【变式】(2025 广安)随着科技的发展,无人机在实际生活中应用广泛.如图,O,C是同一水平线上的两点,无人机从O点竖直上升到A点,在A点测得C点的俯角为$30°$,A,C两点的距离为24 m.无人机继续竖直上升到B点,在B点测得C点的俯角为$36.9°$.求无人机从A点到B点的上升高度AB(结果精确到0.1 m,点O,A,B,C在同一平面内.参考数据:$\sin 36.9° \approx 0.60$, $\cos 36.9° \approx 0.80$, $\tan 36.9° \approx 0.75$, $\sqrt{3} \approx 1.73$).

解:根据题意得,$∠ AOC=90°$,$∠ ACO=30°$,$∠ BCO=36.9°$,$AC=24\ \mathrm{m}$,
$\therefore AO=\frac{1}{2}AC=12\ \mathrm{m}$,$OC=\sqrt{AC^2-AO^2}=\sqrt{24^2-12^2}=12\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$,
在 $\mathrm{Rt}△ BOC$ 中,$∠ BCO=36.9°$,
$\therefore BO=CO · \tan ∠ BCO=CO · \tan 36.9° \approx 12\sqrt{3} × 0.75=9\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$,
$\therefore AB=BO-AO=9\sqrt{3}-12 \approx 9 × 1.73-12=3.57 \approx 3.6(\mathrm{m})$.
答:无人机从 A 点到 B 点的上升高度 AB 约为 3.6 m.

【分析】
本题是解直角三角形的俯角应用问题，解题思路如下：首先根据俯角的性质，将两个俯角转化为Rt△AOC和Rt△BOC的内角$∠ ACO=30°$、$∠ BCO=36.9°$；两个三角形共享直角边OC，因此先在Rt△AOC中利用30°直角三角形的性质求出AO的长度，再用勾股定理求出公共边OC的长度；接着在Rt△BOC中利用正切函数求出BO的长度；最后AB的长度就是BO与AO的差值，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意可知$∠ AOC=90°$，$∠ ACO=30°$，$∠ BCO=36.9°$，$AC=24\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$∠ ACO=30°$，
$\therefore AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{AC^2-AO^2}=\sqrt{24^2-12^2}=12\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$\tan∠ BCO=\frac{BO}{OC}$，
$\therefore BO=OC·\tan36.9°\approx12\sqrt{3}×0.75=9\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\therefore AB=BO-AO\approx9×1.73-12=3.57\approx3.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
无人机从A点到B点的上升高度AB约为3.6 m。
【知识点】
解直角三角形应用，俯角的概念，锐角三角函数
【点评】
本题是俯角类实际应用的常规题型，解题核心是将实际问题转化为直角三角形模型，借助两个直角三角形的公共边OC作为桥梁求解未知线段，考查学生的数学建模能力和锐角三角函数的运用能力。
【难度系数】
0.7

1. 如图,塔底B与观测点A在同一水平线上.为了测量铁塔的高度,在A处测得塔顶C的仰角为$α$,塔底B与观测点A的距离$AB=80$ m,则铁塔的高BC为 ()

A.$80\sinα$ m
B.$\frac{80}{\tanα}$ m
C.$80\tanα$ m
D.$\frac{80}{\sinα}$ m

1. C

【分析】首先观察图形可确定△ABC是直角三角形，∠B为直角，已知水平距离AB的长度和A处观测塔顶的仰角α，要计算铁塔高度BC，需结合锐角三角函数的定义分析边角关系：仰角α的对边是BC，邻边是AB，刚好对应正切函数的定义，因此可以通过正切公式推导BC的长度。
【解析】由题意可知，△ABC为直角三角形，$∠ ABC=90°$，$∠ BAC=α$，$AB=80\ \mathrm{m}$。
根据锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于其对边与邻边的比值，可得$\tanα=\frac{BC}{AB}$。
将$AB=80\ \mathrm{m}$代入公式变形可得：$BC=AB·\tanα=80\tanα\ \mathrm{m}$。
因此答案选C。
【答案】C
【知识点】锐角正切定义；解直角三角形；仰角问题
【点评】本题属于基础的实际测量类题型，解题核心是在直角三角形中找准已知角对应的对边和邻边，结合三角函数的定义列式计算即可，是三角函数实际应用的常规考查题型。
【难度系数】0.9

2.如图，某梯子长10 m，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知$\sinα=\cosβ=\frac{3}{5}$，则梯子的顶端上升了（）

A.1 m
B.1.5 m
C.2 m
D.2.5 m

2. C

【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用题，解题核心是抓住梯子长度始终为10m这一不变量。首先我们可以在梯子初始放置的直角三角形中，利用正弦的定义算出初始时梯子顶端的高度；再在梯子移动后的直角三角形中，先通过同角三角函数的平方关系算出$\sinβ$的值，再利用正弦定义算出移动后梯子顶端的高度，两个高度的差值就是顶端上升的距离。
【解析】
设墙面与水平地面的交点为$O$。
1. 计算初始状态梯子顶端的高度$AO$：
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，梯子$AB=10\mathrm{m}$，$∠ ABO=α$，根据正弦函数的定义：$\sinα=\frac{对边}{斜边}=\frac{AO}{AB}$，
已知$\sinα=\frac{3}{5}$，代入得$AO=AB×\sinα=10×\frac{3}{5}=6\ \mathrm{m}$。
2. 计算移动后梯子顶端的高度$A'O$：
移动后梯子长度不变，即$A'B'=10\mathrm{m}$，$∠ A'B'O=β$，已知$\cosβ=\frac{3}{5}$，
根据同角三角函数的基本关系$\sin^2β+\cos^2β=1$，且$β$为锐角，可得：
$\sinβ=\sqrt{1-\cos^2β}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$。
再根据正弦函数定义，$\sinβ=\frac{A'O}{A'B'}$，代入得$A'O=A'B'×\sinβ=10×\frac{4}{5}=8\ \mathrm{m}$。
3. 计算顶端上升的高度：
上升高度$=A'O - AO=8-6=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 同角三角函数关系
3. 解直角三角形应用
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题型，解题的关键是明确梯子长度为定值这一隐含条件，结合锐角三角函数相关公式即可求解，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7

3.如图,从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为$30°$,看这栋楼底部C的俯角β为$60°$,无人机与楼的水平距离为120 m,则这栋楼的高度为（）


A.$140\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
B.$160\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
C.$180\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
D.$200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$

3. B

【分析】
这是一道仰角、俯角相关的解直角三角形应用题，解题思路如下：首先过点A作BC的垂线构造两个公共邻边的直角三角形，水平距离120m就是两个直角三角形的公共邻边长度；再将仰角α、俯角β转化为直角三角形的内角，楼高BC可以拆分为上下两段BD和CD，两段分别是两个直角三角形的对边，选择正切函数分别计算两段长度，求和即可得到楼高。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D，由题意得：AD=120 m，∠BAD=α=30°，∠CAD=β=60°。
在Rt△ABD中，$\tanα=\frac{BD}{AD}$，
∴ $BD=AD·\tan30°=120×\frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在Rt△ACD中，$\tanβ=\frac{CD}{AD}$，
∴ $CD=AD·\tan60°=120×\sqrt{3}=120\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
因此楼高$BC=BD+CD=40\sqrt{3}+120\sqrt{3}=160\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形应用；仰角俯角概念；正切函数
【点评】
本题是解直角三角形的常规典型题，解题关键是通过作辅助线将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，熟练掌握锐角三角函数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.7

4.数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆MN的高度AB.如图,他们先用测倾器在C处测得点A的仰角∠AEG=30°,然后在距离C处2 m的D处测得点A的仰角∠AFG=45°,若测倾器的高度为1.6 m,点C,D,B在同一水平线上,则车辆限高杆的高度AB为 m(结果保留根号).

4. $\sqrt{3}+2.6$

【分析】
要计算限高杆高度AB，可将AB拆分为测倾器高度和A点到测倾器顶端水平线的垂直高度两部分。设AG的长度为x m，先利用45°仰角对应的等腰直角三角形性质，得出水平距离GF=x；再结合30°仰角的正切值列出关于x的方程，求解得到x后加测倾器高度即可得到AB的总长度。
【解析】
设AG = x m，
∵∠AFG = 45°，∠AGF = 90°，
∴△AGF为等腰直角三角形，GF = AG = x m，
由题意得FE=CD=2m，因此GE = GF + FE = (x + 2)m，
在Rt△AGE中，∠AEG=30°，根据正切的定义：
$\tan30° = \frac{AG}{GE}$，代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$得：
$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{x+2}$
交叉相乘整理得：$3x=\sqrt{3}(x+2)$
解得：$x=\sqrt{3}+1$
∵测倾器高度GB=1.6m，
∴$AB=AG+GB=(\sqrt{3}+1)+1.6=\sqrt{3}+2.6$（m）
【答案】
$\sqrt{3}+2.6$
【知识点】
仰角问题，特殊角的三角函数，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题的核心是将实际场景中的角度和距离转化为直角三角形的边角关系，合理设未知数列方程求解，注意不要遗漏测倾器本身的高度。
【难度系数】
0.7

5. (2025岳阳月考)如图，一枚运载火箭从地面A处发射.当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4 km，仰角为$30°$；当火箭到达C点时，测得仰角为$45°$，这时，C点距离雷达站D有多远(结果保留根号)？

解:在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$\cos ∠ BDA=\frac{AD}{BD}$,
$\therefore AD=4 × \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}(\mathrm{km})$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$\cos ∠ CDA=\frac{AD}{CD}$,
$\therefore CD=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{6}(\mathrm{km})$.
$\therefore$ 这时,C点距离雷达站 D 是 $2\sqrt{6}\ \mathrm{km}$.

【分析】
本题属于仰角类的解直角三角形应用题，解题思路如下：首先观察图形可知CA⊥DA，因此△ABD和△ACD都是直角三角形，且AD是两个直角三角形的公共边。第一步先在Rt△ABD中，利用已知的BD长度和30°角的三角函数值求出公共边AD的长度；第二步再在Rt△ACD中，结合求出的AD长度和45°角的三角函数值，即可求出CD的长度，也就是C点到雷达站D的距离。
【解析】
解：由题意得$∠ A=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$∠ BDA=30°$，$BD=4\ \mathrm{km}$，
∵$\cos∠BDA=\frac{AD}{BD}$，
∴$AD=BD·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}(\mathrm{km})$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ CDA=45°$，
∵$\cos∠CDA=\frac{AD}{CD}$，
∴$CD=\frac{AD}{\cos45°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{6}(\mathrm{km})$。
【答案】
$2\sqrt{6}\ \mathrm{km}$
【知识点】
解直角三角形的应用、锐角三角函数定义、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是仰角问题的典型基础题，解题的核心是找到两个直角三角形的公共边AD作为求解的桥梁，结合特殊角的三角函数值即可完成计算，能够帮助学生掌握利用解直角三角形解决实际测量问题的方法。
【难度系数】
0.75