(温州中考)根据以下素材,探索完成任务.
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案
素材1：图1中有一座拱桥,图2是其抛物线形桥拱的示意图,某时测得水面宽20 m,拱顶离水面5 m. 据调查,该河段水位在此基础上再涨1.8 m达到最高
素材2：为迎佳节,拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40 cm长的灯笼,如图3. 为了安全,灯笼底部距离水面不小于1 m;为了实效,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m;为了美观,要求在符合条件处都挂上灯笼,且挂满后成轴对称分布
问题解决
任务1 确定桥拱形状：在图2中建立合适的平面直角坐标系,求抛物线的函数表达式
任务2 探究悬挂范围：在你所建立的平面直角坐标系中,在仅符合安全的条件下,确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围
任务3 拟定设计方案：给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量,并根据你所建立的平面直角坐标系,求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标

解:任务1:以拱顶为原点,建立如所示的平面直角坐标系,则顶点为(0,0),且过点B(10,-5).
设抛物线的函数表达式为$y = ax^2(a≠0)$.
把点B(10,-5)代入,得$100a=-5$.$\therefore a=-\dfrac{1}{20}$.
$\therefore$ 抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{20}x^2$.
任务2:$\because$ 该河段水位再涨1.8 m达到最高,灯笼底部距离水面不小于1 m,灯笼长0.4 m,
$\therefore$ 悬挂点的纵坐标$y ≥ -5 + 1.8 + 1 + 0.4 = -1.8$,
即悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8.
当$y=-1.8$时,$-\dfrac{1}{20}x^2=-1.8$. 解得$x_1=-6$,$x_2=6$.
$\therefore$ 悬挂点的横坐标的取值范围是$-6 ≤ x ≤ 6$.
任务3:下列方案任选其一即可,
方案一:如(坐标轴的横轴),从顶点处开始悬挂灯笼.
$\because -6 ≤ x ≤ 6$,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m,$\therefore$ 当顶点一侧悬挂4盏灯笼时,$1.6 × 4 ＞ 6$,
当顶点一侧悬挂3盏灯笼时,$1.6 × 3 ＜ 6$.
$\therefore$ 顶点一侧最多悬挂3盏灯笼.
$\because$ 灯笼挂满后成轴对称分布,$\therefore$ 共可挂7盏灯笼.
$\therefore$ 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为$-1.6 × 3 = -4.8$.
方案二:如,顶点处不悬挂灯笼.
当顶点一侧悬挂5盏灯笼时,$0.8 + 1.6 × (5-1) ＞ 6$,
当顶点一侧悬挂4盏灯笼时,$0.8 + 1.6 × (4-1) ＜ 6$.
$\therefore$ 顶点一侧最多悬挂4盏灯笼.
$\because$ 灯笼挂满后成轴对称分布,$\therefore$ 共可挂8盏灯笼.
$\therefore$ 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为$-0.8 -1.6 × 3 = -5.6$.

【分析】
1. 任务1：选择拱顶为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，可使抛物线顶点在原点，简化解析式的求解，采用待定系数法，代入已知点即可求得抛物线表达式。
2. 任务2：先结合最高水位高度、灯笼底部安全距离、灯笼自身长度，推导得到悬挂点纵坐标的最小值，再将该值代入抛物线解析式，求解得到横坐标的边界值，即可确定横坐标取值范围。
3. 任务3：结合横坐标的取值范围、相邻灯笼水平间距、轴对称分布的要求，分顶点处悬挂、顶点处不悬挂两种情况讨论，计算单侧可挂的最大灯笼数，进而得到总数量和最左侧悬挂点的横坐标。
【解析】
任务1
以拱顶为原点，建立如所示的平面直角坐标系，则抛物线顶点为$(0,0)$，且过点$B(10,-5)$。
设抛物线的函数表达式为$y = ax^2(a≠0)$，
把点$B(10,-5)$代入得：$100a=-5$，解得$a=-\dfrac{1}{20}$，
因此抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{20}x^2$。
任务2
已知原水面对应纵坐标为$-5$，水位上涨$1.8\ \mathrm{m}$后最高水位纵坐标为$-5+1.8=-3.2$；
要求灯笼底部距最高水面不小于$1\ \mathrm{m}$，故灯笼底部纵坐标最小为$-3.2+1=-2.2$；
灯笼长$40\ \mathrm{cm}=0.4\ \mathrm{m}$，因此悬挂点的纵坐标最小值为$-2.2+0.4=-1.8$。
当$y=-1.8$时，代入解析式得$-\dfrac{1}{20}x^2=-1.8$，解得$x_1=-6$，$x_2=6$，
因此悬挂点横坐标的取值范围是$-6 ≤ x ≤ 6$。
任务3
有两种符合要求的方案：
方案一：顶点处悬挂灯笼
已知相邻悬挂点水平间距为$1.6\ \mathrm{m}$，悬挂点横坐标范围为$-6 ≤x ≤6$：
顶点一侧悬挂$4$盏时，单侧跨度为$1.6×4=6.4＞6$，不符合要求；
顶点一侧悬挂$3$盏时，单侧跨度为$1.6×3=4.8＜6$，符合要求。
因轴对称分布，总灯笼数为$3×2+1=7$盏，
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为$-1.6×3=-4.8$。
方案二：顶点处不悬挂灯笼
顶点两侧第一个灯笼距离顶点的水平距离为$\dfrac{1.6}{2}=0.8\ \mathrm{m}$：
顶点一侧悬挂$5$盏时，单侧跨度为$0.8+1.6×(5-1)=7.2＞6$，不符合要求；
顶点一侧悬挂$4$盏时，单侧跨度为$0.8+1.6×(4-1)=5.6＜6$，符合要求。
因轴对称分布，总灯笼数为$4×2=8$盏，
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为$-0.8-1.6×3=-5.6$。
【答案】
任务1：抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{20}x^2}$（坐标系如所示）；
任务2：悬挂点纵坐标最小值为$\boldsymbol{-1.8}$，横坐标取值范围为$\boldsymbol{-6 ≤ x ≤ 6}$；
任务3：任选一种方案即可：
① 共挂7盏灯笼，最左边悬挂点横坐标为$\boldsymbol{-4.8}$；
② 共挂8盏灯笼，最左边悬挂点横坐标为$\boldsymbol{-5.6}$（对应图示）。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数实际应用；轴对称的性质
【点评】
本题以拱桥悬挂景观灯的生活场景为背景，将实际问题转化为二次函数相关问题，既考查了二次函数的基础求解能力，又要求结合实际约束设计方案，需要具备较强的信息转化和分类讨论能力，实用性较强。
【难度系数】
0.6