6.如图,一艘潜艇在海面DF下500 m的A处测得俯角为28°正前方的海底C处有一可疑物,继续在同一深度直线航行1 500 m到B处,测得正前方C处的俯角为45°.求海底C处距离海面DF的深度(结果精确到1 m,参考数据:$\tan 28° \approx 0.53$).

解:如图,过点 C 作 $CE ⊥ AB$,垂足为 E,延长 CE 交 DF 于点 G，
设 $CE=x\ \mathrm{m}$,
$\because ∠ CBE=45°$, $∠ CEB=90°$, $\therefore BE=CE=x\ \mathrm{m}$, $\therefore AE=AB+BE=(1\ 500+x)\ \mathrm{m}$,
在 $△ AEC$ 中,$∠ AEC=90°$, $∠ EAC=28°$,
$\therefore CE=AE · \tan 28°$,即 $x=(1\ 500+x)\tan 28°$,
解得 $x \approx 1\ 691$,
$\because EG=AD=500\ \mathrm{m}$,$\therefore CG=CE+GE \approx 2\ 191(\mathrm{m})$.
答:海底 C 处距离海面 DF 的深度约为 2 191 m.

【分析】
本题是俯角相关的解直角三角形实际应用问题，解题思路如下：首先明确潜艇航行路线AB与海面DF平行，二者距离为500m，要求海底C到海面DF的深度，可通过作辅助线构造直角三角形求解：过点C作CE⊥AB，延长CE交DF于G，则CG为所求深度，其中EG=500m，只需先求出CE的长度即可。观察两个直角三角形：Rt△BCE中∠CBE=45°，是等腰直角三角形，故BE=CE，可设CE=x m，则BE=x m，AE=AB+BE=(1500+x)m；再结合Rt△AEC中∠EAC=28°，利用正切三角函数的定义建立方程求解x，最后将CE与EG相加即可得到最终深度。
【解析】
如图，过点 C 作 $CE ⊥ AB$,垂足为 E,延长 CE 交 DF 于点 G，
设 $CE=x\ \mathrm{m}$,
$\because ∠ CBE=45°$, $∠ CEB=90°$, $\therefore BE=CE=x\ \mathrm{m}$, $\therefore AE=AB+BE=(1\ 500+x)\ \mathrm{m}$,
在 $Rt△ AEC$ 中,$∠ AEC=90°$, $∠ EAC=28°$,
$\therefore \tan28°=\frac{CE}{AE}$，即 $CE=AE · \tan 28°$,
代入得 $x=(1\ 500+x)\tan 28°$,
将$\tan 28° \approx 0.53$代入解得 $x \approx 1\ 691$,
$\because$A、B在海面下500m处，AB与DF平行，$\therefore EG=AD=500\ \mathrm{m}$,
$\therefore CG=CE+GE \approx 1691+500=2191(\mathrm{m})$.
【答案】
解:如图,过点 C 作 $CE ⊥ AB$,垂足为 E,延长 CE 交 DF 于点 G，
设 $CE=x\ \mathrm{m}$,
$\because ∠ CBE=45°$, $∠ CEB=90°$, $\therefore BE=CE=x\ \mathrm{m}$, $\therefore AE=AB+BE=(1\ 500+x)\ \mathrm{m}$,
在 $△ AEC$ 中,$∠ AEC=90°$, $∠ EAC=28°$,
$\therefore CE=AE · \tan 28°$,即 $x=(1\ 500+x)\tan 28°$,
解得 $x \approx 1\ 691$,
$\because EG=AD=500\ \mathrm{m}$,$\therefore CG=CE+GE \approx 2\ 191(\mathrm{m})$.
答:海底 C 处距离海面 DF 的深度约为 2 191 m.
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的常规题型，解题关键是正确作辅助线构造含已知角度的直角三角形，结合三角函数建立方程求解，需注意所求深度为CE与潜艇到海面距离的和，避免漏加固定深度，考查了将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65

7.超速容易造成交通事故,高速公路管理部门在某隧道内的C,E两处安装了测速仪.该段隧道的截面示意图如图所示,图中所有点都在同一平面内,且点A,D,B,F在同一直线上.点C,E到AB的距离分别为CD,EF,且$CD=EF=7\ \mathrm{m},CE=895\ \mathrm{m}$,在C处测得A点的俯角为$30°$,在E处测得B点的俯角为$45°$,一辆小型汽车匀速从点A行驶到点B所用时间为45 s.
(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1 m,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.4,\sqrt{3}\approx1.7$).
(2)若该隧道限速80 km/h,该小型汽车匀速从点A行驶到点B是否超速?通过计算说明理由.

解:(1)$\because$ 点 C,E 到 AB 的距离分别为 CD,EF,
$\therefore CD ⊥ AB$,$EF ⊥ AB$,而 $CE // AB$,$\therefore ∠ DCE=90°$,
$\therefore$ 四边形 DCEF 为矩形, $\therefore DF=CE=895\ \mathrm{m}$.
由题意,可得 $∠ CAD=30°$,$∠ EBF=45°$,$CD=EF=7\ \mathrm{m}$,
$\therefore AD=\frac{CD}{\tan 30°}=7\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,$BF=EF=7\ \mathrm{m}$,
$\therefore AB=AF-BF=AD+DF-BF=7\sqrt{3}+895-7 \approx 7 × 1.7+895-7 \approx 900(\mathrm{m})$.
答:A,B 两点间的距离约为 900 m.
(2)没有超速.理由如下:
$\because$ 该小型汽车匀速从点 A 行驶到点 B 所用时间为 45 s.
$\therefore$ 汽车平均速度为 $\frac{900}{45}=20(\mathrm{m/s})=72(\mathrm{km/h})$.
$\because$ 该隧道限速 80 km/h,而 $72＜80$,
$\therefore$ 该小型汽车匀速从点 A 行驶到点 B 没有超速.

【分析】
解决第(1)问求AB距离时，首先观察图形特征：CD、EF均垂直于AB，CE与AB平行，可判定四边形DCEF为矩形，得到DF=CE=895m，接下来将AB转化为AD+DF-BF，只需求出AD、BF的长度即可：在Rt△ACD中，由C处俯角为30°可得∠CAD=30°，结合CD=7m，利用正切三角函数可求出AD；在Rt△BEF中，由E处俯角为45°可得△BEF为等腰直角三角形，即BF=EF=7m，代入数值计算即可得到AB的长度。
解决第(2)问判断是否超速时，先根据“速度=路程÷时间”求出汽车行驶速度，再将速度单位从m/s换算为km/h，最后和限速80km/h比较大小即可得出结论。
【解析】
(1)
∵点C、E到AB的距离分别为CD、EF，
∴CD⊥AB，EF⊥AB，
又
∵CE//AB，
∴∠DCE=∠CDF=∠DFE=90°，
∴四边形DCEF为矩形，
∴DF=CE=895 m。
由题意得：∠CAD=30°，∠EBF=45°，CD=EF=7 m，
在Rt△ACD中，$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}$，
∴$AD=\frac{CD}{\tan30°}=7\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
在Rt△BEF中，∠EBF=45°，∠EFB=90°，
∴BF=EF=7 m，
∴$AB=AD+DF-BF=7\sqrt{3}+895-7\approx7×1.7+895-7\approx900(\mathrm{m})$。
(2) 该小型汽车没有超速，理由如下：
汽车从A到B的行驶时间为45 s，路程约为900 m，
∴汽车的速度为$\frac{900}{45}=20(\mathrm{m/s})=72(\mathrm{km/h})$，
∵$72＜80$，
∴该小型汽车匀速从点A行驶到点B没有超速。
【答案】
(1) A、B两点之间的距离约为900 m；
(2) 该小型汽车没有超速。
【知识点】
1. 解直角三角形
2. 矩形的性质
3. 速度单位换算
【点评】
本题结合实际交通测速场景考查解直角三角形的实际应用，解题核心是将实际问题中的角度、长度条件转化为几何图形的边角关系，同时需要注意单位的统一换算，题目贴近生活，难度适中。
【难度系数】
0.7