法设$y=kx+b$，代入两点坐标解二元一次方程组即可求出解析式。
2. 第二小问先根据利润公式列出总利润关于售价$x$的二次函数，求出对称轴后，结合题目限定的$x$取值范围和二次函数的增减性，判断最大值的取值位置，代入计算即可。
【解析】
第1题
(1) 由总利润计算公式可得：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(100-x)\\&=-x^2+130x-3000\end{aligned}$
(2) 将函数配方变形：
$y=-(x-65)^2+1225$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x=65$时，$y$取最大值1225。
第2题
(1) 设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(100,300)$、$(120,200)$代入得：
$\begin{cases}100k+b=300\\120k+b=200\end{cases}$
两式相减得$20k=-100$，解得$k=-5$，代入第一个方程得$b=800$，因此$y=-5x+800$。
(2) 设总利润为$z$元，由题意得$100≤ x≤116$，根据利润公式：
$\begin{aligned}z&=(x-80)(-5x+800)\\&=-5x^2+1200x-64000\end{aligned}$
函数对称轴为$x=-\frac{1200}{2×(-5)}=120$，
$\because$ 二次项系数$-5＜0$，开口向下，$x＜120$时$z$随$x$增大而增大，且$116＜120$，
$\therefore$ 当$x=116$时$z$取最大值，代入得$z=-5×116^2+1200×116-64000=7920$。
【答案】
1. (1) $\boldsymbol{y=-x^2+130x-3000}$
(2) 销售单价定为65元时每天利润最大，最大利润为1225元。
2. (1) $\boldsymbol{y=-5x+800}$
(2) 销售单价为116元时商场获得利润最大，最大利润为7920元。
【知识点】
销售利润计算，待定系数法，二次函数最值
【点评】
这两道题是销售类函数应用的典型题型，解题关键是理清数量关系正确列出函数解析式，求最值时要注意结合自变量的实际取值范围和二次函数的性质判断最值位置，避免忽略范围直接取顶点导致错误。
【难度系数】
0.7
第1题解题思路
1. 第一小问依据“总利润=单件利润×销售数量”的核心公式推导：单件利润为售价减进价即$(x-30)$元，已知销售量为$(100-x)$件，代入公式整理即可得到函数关系式。
2. 第二小问属于二次函数求最值问题：二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，通过配方法或顶点公式计算顶点坐标，即可得到对应定价和最大利润。
第2题解题思路
1. 第一小问已知$y$与$x$为一次函数关系，图象给出两个已知点坐标，用待定系数法设$y=kx+b$，代入两点坐标解二元一次方程组即可求出解析式。
2. 第二小问先根据利润公式列出总利润关于售价$x$的二次函数，求出对称轴后，结合题目限定的$x$取值范围和二次函数的增减性，判断最大值的取值位置，代入计算即可。
【解析】
第1题
(1) 由总利润计算公式可得：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(100-x)\\&=-x^2+130x-3000\end{aligned}$
(2) 将函数配方变形：
$y=-(x-65)^2+1225$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x=65$时，$y$取最大值1225。
第2题
(1) 设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(100,300)$、$(120,200)$代入得：
$\begin{cases}100k+b=300\\120k+b=200\end{cases}$
两式相减得$20k=-100$，解得$k=-5$，代入第一个方程得$b=800$，因此$y=-5x+800$。
(2) 设总利润为$z$元，由题意得$100≤ x≤116$，根据利润公式：
$\begin{aligned}z&=(x-80)(-5x+800)\\&=-5x^2+1200x-64000\end{aligned}$
函数对称轴为$x=-\frac{1200}{2×(-5)}=120$，
$\because$ 二次项系数$-5＜0$，开口向下，$x＜120$时$z$随$x$增大而增大，且$116＜120$，
$\therefore$ 当$x=116$时$z$取最大值，代入得$z=-5×116^2+1200×116-64000=7920$。
【答案】
1. (1) $\boldsymbol{y=-x^2+130x-3000}$
(2) 销售单价定为65元时每天利润最大，最大利润为1225元。
2. (1) $\boldsymbol{y=-5x+800}$
(2) 销售单价为116元时商场获得利润最大，最大利润为7920元。
【知识点】
销售利润计算，待定系数法，二次函数最值
【点评】
这两道题是销售类函数应用的典型题型，解题关键是理清数量关系正确列出函数解析式，求最值时要注意结合自变量的实际取值范围和二次函数的性质判断最值位置，避免忽略范围直接取顶点导致错误。
【难度系数】
0.7
3.【例2】(人教九上$P_{52}$探究1改编)某商场在销售中发现:某款运动鞋平均每天可售出20双,每双盈利40元.为了迎接奥运会,商场决定扩大销量,减少库存.如果每双降价1元,那么每天可多售出2双.
(1)如果想要平均每天销售盈利1200元,那么每双运动鞋应降价多少元?
(2)当降价多少元时,可获得最大利润?最大利润是多少?
(1)如果想要平均每天销售盈利1200元,那么每双运动鞋应降价多少元?
(2)当降价多少元时,可获得最大利润?最大利润是多少?
答案
3. 解:(1)设每双运动鞋应降价$x$元.
根据题意,得$(40-x)(20+2x) = 1200$.
解得$x_1=20$,$x_2=10$.
∵ 要扩大销量,减少库存,
∴ 每双运动鞋应降价20元.
(2)设每天该款运动鞋的销售利润为$y$元,
则$y=(40-x)(20+2x) = -2x^2 + 60x + 800 = -2(x-15)^2 + 1250$.
∵ $-2＜0$,
∴ 当降价15元时,可获得最大利润,最大利润为1250元.
根据题意,得$(40-x)(20+2x) = 1200$.
解得$x_1=20$,$x_2=10$.
∵ 要扩大销量,减少库存,
∴ 每双运动鞋应降价20元.
(2)设每天该款运动鞋的销售利润为$y$元,
则$y=(40-x)(20+2x) = -2x^2 + 60x + 800 = -2(x-15)^2 + 1250$.
∵ $-2＜0$,
∴ 当降价15元时,可获得最大利润,最大利润为1250元.
解析
【分析】
(1) 本题为销售类一元二次方程应用问题，核心等量关系为“单双利润×总销售量=总盈利”。首先设每双降价x元，降价后单双利润为(40-x)元，每降价1元多售2双，因此降价x元后总销售量为(20+2x)双，代入等量关系列方程求解即可。最后结合“扩大销量、减少库存”的要求，降价越多销量越高，需选择数值更大的解。
(2) 求最大利润属于二次函数最值问题，先将总利润y表示为关于降价x的二次函数，再通过配方转化为顶点式，结合二次项系数的符号判断开口方向，开口向下时顶点纵坐标即为最大利润，横坐标为对应的降价金额。
【解析】
(1) 设每双运动鞋应降价$x$元。
根据总盈利的等量关系列方程：
$(40-x)(20+2x) = 1200$
整理得$x^2-30x+200=0$，解得$x_1=20$，$x_2=10$。
∵ 要扩大销量，减少库存，降价越高销量越大，
∴ 舍去$x=10$，每双运动鞋应降价20元。
(2) 设每天该款运动鞋的销售利润为$y$元，可得利润表达式：
$y=(40-x)(20+2x)$
展开并配方得：
$y = -2x^2 + 60x + 800 = -2(x-15)^2 + 1250$
∵ 二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$x=15$时，$y$取得最大值1250元，即降价15元时获得最大利润。
【答案】
(1) 每双运动鞋应降价20元；
(2) 当降价15元时，可获得最大利润，最大利润为1250元。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数应用，二次函数最值
【点评】
本题是销售类实际问题的典型题型，既考查了一元二次方程的实际应用，也考查了二次函数的最值求解，解题时需注意结合题目的实际限制条件对方程的根进行合理取舍，配方求二次函数最值是解题的核心技能。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为销售类一元二次方程应用问题，核心等量关系为“单双利润×总销售量=总盈利”。首先设每双降价x元，降价后单双利润为(40-x)元，每降价1元多售2双，因此降价x元后总销售量为(20+2x)双，代入等量关系列方程求解即可。最后结合“扩大销量、减少库存”的要求，降价越多销量越高，需选择数值更大的解。
(2) 求最大利润属于二次函数最值问题，先将总利润y表示为关于降价x的二次函数，再通过配方转化为顶点式，结合二次项系数的符号判断开口方向，开口向下时顶点纵坐标即为最大利润，横坐标为对应的降价金额。
【解析】
(1) 设每双运动鞋应降价$x$元。
根据总盈利的等量关系列方程：
$(40-x)(20+2x) = 1200$
整理得$x^2-30x+200=0$，解得$x_1=20$，$x_2=10$。
∵ 要扩大销量，减少库存，降价越高销量越大，
∴ 舍去$x=10$，每双运动鞋应降价20元。
(2) 设每天该款运动鞋的销售利润为$y$元，可得利润表达式：
$y=(40-x)(20+2x)$
展开并配方得：
$y = -2x^2 + 60x + 800 = -2(x-15)^2 + 1250$
∵ 二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$x=15$时，$y$取得最大值1250元，即降价15元时获得最大利润。
【答案】
(1) 每双运动鞋应降价20元；
(2) 当降价15元时，可获得最大利润，最大利润为1250元。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数应用，二次函数最值
【点评】
本题是销售类实际问题的典型题型，既考查了一元二次方程的实际应用，也考查了二次函数的最值求解，解题时需注意结合题目的实际限制条件对方程的根进行合理取舍，配方求二次函数最值是解题的核心技能。
【难度系数】
0.7
