综合与探究:
如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,2),在x轴上任取一点M,连接AM,作线段AM的垂直平分线$l_1$,过点M作x轴的垂线$l_2$,记$l_1$,$l_2$的交点为P.
(1)【特例感知】线段PA与PM的数量关系为.
①当点M的坐标为(2,0)时,点P的坐标是;
②当点M的坐标为(4,0)时,点P的坐标是.
(2)【作图猜想】在x轴上改变点M的位置,按上述作图方法可得到不同的点P,请在图中至少画出五个不同位置的点P,观察点P的分布情况,并把这些点用平滑的曲线连接起来得到曲线L,猜想这条曲线L是我们学过的哪种函数的图象?
(3)【推理验证】验证(2)的猜想:对于曲线L上任意一点P,设点P的坐标是(x,y),请根据PA与PM的关系求出x,y满足的关系式.你得出的结论与先前你的猜想一样吗?

解:(1) $PA = PM$ ① $(2,2)$ ② $(4,5)$
(2)如图,即为根据题意所作的图形.
猜想:这条曲线L是二次函数的图象.
(3)我得出的结论与先前我的猜想一样.理由如下:
$\because$ 点P的坐标是$(x,y)$,$PM ⊥ x$轴,$\therefore M(x,0)$.
$\because A(0,2)$,$PA = PM$,
$\therefore (x-0)^2 + (y-2)^2 = y^2$,即$x^2 + y^2 -4y +4 = y^2$.
化简,得$y=\dfrac{1}{4}x^2 + 1$.
$\because y=\dfrac{1}{4}x^2 + 1$为抛物线解析式,
$\therefore$ 得出的结论与猜想一致.

【分析】
1. 第(1)问先利用线段垂直平分线的性质直接得到PA与PM的数量关系；求点P坐标时，先根据l₂垂直x轴确定P的横坐标与M相同，设出P的坐标后，利用PA=PM结合两点间距离公式列方程求解即可。
2. 第(2)问按要求作出多个点P，连接后观察曲线形状，结合学过的函数图象特征即可作出猜想。
3. 第(3)问设P(x,y)，先写出对应M点的坐标，再代入PA=PM的等量关系，通过化简得到y与x的函数关系式，即可验证猜想是否正确。
【解析】
(1)
∵点P在线段AM的垂直平分线$l_1$上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$PA=PM$。
① 当M坐标为$(2,0)$时，$l_2$垂直x轴，故P的横坐标为2，设$P(2,y)$，由$PA=PM$得：
$\sqrt{(2-0)^2+(y-2)^2}=y$，两边平方得$4+(y-2)^2=y^2$，解得$y=2$，即$P(2,2)$。
② 当M坐标为$(4,0)$时，同理P横坐标为4，设$P(4,y)$，由$PA=PM$得：
$\sqrt{(4-0)^2+(y-2)^2}=y$，两边平方得$16+(y-2)^2=y^2$，解得$y=5$，即$P(4,5)$。
(2) 按要求画出5个不同位置的点P，用平滑曲线连接后观察曲线特征，猜想该曲线是二次函数的图象，作图如下：

(3) 设点P坐标为$(x,y)$，
∵$PM⊥x$轴，
∴M点坐标为$(x,0)$，又$A(0,2)$，$PA=PM$，根据两点间距离公式：
$\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}=\sqrt{(x-x)^2+(y-0)^2}$，两边平方得$x^2+(y-2)^2=y^2$，
展开整理得$x^2+y^2-4y+4=y^2$，化简得$y=\dfrac{1}{4}x^2+1$，该式为二次函数解析式，因此结论与猜想一致。
【答案】
(1) $PA = PM$；① $(2,2)$；② $(4,5)$
(2) 如图所示，猜想：这条曲线L是二次函数的图象。
(3) x,y满足的关系式为$y=\dfrac{1}{4}x^2 + 1$，得出的结论与先前猜想一致。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；两点间距离公式；二次函数的定义
【点评】
本题属于探究类综合题，遵循从特例感知到猜想验证的探究逻辑，既考查了基础几何性质的应用，也锻炼了学生动手操作、归纳推理的能力，渗透了数形结合、从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7