1.某河堤横断面如图所示，河堤BC的高度为4 m，水平距离AC=4$\sqrt{3}$ m，则斜坡AB的坡度是（）


A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$30°$
D.$60°$

1. A

【分析】
解这道题首先要明确考点是坡度的定义，第一步先回忆坡度的概念：坡度是斜坡的垂直高度与水平宽度的比值，属于无量纲的比值，不是角度，因此可以先排除给出角度的C、D选项。接下来找到题目中对应的垂直高度BC和水平距离AC的数值，代入坡度公式计算即可得到结果。
【解析】
根据坡度的定义：斜坡的坡度$i=\frac{\mathrm{垂直高度}}{\mathrm{水平宽度}}$，坡度是比值，不是角度，因此先排除C、D选项。
由题可知，垂直高度$BC=4\ \mathrm{m}$，水平宽度$AC=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，代入公式计算：
$i=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
坡度的概念；解直角三角形的应用
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确理解坡度的定义，区分开坡度和坡角的概念，避免将角度当做坡度、或者搞反垂直高度和水平宽度的比值顺序，直接代入数据计算即可求解。
【难度系数】
0.8

2.如图,一艘轮船航行至O点时,测得某灯塔A位于它的北偏东$40°$方向,且它与灯塔A相距13 n mile,继续沿正东方向航行,航行至点B处时,测得灯塔A恰好在它的正北方向,则AB的距离可表示为 ()

A.$13\cos 40°$ n mile
B.$13\sin 40°$ n mile
C.$\frac{13}{\sin 50°}$ n mile
D.$\frac{13}{\cos 50°}$ n mile

2. A

【分析】
这是一道方向角结合解直角三角形的基础题，解题思路如下：首先根据题意判断△OAB是直角三角形，∠ABO=90°；再结合“灯塔A位于O点北偏东40°”的条件，确定直角三角形中已知角的度数；最后根据锐角三角函数的定义，找到所求边AB与已知斜边OA的关系，即可列式求解。
【解析】
由题意可知：AB⊥OB，即△OAB是直角三角形，∠ABO=90°。
∵ 灯塔A位于O点的北偏东40°方向，且AB与正北方向平行，
∴ ∠OAB=40°（两直线平行，内错角相等）。
在Rt△ABO中，OA=13 n mile，根据余弦的定义：$\cos∠ OAB=\frac{AB}{OA}$，
代入得：$AB=OA·\cos40°=13\cos40°$ n mile。
【答案】
A
【知识点】
方向角的识别，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是结合方向角的定义找准直角三角形中的对应锐角，再根据锐角三角函数的对应关系列式，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7

3. (2025石家庄期末)如图所示,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5 m,那么相邻的两棵树在坡面上的距离AB为 ()


A.$5\cos α$ m
B.$\frac{5}{\cos α}$ m
C.$5\sin α$ m
D.$\frac{5}{\sin α}$ m

3. B

【分析】
首先需要将山坡栽树的实际问题转化为直角三角形数学模型：坡角为α，相邻两树的水平距离5m是α的邻边，要求的坡面距离AB是直角三角形的斜边。回忆锐角三角函数中余弦的定义：直角三角形中一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，我们可以通过该定义建立等式，变形后即可求出AB的长度。
【解析】
过点A作水平线，过点B作水平线的垂线，两线交于点C，得到Rt△ABC，其中∠BAC=α，水平距离AC=5m，AB为坡面距离。
根据余弦函数的定义：
$\cosα = \frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$
将AC=5代入上式得：
$\cosα = \frac{5}{AB}$
变形可得：
$AB = \frac{5}{\cosα}\ \mathrm{m}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查锐角三角函数的应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形模型，结合三角函数定义列式求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

4.如图,方块从4 m高的A处沿斜坡滑到B处.若斜坡的坡度为$i=1:2$,则斜坡AB的水平宽度BC为m.

4. 8

【分析】
首先明确坡度的定义：坡度i是斜坡的铅直高度与水平宽度的比值。本题已知斜坡的铅直高度AC为4m，坡度i=1:2，要求水平宽度BC，只需根据坡度的定义列出比例式，代入已知数值求解即可。
【解析】
解：根据坡度的定义可得：$i=\frac{\mathrm{铅直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\frac{AC}{BC}$
已知$i=1:2$，$AC=4\mathrm{m}$，代入比例式得：
$\frac{4}{BC}=\frac{1}{2}$
解得：$BC=4×2=8(\mathrm{m})$
【答案】
8
【知识点】
坡度的定义；比例计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查对坡度概念的掌握，牢记坡度的计算方法即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8

5.某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由$37°$减至$30°$，已知原楼梯$AB$长$5\ \mathrm{m}$，求调整后的楼梯$BC$会加长多少米（参考数据：$\sin 37° \approx \frac{3}{5}$，$\cos 37° \approx \frac{4}{5}$，$\tan 37° \approx \frac{3}{4}$）。

5. 解:在 $\mathrm{Rt}△ BAD$ 中,$AB=5\ \mathrm{m},∠ BAD=37°$,
则 $BD=AB· \sin ∠ BAD\approx5× \dfrac{3}{5}=3(\mathrm{m})$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$∠ C=30°$,
$\therefore BC=\dfrac{BD}{\sin 30°}\approx3× 2=6(\mathrm{m}),\therefore BC-AB\approx6-5=1(\mathrm{m})$.
答:调整后的楼梯会加长约 $1\ \mathrm{m}$.

【分析】
这是解直角三角形的实际应用问题，解题核心是找到两个直角三角形公共的不变量：楼梯的垂直高度$BD$。第一步先在原楼梯对应的$\mathrm{Rt}△ BAD$中，利用已知的斜边$AB$长度和坡角$37°$，通过正弦三角函数定义求出$BD$的长度；第二步在调整后的楼梯对应的$\mathrm{Rt}△ BCD$中，结合坡角$30°$和已求出的$BD$长度，再次用正弦三角函数定义求出调整后楼梯$BC$的长度；最后计算$BC$与原楼梯$AB$的差值，即可得到楼梯加长的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ BAD$中，$AB=5\ \mathrm{m}$，$∠ BAD=37°$，
根据正弦函数的定义$\sin∠ BAD=\frac{BD}{AB}$，
则$BD=AB·\sin∠ BAD\approx5×\frac{3}{5}=3(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ C=30°$，
根据正弦函数的定义$\sin C=\frac{BD}{BC}$，
$\therefore BC=\frac{BD}{\sin30°}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6(\mathrm{m})$，
$\therefore$楼梯加长的长度为$BC-AB\approx6-5=1(\mathrm{m})$。
【答案】
调整后的楼梯会加长约$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
解直角三角形应用；锐角三角函数定义；特殊角三角函数值
【点评】
本题属于解直角三角形实际应用的基础题型，解题关键是抓住两个直角三角形公共的垂直高度作为中间衔接量，结合已知条件合理选择三角函数列式计算即可，主要考查对三角函数概念的理解和实际运用能力。
【难度系数】
0.8