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【例1】(人教九上$P_{58}$数学活动1改编)【观察】$1×49=49,2×48=96,3×47=141,···,$
$23×27=621,24×26=624,25×25=625,26×24=624,27×23=621,···,47×3=141,48×$
$2=96,49×1=49.$
【发现】根据你的阅读回答问题：
(1)上述内容中,两数相乘,积的最大值为________;
(2)设参与上述运算的第一个因数为$a$,第二个因数为$b$,用等式表示$a$与$b$的数量关系是$\_\_\_\_\_\_.$
【类比】观察下列两数的积:$1×59,2×58,3×57,4×56,···,m×n,···,56×4,57×3,58×2,$
$59×1.$猜想$mn$的最大值为________,并用你学过的知识加以证明.
$23×27=621,24×26=624,25×25=625,26×24=624,27×23=621,···,47×3=141,48×$
$2=96,49×1=49.$
【发现】根据你的阅读回答问题：
(1)上述内容中,两数相乘,积的最大值为________;
(2)设参与上述运算的第一个因数为$a$,第二个因数为$b$,用等式表示$a$与$b$的数量关系是$\_\_\_\_\_\_.$
【类比】观察下列两数的积:$1×59,2×58,3×57,4×56,···,m×n,···,56×4,57×3,58×2,$
$59×1.$猜想$mn$的最大值为________,并用你学过的知识加以证明.
答案
例1 解:【发现】(1) 625 (2) $a + b = 50$
【类比】900 证明如下:由题意,得$m + n = 60$.
将$n = 60 - m$代入$mn$,
得$mn = -m^2 + 60m = -(m-30)^2 + 900$.
$\therefore$ 当$m=30$时,$mn$的最大值为900.
【类比】900 证明如下:由题意,得$m + n = 60$.
将$n = 60 - m$代入$mn$,
得$mn = -m^2 + 60m = -(m-30)^2 + 900$.
$\therefore$ 当$m=30$时,$mn$的最大值为900.
解析
【分析】
先处理【发现】模块：(1)观察给出的所有乘法算式，积随因数变化先增大后减小，中间位置的25×25对应的积最大，直接读取即可；(2)逐一计算每组两个因数的和，可发现和为固定值50，即可得到a与b的数量关系。
再处理【类比】模块：先观察新的乘法序列，可得两个因数m、n的和为定值60，将n用含m的代数式表示后代入mn，可得到关于m的二次函数，用配方法将二次函数化为顶点式，结合二次函数的非负性即可求出最大值。
【解析】
【发现】
(1)观察算式可知，当两个因数都为25时，乘积最大，最大值为$25×25=625$；
(2)观察每组因数：$1+49=50$，$2+48=50$，……，$49+1=50$，因此a与b的数量关系为$a+b=50$；
【类比】
猜想$mn$的最大值为900，证明如下：
由题意得$m+n=1+59=60$，变形得$n=60-m$，
将$n=60-m$代入$mn$，可得：
$\begin{aligned}mn&=m(60-m)\\&=-m^2+60m\\&=-(m^2-60m+900)+900\\&=-(m-30)^2+900\end{aligned}$
$\because -(m-30)^2≤0$，
$\therefore$当$m=30$时，$mn$取得最大值，最大值为900。
【答案】
【发现】(1)625；(2)$a+b=50$
【类比】900
【知识点】
数字规律探究，配方法，二次函数最值应用
【点评】
本题结合数字规律探究与二次函数的应用，既考查了观察归纳能力，又考查了代数变形与二次函数性质的运用能力，解题的核心是先找到两个因数和为定值的规律，再将乘积转化为二次函数求最值。
【难度系数】
0.7
先处理【发现】模块：(1)观察给出的所有乘法算式，积随因数变化先增大后减小，中间位置的25×25对应的积最大，直接读取即可；(2)逐一计算每组两个因数的和，可发现和为固定值50，即可得到a与b的数量关系。
再处理【类比】模块：先观察新的乘法序列，可得两个因数m、n的和为定值60，将n用含m的代数式表示后代入mn，可得到关于m的二次函数，用配方法将二次函数化为顶点式，结合二次函数的非负性即可求出最大值。
【解析】
【发现】
(1)观察算式可知，当两个因数都为25时，乘积最大，最大值为$25×25=625$；
(2)观察每组因数：$1+49=50$，$2+48=50$，……，$49+1=50$，因此a与b的数量关系为$a+b=50$；
【类比】
猜想$mn$的最大值为900，证明如下：
由题意得$m+n=1+59=60$，变形得$n=60-m$，
将$n=60-m$代入$mn$，可得：
$\begin{aligned}mn&=m(60-m)\\&=-m^2+60m\\&=-(m^2-60m+900)+900\\&=-(m-30)^2+900\end{aligned}$
$\because -(m-30)^2≤0$，
$\therefore$当$m=30$时，$mn$取得最大值，最大值为900。
【答案】
【发现】(1)625；(2)$a+b=50$
【类比】900
【知识点】
数字规律探究，配方法，二次函数最值应用
【点评】
本题结合数字规律探究与二次函数的应用，既考查了观察归纳能力，又考查了代数变形与二次函数性质的运用能力，解题的核心是先找到两个因数和为定值的规律，再将乘积转化为二次函数求最值。
【难度系数】
0.7
【例2】(人教九上$P_{58}$活动2改编)综合与实践:
【问题情境】单板滑雪大跳台是冬奥会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.一个滑雪者从山坡滑下,如果不计其他因素,经测量得到滑行距离$s$(单位:m)与滑行时间$t$(单位:s)的一组数据如下表:
【模型建立】(1)为观察$s$与$t$之间的关系,建立平面直角坐标系,以$t$为横坐标,$s$为纵坐标.如图,请描出表中数据对应的5个点,并用平滑的曲线连接它们.
(2)观察图象,可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分?请你推测滑行距离与滑行时间的关系,并用该函数模型来近似地表示$s$与$t$之间的关系.
【拓广应用】(3)如果该滑雪者滑行了270 m,请你用(2)中的函数模型推测,他滑行的时间是多少秒?(参考数据:$104^2=10816$)
【问题情境】单板滑雪大跳台是冬奥会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.一个滑雪者从山坡滑下,如果不计其他因素,经测量得到滑行距离$s$(单位:m)与滑行时间$t$(单位:s)的一组数据如下表:
【模型建立】(1)为观察$s$与$t$之间的关系,建立平面直角坐标系,以$t$为横坐标,$s$为纵坐标.如图,请描出表中数据对应的5个点,并用平滑的曲线连接它们.
(2)观察图象,可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分?请你推测滑行距离与滑行时间的关系,并用该函数模型来近似地表示$s$与$t$之间的关系.
【拓广应用】(3)如果该滑雪者滑行了270 m,请你用(2)中的函数模型推测,他滑行的时间是多少秒?(参考数据:$104^2=10816$)
答案
例2 解:(1)描点,连线,如
所示.(2)观察函数图象,$s$与$t$之间的关系可近似看成二次函数;推测滑行距离与滑行时间的关系式为$s=\dfrac{5}{2}t^2 + 2t$.
理由如下:
设$s$与$t$之间的函数关系式为$s = at^2 + bt$.
将(1,4.5),(2,14)代入$s = at^2 + bt$,
得$\begin{cases} a + b = 4.5, \\ 4a + 2b = 14. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=\dfrac{5}{2}, \\ b=2. \end{cases}$
$\therefore$ 近似地表示$s$与$t$之间的函数关系式为$s=\dfrac{5}{2}t^2 + 2t$.
(3)把$s=270$代入$s=\dfrac{5}{2}t^2 + 2t$,得$\dfrac{5}{2}t^2 + 2t = 270$.
解得$t_1=10$,$t_2=-10.8$(舍去).
$\therefore$ 他滑行的时间是10秒.
解析
【分析】
(1) 第1问只需根据给出的t、s对应值，在坐标系中找到各坐标对应的点，再用平滑曲线依次连接即可。
(2) 观察图像形状符合抛物线特征，属于二次函数的图象；因为图象过原点，所以设二次函数解析式为$s=at^2+bt$（常数项为0），选取两个已知点的坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到a、b的值，从而确定s与t的函数关系式。
(3) 第3问将$s=270$代入第(2)问得到的函数解析式，得到关于t的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到滑行时间。
【解析】
(1) 按照坐标对应关系描出各点，用平滑曲线连接，结果如所示。
(2) 观察图象可知该曲线是二次函数图象的一部分，推测s与t符合二次函数关系。
设$s$与$t$的函数关系式为$s=at^2+bt$，将$(1,4.5)$、$(2,14)$代入解析式得：
$\begin{cases} a + b = 4.5 \\ 4a + 2b = 14 \end{cases}$
解方程组，给第一个式子乘2得$2a+2b=9$，用第二个式子减该式得$2a=5$，解得$a=\dfrac{5}{2}$，代入$a+b=4.5$得$b=2$。
因此$s$与$t$的近似函数关系式为$s=\dfrac{5}{2}t^2 + 2t$。
(3) 将$s=270$代入$s=\dfrac{5}{2}t^2 + 2t$，得：
$\dfrac{5}{2}t^2 + 2t = 270$
两边同乘2消去分母得$5t^2+4t-540=0$，用求根公式解得：
$t=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2+4×5×540}}{2×5}=\dfrac{-4\pm\sqrt{10816}}{10}=\dfrac{-4\pm104}{10}$
解得$t_1=10$，$t_2=-10.8$，滑行时间不能为负，故舍去$t_2$。
【答案】
(1)描点,连线,如所示。
(2)是二次函数的图象，近似函数关系式为$\boldsymbol{s=\dfrac{5}{2}t^2 + 2t}$；
(3)他滑行的时间是$\boldsymbol{10}$秒。
【知识点】
二次函数的应用、待定系数法求解析式、一元二次方程的求解
【点评】
本题结合冬奥滑雪的实际场景考查函数的实际应用，解题核心是根据图象特征判断函数类型，再用待定系数法求出函数解析式，代入求值时要注意结合实际意义舍去不符合要求的解，很好地体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 第1问只需根据给出的t、s对应值，在坐标系中找到各坐标对应的点，再用平滑曲线依次连接即可。
(2) 观察图像形状符合抛物线特征，属于二次函数的图象；因为图象过原点，所以设二次函数解析式为$s=at^2+bt$（常数项为0），选取两个已知点的坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到a、b的值，从而确定s与t的函数关系式。
(3) 第3问将$s=270$代入第(2)问得到的函数解析式，得到关于t的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到滑行时间。
【解析】
(1) 按照坐标对应关系描出各点，用平滑曲线连接，结果如
所示。(2) 观察图象可知该曲线是二次函数图象的一部分，推测s与t符合二次函数关系。
设$s$与$t$的函数关系式为$s=at^2+bt$，将$(1,4.5)$、$(2,14)$代入解析式得：
$\begin{cases} a + b = 4.5 \\ 4a + 2b = 14 \end{cases}$
解方程组，给第一个式子乘2得$2a+2b=9$，用第二个式子减该式得$2a=5$，解得$a=\dfrac{5}{2}$，代入$a+b=4.5$得$b=2$。
因此$s$与$t$的近似函数关系式为$s=\dfrac{5}{2}t^2 + 2t$。
(3) 将$s=270$代入$s=\dfrac{5}{2}t^2 + 2t$，得：
$\dfrac{5}{2}t^2 + 2t = 270$
两边同乘2消去分母得$5t^2+4t-540=0$，用求根公式解得：
$t=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2+4×5×540}}{2×5}=\dfrac{-4\pm\sqrt{10816}}{10}=\dfrac{-4\pm104}{10}$
解得$t_1=10$，$t_2=-10.8$，滑行时间不能为负，故舍去$t_2$。
【答案】
(1)描点,连线,如
所示。(2)是二次函数的图象，近似函数关系式为$\boldsymbol{s=\dfrac{5}{2}t^2 + 2t}$；
(3)他滑行的时间是$\boldsymbol{10}$秒。
【知识点】
二次函数的应用、待定系数法求解析式、一元二次方程的求解
【点评】
本题结合冬奥滑雪的实际场景考查函数的实际应用，解题核心是根据图象特征判断函数类型，再用待定系数法求出函数解析式，代入求值时要注意结合实际意义舍去不符合要求的解，很好地体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
