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坡度、坡角的概念
(1)坡度:从坡脚一点A上坡走到点B时，升高的高度h与水平前进的距离l的比叫作坡度，用字母i表示，即i=
(2)坡角:山坡与地平面的夹角叫作坡角，记作α，坡度等于坡角的正切，即i=$\frac{h}{l}$=
(1)坡度:从坡脚一点A上坡走到点B时，升高的高度h与水平前进的距离l的比叫作坡度，用字母i表示，即i=
$\frac{h}{l}$
(坡度通常写成1:m的形式).(2)坡角:山坡与地平面的夹角叫作坡角，记作α，坡度等于坡角的正切，即i=$\frac{h}{l}$=
$\tan α$
.答案
(1) $\frac{h}{l}$ (2) $\tan α$
解析
【分析】
本题考查坡度和坡角的基础概念，解题思路如下：①解决第(1)问时，直接对照题干给出的坡度定义，提取升高高度h和水平距离l的比值即可；②解决第(2)问时，先明确坡角α是坡面与水平面的夹角，将坡面、水平面、铅垂线构造为直角三角形，h是角α的对边，l是角α的邻边，结合锐角正切的定义即可得到坡度与坡角正切的对应关系。
【解析】
(1) 根据题干中坡度的定义：坡度是升高的高度h与水平前进的距离l的比，因此可得$i=\frac{h}{l}$；
(2) 坡角α是坡面与地平面的夹角，由坡面、地平面、过坡顶的铅垂线可构成直角三角形，其中h是坡角α的对边，l是坡角α的邻边，根据正切的定义：$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{h}{l}$，因此$i=\frac{h}{l}=\tanα$。
【答案】
(1) $\frac{h}{l}$；(2) $\tan α$
【知识点】
坡度的概念，坡角的概念，正切的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对坡度、坡角定义的掌握，以及坡度和坡角正切值的对应关系，牢记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查坡度和坡角的基础概念，解题思路如下：①解决第(1)问时，直接对照题干给出的坡度定义，提取升高高度h和水平距离l的比值即可；②解决第(2)问时，先明确坡角α是坡面与水平面的夹角，将坡面、水平面、铅垂线构造为直角三角形，h是角α的对边，l是角α的邻边，结合锐角正切的定义即可得到坡度与坡角正切的对应关系。
【解析】
(1) 根据题干中坡度的定义：坡度是升高的高度h与水平前进的距离l的比，因此可得$i=\frac{h}{l}$；
(2) 坡角α是坡面与地平面的夹角，由坡面、地平面、过坡顶的铅垂线可构成直角三角形，其中h是坡角α的对边，l是坡角α的邻边，根据正切的定义：$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{h}{l}$，因此$i=\frac{h}{l}=\tanα$。
【答案】
(1) $\frac{h}{l}$；(2) $\tan α$
【知识点】
坡度的概念，坡角的概念，正切的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对坡度、坡角定义的掌握，以及坡度和坡角正切值的对应关系，牢记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
【例1】如图，已知沿江堤坝的横断面是梯形ABCD，坝高$AE=6\ \mathrm{m}$，斜坡AB的坡度$i=1:2$，$∠ C=60°$，求AB和CD的长。
答案
过点D作$DF ⊥ BC$于点F，
由题意,得 $DF=AE=6\ \mathrm{m}$.
$\because$ 斜坡 $AB$ 的坡度 $i=1:2$,
$\therefore AE: BE=1: 2,\therefore BE=12\ \mathrm{m}$,
$\therefore AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}(\mathrm{m})$.
$\because ∠ C=60°,\therefore CD=\dfrac{DF}{\sin 60°}=6× \dfrac{2\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}(\mathrm{m})$.
$\therefore$ 斜坡 $AB,CD$ 的长分别是 $6\sqrt{5}\ \mathrm{m},4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
本题是梯形背景下的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：首先，梯形问题通常通过作高转化为矩形和直角三角形求解，我们已经有高AE⊥BC，因此过点D作DF⊥BC，可得DF=AE=6m；其次，斜坡AB的坡度是垂直高度与水平宽度的比，即AE:BE=1:2，结合AE的长度可求出BE的长，再利用勾股定理在Rt△ABE中算出AB的长度；最后，在Rt△DFC中，已知∠C=60°和对边DF的长度，利用正弦三角函数即可求出CD的长度。
【解析】
过点D作$DF ⊥ BC$于点F，
由题意,得 $DF=AE=6\ \mathrm{m}$.
$\because$ 斜坡 $AB$ 的坡度 $i=1:2$,
$\therefore AE: BE=1: 2,\therefore BE=12\ \mathrm{m}$,
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}(\mathrm{m})$.
$\because ∠ C=60°$,在$\mathrm{Rt}△ DFC$中，$\sin C=\frac{DF}{CD}$,
$\therefore CD=\dfrac{DF}{\sin 60°}=6× \dfrac{2\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}(\mathrm{m})$.
【答案】
斜坡 $AB,CD$ 的长分别是 $6\sqrt{5}\ \mathrm{m},4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
1. 梯形的性质
2. 坡度的定义
3. 解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，核心是通过作梯形的高将梯形问题转化为直角三角形和矩形问题，考查了对坡度概念的理解，以及勾股定理、锐角三角函数的灵活运用，解题时注意坡度是垂直高度与水平宽度的比值，不要混淆比值顺序。
【难度系数】
0.7
本题是梯形背景下的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：首先，梯形问题通常通过作高转化为矩形和直角三角形求解，我们已经有高AE⊥BC，因此过点D作DF⊥BC，可得DF=AE=6m；其次，斜坡AB的坡度是垂直高度与水平宽度的比，即AE:BE=1:2，结合AE的长度可求出BE的长，再利用勾股定理在Rt△ABE中算出AB的长度；最后，在Rt△DFC中，已知∠C=60°和对边DF的长度，利用正弦三角函数即可求出CD的长度。
【解析】
过点D作$DF ⊥ BC$于点F，
由题意,得 $DF=AE=6\ \mathrm{m}$.
$\because$ 斜坡 $AB$ 的坡度 $i=1:2$,
$\therefore AE: BE=1: 2,\therefore BE=12\ \mathrm{m}$,
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}(\mathrm{m})$.
$\because ∠ C=60°$,在$\mathrm{Rt}△ DFC$中，$\sin C=\frac{DF}{CD}$,
$\therefore CD=\dfrac{DF}{\sin 60°}=6× \dfrac{2\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}(\mathrm{m})$.
【答案】
斜坡 $AB,CD$ 的长分别是 $6\sqrt{5}\ \mathrm{m},4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
1. 梯形的性质
2. 坡度的定义
3. 解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，核心是通过作梯形的高将梯形问题转化为直角三角形和矩形问题，考查了对坡度概念的理解，以及勾股定理、锐角三角函数的灵活运用，解题时注意坡度是垂直高度与水平宽度的比值，不要混淆比值顺序。
【难度系数】
0.7
【变式】如图,一勘测人员从山脚B点出发,沿坡度为1:3的坡面BD行至D点处时,他的垂直高度上升了15 m;然后再从D点处沿坡角为$45°$的坡面DA,以20 m/min的速度到达山顶A点时,用了10 min.
(1)求D点到B点之间的水平距离;
(2)求山顶A点处的垂直高度AC(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414$,结果保留整数).
(1)求D点到B点之间的水平距离;
(2)求山顶A点处的垂直高度AC(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414$,结果保留整数).
答案
解:(1)如图,过点 $D$ 作 $DF ⊥ BC$,由题意,得 $DF=15\ \mathrm{m}$,
$\because$ 坡面 $BD$ 的坡度为 $1: 3$,
$\therefore \dfrac{DF}{BF}=\dfrac{1}{3},\therefore BF=3DF=45(\mathrm{m})$.
即 $D$ 点到 $B$ 点之间的水平距离为 $45\ \mathrm{m}$.
(2)如图,过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$,则四边形 $DFCE$ 为矩形,
$\therefore CE=DF=15\ \mathrm{m}$,
根据题意,得 $AD=20× 10=200(\mathrm{m}),∠ ADE=45°$,
$\therefore AE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AD=100\sqrt{2}\approx141.4(\mathrm{m})$,
$\therefore AC=AE+CE\approx156(\mathrm{m})$.
答:山顶 $A$ 点处的垂直高度 $AC$ 约为 $156\mathrm{m}$.
解析
【分析】
本题考查解直角三角形在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 求解D到B的水平距离：坡度是坡面垂直高度与水平宽度的比值，因此过D作DF⊥BC，已知垂直上升高度即DF=15m，结合BD的坡度1:3，即可直接计算出水平距离BF的长度。
2. 求解山顶A的垂直高度AC：过D作DE⊥AC，可得四边形DFCE是矩形，因此CE=DF=15m；先根据速度和时间计算出AD的长度，再结合坡角45°，在等腰直角三角形ADE中计算出AE的长度，最后将AE与CE相加即可得到AC的总高度。
【解析】
(1) 过点$D$作$DF ⊥ BC$于点$F$，由题意可知垂直高度上升了15m，即$DF=15\ \mathrm{m}$。
$\because$ 坡面$BD$的坡度为$1:3$，即坡面垂直高度与水平宽度的比为$\dfrac{DF}{BF}=\dfrac{1}{3}$，
$\therefore BF=3DF=3×15=45\ \mathrm{m}$，即D点到B点的水平距离为45m。
(2) 过点$D$作$DE ⊥ AC$于点$E$，
$\because DE⊥ AC$，$DF⊥ BC$，$∠ C=90°$，
$\therefore$ 四边形$DFCE$是矩形，$\therefore CE=DF=15\ \mathrm{m}$。
由题意可知，从D到A的速度为20m/min，用时10min，因此$AD=20×10=200\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=45°$，
$\therefore AE=AD·\sin45°=200×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=100\sqrt{2}\approx141.4\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC=AE+CE\approx141.4+15\approx156\ \mathrm{m}$。
【答案】
【知识点】
坡度坡角问题，解直角三角形，矩形的性质
【点评】
本题结合实际勘测场景设计问题，将几何知识与生活实际相结合，解题的核心是通过作合适的辅助线构造直角三角形和矩形，把实际问题中的已知条件转化为几何图形的边长、角度关系，结合坡度定义和特殊角的三角函数值即可完成计算。
【难度系数】
0.7
本题考查解直角三角形在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 求解D到B的水平距离：坡度是坡面垂直高度与水平宽度的比值，因此过D作DF⊥BC，已知垂直上升高度即DF=15m，结合BD的坡度1:3，即可直接计算出水平距离BF的长度。
2. 求解山顶A的垂直高度AC：过D作DE⊥AC，可得四边形DFCE是矩形，因此CE=DF=15m；先根据速度和时间计算出AD的长度，再结合坡角45°，在等腰直角三角形ADE中计算出AE的长度，最后将AE与CE相加即可得到AC的总高度。
【解析】
(1) 过点$D$作$DF ⊥ BC$于点$F$，由题意可知垂直高度上升了15m，即$DF=15\ \mathrm{m}$。
$\because$ 坡面$BD$的坡度为$1:3$，即坡面垂直高度与水平宽度的比为$\dfrac{DF}{BF}=\dfrac{1}{3}$，
$\therefore BF=3DF=3×15=45\ \mathrm{m}$，即D点到B点的水平距离为45m。
(2) 过点$D$作$DE ⊥ AC$于点$E$，
$\because DE⊥ AC$，$DF⊥ BC$，$∠ C=90°$，
$\therefore$ 四边形$DFCE$是矩形，$\therefore CE=DF=15\ \mathrm{m}$。
由题意可知，从D到A的速度为20m/min，用时10min，因此$AD=20×10=200\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=45°$，
$\therefore AE=AD·\sin45°=200×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=100\sqrt{2}\approx141.4\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC=AE+CE\approx141.4+15\approx156\ \mathrm{m}$。
【答案】
【知识点】
坡度坡角问题，解直角三角形，矩形的性质
【点评】
本题结合实际勘测场景设计问题，将几何知识与生活实际相结合，解题的核心是通过作合适的辅助线构造直角三角形和矩形，把实际问题中的已知条件转化为几何图形的边长、角度关系，结合坡度定义和特殊角的三角函数值即可完成计算。
【难度系数】
0.7
【例2】如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏西$45°$方向，距离灯塔100 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏西$37°$方向上的B处.这时，B处距离A处有多远（结果保留整数，参考数据：$\sin53°\approx0.80$，$\cos53°\approx0.60$，$\tan53°\approx1.33$，$\sqrt{2}\approx1.414$）？
答案
解:如图,过点 $P$ 作 $PC ⊥ AB$ 于点 $C$,在 $\mathrm{Rt}△ APC$ 中,$∠ A=∠ APC=45°$,
$\because AP=100\ \mathrm{n\ mile}$,
$\therefore PC=AP· \sin A=100× \dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx71(\mathrm{n\ mile})$,
$\therefore AC=PC\approx71\ \mathrm{n\ mile}$.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ PBC$ 中,$∠ BPC=90°-37°=53°$,
$\therefore \tan ∠ BPC=\dfrac{BC}{PC}=\tan 53°$,
$\therefore BC=PC· \tan 53°\approx71× 1.33\approx94(\mathrm{n\ mile})$,
$\therefore AB=AC+BC\approx71+94=165(\mathrm{n\ mile})$.
答:$B$ 处距离 $A$ 处约 $165\ \mathrm{n\ mile}$.
解析
【分析】
这是一道方位角相关的解直角三角形应用题，解题核心是构造直角三角形，把已知条件和待求线段转化到直角三角形中计算。首先过点P作PC垂直AB于点C，将△ABP拆分为两个直角三角形Rt△APC和Rt△PBC。第一步先在Rt△APC中，已知AP长度和∠A=45°，利用三角函数求出PC和AC的长度；第二步在Rt△PBC中，先求出∠BPC的度数，再利用正切三角函数求出BC的长度；最后待求的AB长度就是AC与BC的和，相加即可得到结果。
【解析】
过点 $P$ 作 $PC ⊥ AB$ 于点 $C$，
在 $\mathrm{Rt}△ APC$ 中，$∠ A=∠ APC=45°$，
$\because AP=100\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore PC=AP· \sin A=100× \dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx71(\mathrm{n\ mile})$，
$\therefore AC=PC\approx71\ \mathrm{n\ mile}$。
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ PBC$ 中，$∠ BPC=90°-37°=53°$，
$\therefore \tan ∠ BPC=\dfrac{BC}{PC}=\tan 53°$，
$\therefore BC=PC· \tan 53°\approx71× 1.33\approx94(\mathrm{n\ mile})$，
$\therefore AB=AC+BC\approx71+94=165(\mathrm{n\ mile})$。
【答案】
答:$B$ 处距离 $A$ 处约 $165\ \mathrm{n\ mile}$。
【知识点】
方位角应用、解直角三角形、锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形在实际方位问题中的典型应用，解题关键是通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形，分别求解线段长度后求和，能够很好地考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，以及对锐角三角函数的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道方位角相关的解直角三角形应用题，解题核心是构造直角三角形，把已知条件和待求线段转化到直角三角形中计算。首先过点P作PC垂直AB于点C，将△ABP拆分为两个直角三角形Rt△APC和Rt△PBC。第一步先在Rt△APC中，已知AP长度和∠A=45°，利用三角函数求出PC和AC的长度；第二步在Rt△PBC中，先求出∠BPC的度数，再利用正切三角函数求出BC的长度；最后待求的AB长度就是AC与BC的和，相加即可得到结果。
【解析】
过点 $P$ 作 $PC ⊥ AB$ 于点 $C$，
在 $\mathrm{Rt}△ APC$ 中，$∠ A=∠ APC=45°$，
$\because AP=100\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore PC=AP· \sin A=100× \dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx71(\mathrm{n\ mile})$，
$\therefore AC=PC\approx71\ \mathrm{n\ mile}$。
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ PBC$ 中，$∠ BPC=90°-37°=53°$，
$\therefore \tan ∠ BPC=\dfrac{BC}{PC}=\tan 53°$，
$\therefore BC=PC· \tan 53°\approx71× 1.33\approx94(\mathrm{n\ mile})$，
$\therefore AB=AC+BC\approx71+94=165(\mathrm{n\ mile})$。
【答案】
答:$B$ 处距离 $A$ 处约 $165\ \mathrm{n\ mile}$。【知识点】
方位角应用、解直角三角形、锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形在实际方位问题中的典型应用，解题关键是通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形，分别求解线段长度后求和，能够很好地考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，以及对锐角三角函数的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
【变式】某路段规定:汽车的最高行驶速度不得超过40 km/h.如图,一辆汽车在该段道路上由西向东行驶,距离路边9 m处有一车速检测仪O,测得该车从北偏西$45°$的A点行驶到北偏东$53°$的B点(点O,A,B在同一水平面内)所用时间为1.5 s.试求该车从A点到B点的平均速度,并说明该车是否超速(参考数据:$\sin53°\approx\frac{4}{5},\cos53°\approx\frac{3}{5},\tan53°\approx\frac{4}{3}$).
答案
解:如图,过点 $O$ 作 $OC ⊥ AB$ 于点 $C$,由题意得,$OC=9\ \mathrm{m}$,
在 $\mathrm{Rt}△ AOC$ 中,$∠ AOC=45°$,
$\therefore ∠ OAC=45°$,
$\therefore AC=OC=9(\mathrm{m})$.
在 $\mathrm{Rt}△ BOC$ 中,$∠ BOC=53°$,
$\therefore BC=OC· \tan ∠ BOC\approx9× \dfrac{4}{3}=12(\mathrm{m})$,
$\therefore AB=AC+BC\approx9+12=21(\mathrm{m}),21÷ 1.5=14(\mathrm{m/s})$,
$14\ \mathrm{m/s}=50.4\ \mathrm{km/h},50.4＞40,\therefore$ 超速了.
答:该车从 $A$ 点到 $B$ 点的平均速度为 $50.4\ \mathrm{km/h}$,该车超速了.
解析
【分析】
要计算汽车从A到B的平均速度，核心是先求出AB的路程，已知行驶时间，因此解题关键是求AB的长度。本题属于方向角类的解直角三角形实际应用题，首先过O作AB的垂线OC，将△OAB拆分为两个直角三角形，已知OC就是O到路边的距离9m，分别在两个直角三角形中利用角度对应的三角函数值求出AC、BC的长度，二者相加得到AB的总长度，再根据“速度=路程÷时间”计算平均速度，最后统一单位后和限速40km/h比较，判断是否超速即可。
【解析】
解：如图，过点 $O$ 作 $OC ⊥ AB$ 于点 $C$，
由题意得，$OC=9\ \mathrm{m}$，
在 $\mathrm{Rt}△ AOC$ 中，$∠ AOC=45°$，
$\therefore ∠ OAC=45°$，
$\therefore AC=OC=9(\mathrm{m})$。
在 $\mathrm{Rt}△ BOC$ 中，$∠ BOC=53°$，
$\therefore BC=OC· \tan ∠ BOC\approx9× \dfrac{4}{3}=12(\mathrm{m})$，
$\therefore AB=AC+BC\approx9+12=21(\mathrm{m})$，
该车的平均速度为 $21÷ 1.5=14(\mathrm{m/s})$，
换算单位得：$14\ \mathrm{m/s}=14×3.6\ \mathrm{km/h}=50.4\ \mathrm{km/h}$，
$\because 50.4＞40$，$\therefore$ 该车超速了。
【答案】
【知识点】
解直角三角形应用，方向角，单位换算
【点评】
本题结合交通测速的生活场景，考查了解直角三角形在实际问题中的应用，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，同时要注意速度单位的换算，避免因单位不统一出现判断错误。
【难度系数】
0.65
要计算汽车从A到B的平均速度，核心是先求出AB的路程，已知行驶时间，因此解题关键是求AB的长度。本题属于方向角类的解直角三角形实际应用题，首先过O作AB的垂线OC，将△OAB拆分为两个直角三角形，已知OC就是O到路边的距离9m，分别在两个直角三角形中利用角度对应的三角函数值求出AC、BC的长度，二者相加得到AB的总长度，再根据“速度=路程÷时间”计算平均速度，最后统一单位后和限速40km/h比较，判断是否超速即可。
【解析】
解：如图，过点 $O$ 作 $OC ⊥ AB$ 于点 $C$，
由题意得，$OC=9\ \mathrm{m}$，
在 $\mathrm{Rt}△ AOC$ 中，$∠ AOC=45°$，
$\therefore ∠ OAC=45°$，
$\therefore AC=OC=9(\mathrm{m})$。
在 $\mathrm{Rt}△ BOC$ 中，$∠ BOC=53°$，
$\therefore BC=OC· \tan ∠ BOC\approx9× \dfrac{4}{3}=12(\mathrm{m})$，
$\therefore AB=AC+BC\approx9+12=21(\mathrm{m})$，
该车的平均速度为 $21÷ 1.5=14(\mathrm{m/s})$，
换算单位得：$14\ \mathrm{m/s}=14×3.6\ \mathrm{km/h}=50.4\ \mathrm{km/h}$，
$\because 50.4＞40$，$\therefore$ 该车超速了。
【答案】
【知识点】
解直角三角形应用，方向角，单位换算
【点评】
本题结合交通测速的生活场景，考查了解直角三角形在实际问题中的应用，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，同时要注意速度单位的换算，避免因单位不统一出现判断错误。
【难度系数】
0.65
