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1. (跨学科)根据物理学规律,如果不考虑空气阻力,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间的函数关系是$h = -5t^2 + 20t$,当飞行时间t为
2
s时,小球达到最高点.答案
1. 2
解析
【分析】
本题是二次函数在实际运动场景中的应用，已知小球高度h是关于时间t的二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点对应小球的最高点，因此只需求出二次函数顶点的横坐标，即可得到小球达到最高点的飞行时间，可采用配方法或二次函数顶点横坐标公式求解，均属于已学知识范围。
【解析】
已知高度与时间的函数关系为$h = -5t^2 + 20t$，该式为二次函数，其中$a=-5$，$b=20$。
因为$a=-5＜0$，所以抛物线开口向下，当t取顶点横坐标时，h取得最大值，即小球到达最高点。
根据二次函数顶点横坐标公式：对于$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$t=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算：
$t=-\frac{20}{2×(-5)}=\frac{-20}{-10}=2$。
也可通过配方法验证：
$h=-5t^2+20t=-5(t^2-4t)=-5(t^2-4t+4-4)=-5(t-2)^2+20$，当$t=2$时，h取最大值，小球到达最高点。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合物理运动规律考查二次函数的性质应用，解题核心是将实际的最高点问题转化为二次函数求最值的问题，掌握二次函数的顶点性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际运动场景中的应用，已知小球高度h是关于时间t的二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点对应小球的最高点，因此只需求出二次函数顶点的横坐标，即可得到小球达到最高点的飞行时间，可采用配方法或二次函数顶点横坐标公式求解，均属于已学知识范围。
【解析】
已知高度与时间的函数关系为$h = -5t^2 + 20t$，该式为二次函数，其中$a=-5$，$b=20$。
因为$a=-5＜0$，所以抛物线开口向下，当t取顶点横坐标时，h取得最大值，即小球到达最高点。
根据二次函数顶点横坐标公式：对于$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$t=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算：
$t=-\frac{20}{2×(-5)}=\frac{-20}{-10}=2$。
也可通过配方法验证：
$h=-5t^2+20t=-5(t^2-4t)=-5(t^2-4t+4-4)=-5(t-2)^2+20$，当$t=2$时，h取最大值，小球到达最高点。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合物理运动规律考查二次函数的性质应用，解题核心是将实际的最高点问题转化为二次函数求最值的问题，掌握二次函数的顶点性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（单位：m）与离起跳点A的水平距离x（单位：m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
答案
2. 解:(1)根据题意,得抛物线过(0,10)和(3,7),对称轴为x=1.
设y关于x的函数表达式为$y = ax^2 + bx + c(a≠0)$.
$\therefore \begin{cases} c=10, \\ 9a+3b+c=7, \\ -\dfrac{b}{2a}=1. \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-1, \\ b=2, \\ c=10. \end{cases}$
$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y = -x^2 + 2x + 10$.
(2)令$y=0$,得$0 = -x^2 + 2x + 10$.
解得$x_1 = \sqrt{11} + 1$,$x_2 = -\sqrt{11} + 1$(舍去).
答:运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为$(\sqrt{11} + 1)$米.
设y关于x的函数表达式为$y = ax^2 + bx + c(a≠0)$.
$\therefore \begin{cases} c=10, \\ 9a+3b+c=7, \\ -\dfrac{b}{2a}=1. \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-1, \\ b=2, \\ c=10. \end{cases}$
$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y = -x^2 + 2x + 10$.
(2)令$y=0$,得$0 = -x^2 + 2x + 10$.
解得$x_1 = \sqrt{11} + 1$,$x_2 = -\sqrt{11} + 1$(舍去).
答:运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为$(\sqrt{11} + 1)$米.
解析
【分析】
(1) 求二次函数表达式时，先提取已知信息：抛物线过点(0,10)（起跳点A）、点(3,7)（水平距离3m时高度为7m），且对称轴为直线x=1（水平距离1m时达到最高点）。我们设二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将三个条件代入得到三元一次方程组，求解系数即可得到函数表达式。
(2) 求OB的长即求运动员入水时的水平距离，此时运动员离水面高度为0，即$y=0$，将$y=0$代入已求出的函数表达式解一元二次方程，结合实际意义舍去负根，剩余正根就是OB的长度。
【解析】
(1) 根据题意可知抛物线过点$(0,10)$、$(3,7)$，对称轴为直线$x=1$。
设$y$关于$x$的函数表达式为$y = ax^2 + bx + c(a≠0)$，代入条件得：
$\begin{cases} c=10, \\ 9a+3b+c=7, \\ -\dfrac{b}{2a}=1. \end{cases}$
将$c=10$代入第二个方程得$9a+3b=-3$，即$3a+b=-1$；
由第三个方程得$b=-2a$，代入$3a+b=-1$得$a=-1$，进而得$b=2$。
解得$\begin{cases} a=-1, \\ b=2, \\ c=10. \end{cases}$
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y = -x^2 + 2x + 10$。
(2) 运动员入水时$y=0$，代入函数表达式得：
$0 = -x^2 + 2x + 10$，整理得$x^2-2x-10=0$，
解得$x_1 = \sqrt{11} + 1$，$x_2 = -\sqrt{11} + 1$，
因为水平距离为正数，故舍去$x_2 = -\sqrt{11} + 1$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+10$
(2) $(\sqrt{11}+1)$米
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的实际应用，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题关键是准确提取抛物线的已知点、对称轴等信息建立方程求解，同时需结合实际意义判断解的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.65
(1) 求二次函数表达式时，先提取已知信息：抛物线过点(0,10)（起跳点A）、点(3,7)（水平距离3m时高度为7m），且对称轴为直线x=1（水平距离1m时达到最高点）。我们设二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将三个条件代入得到三元一次方程组，求解系数即可得到函数表达式。
(2) 求OB的长即求运动员入水时的水平距离，此时运动员离水面高度为0，即$y=0$，将$y=0$代入已求出的函数表达式解一元二次方程，结合实际意义舍去负根，剩余正根就是OB的长度。
【解析】
(1) 根据题意可知抛物线过点$(0,10)$、$(3,7)$，对称轴为直线$x=1$。
设$y$关于$x$的函数表达式为$y = ax^2 + bx + c(a≠0)$，代入条件得：
$\begin{cases} c=10, \\ 9a+3b+c=7, \\ -\dfrac{b}{2a}=1. \end{cases}$
将$c=10$代入第二个方程得$9a+3b=-3$，即$3a+b=-1$；
由第三个方程得$b=-2a$，代入$3a+b=-1$得$a=-1$，进而得$b=2$。
解得$\begin{cases} a=-1, \\ b=2, \\ c=10. \end{cases}$
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y = -x^2 + 2x + 10$。
(2) 运动员入水时$y=0$，代入函数表达式得：
$0 = -x^2 + 2x + 10$，整理得$x^2-2x-10=0$，
解得$x_1 = \sqrt{11} + 1$，$x_2 = -\sqrt{11} + 1$，
因为水平距离为正数，故舍去$x_2 = -\sqrt{11} + 1$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+10$
(2) $(\sqrt{11}+1)$米
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的实际应用，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题关键是准确提取抛物线的已知点、对称轴等信息建立方程求解，同时需结合实际意义判断解的合理性，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.65
3.（新情境）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索$ L_1 $与缆索$ L_2 $均呈抛物线型,桥塔$ AO $与桥塔$ BC $均垂直于桥面,如图所示,以点$ O $为原点,以直线$ FF' $为$ x $轴,以桥塔$ AO $所在直线为$ y $轴,建立平面直角坐标系.已知:缆索$ L_1 $所在抛物线与缆索$ L_2 $所在抛物线关于$ y $轴对称,桥塔$ AO $与桥塔$ BC $之间的距离$ OC = 100 \ \mathrm{m}, AO = BC = 17 \ \mathrm{m} $,缆索$ L_1 $的最低点$ P $到$ FF' $的距离$ PD = 2 \ \mathrm{m} $.(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索$ L_1 $所在抛物线的函数表达式;
(2)点$ E $在缆索$ L_2 $上,$ EF ⊥ FF' $,且$ EF = 2.6 \ \mathrm{m} $,$ FO ＜ OD $,求$ FO $的长.
(1)求缆索$ L_1 $所在抛物线的函数表达式;
(2)点$ E $在缆索$ L_2 $上,$ EF ⊥ FF' $,且$ EF = 2.6 \ \mathrm{m} $,$ FO ＜ OD $,求$ FO $的长.
答案
3. 解:(1)由题意,得顶点P的坐标为(50,2),点A的坐标为(0,17).
设缆索$ L_1 $所在抛物线的函数表达式为$ y = a(x-50)^2 + 2(a≠0) $.
把(0,17)代入,得$ 17 = a(0-50)^2 + 2 $. 解得$ a=\dfrac{3}{500} $.
$\therefore$ 缆索$ L_1 $所在抛物线的函数表达式为$ y=\dfrac{3}{500}(x-50)^2 + 2 $.
(2)$\because$ 缆索$ L_1 $所在抛物线与缆索$ L_2 $所在抛物线关于y轴对称,
$\therefore$ 缆索$ L_2 $所在抛物线的函数表达式为$ y=\dfrac{3}{500}(x+50)^2 + 2 $.
$\because EF=2.6$,
$\therefore$ 把$ y=2.6 $代入,得$ 2.6=\dfrac{3}{500}(x+50)^2 + 2 $.
解得$ x_1=-40 $,$ x_2=-60 $.
$\because FO ＜ OD$,$\therefore FO$的长为40 m.
设缆索$ L_1 $所在抛物线的函数表达式为$ y = a(x-50)^2 + 2(a≠0) $.
把(0,17)代入,得$ 17 = a(0-50)^2 + 2 $. 解得$ a=\dfrac{3}{500} $.
$\therefore$ 缆索$ L_1 $所在抛物线的函数表达式为$ y=\dfrac{3}{500}(x-50)^2 + 2 $.
(2)$\because$ 缆索$ L_1 $所在抛物线与缆索$ L_2 $所在抛物线关于y轴对称,
$\therefore$ 缆索$ L_2 $所在抛物线的函数表达式为$ y=\dfrac{3}{500}(x+50)^2 + 2 $.
$\because EF=2.6$,
$\therefore$ 把$ y=2.6 $代入,得$ 2.6=\dfrac{3}{500}(x+50)^2 + 2 $.
解得$ x_1=-40 $,$ x_2=-60 $.
$\because FO ＜ OD$,$\therefore FO$的长为40 m.
解析
【分析】
(1) 要求缆索$L_1$的抛物线表达式，首先确定已知点坐标：OC长100m，$L_1$的最低点是顶点P，因此$L_1$的对称轴为$x=50$，结合$PD=2m$得顶点P坐标为$(50,2)$，又知桥塔AO高17m，故A点坐标为$(0,17)$。选用二次函数顶点式设解析式，代入A点坐标即可求出未知系数a，得到$L_1$的表达式。
(2) 由于$L_1$和$L_2$关于y轴对称，将$L_1$表达式中的$x$替换为$-x$即可得到$L_2$的表达式。已知$EF=2.6m$，即E点纵坐标为2.6，代入$L_2$的表达式求出对应的x值，再结合$FO＜OD$（OD长50m，即E点横坐标的绝对值小于50）筛选符合条件的结果，x的绝对值就是FO的长度。
【解析】
(1) 由题意得，缆索$L_1$的顶点$P$的坐标为$(50,2)$，点$A$的坐标为$(0,17)$。
设缆索$L_1$所在抛物线的函数表达式为$y = a(x-50)^2 + 2\ (a≠0)$。
把$(0,17)$代入表达式，得：
$17 = a(0-50)^2 + 2$
解得$a=\dfrac{3}{500}$
因此缆索$L_1$所在抛物线的函数表达式为$y=\dfrac{3}{500}(x-50)^2 + 2$。
(2) 因为缆索$L_1$与$L_2$所在抛物线关于$y$轴对称，所以$L_2$的函数表达式为$y=\dfrac{3}{500}(x+50)^2 + 2$。
已知$EF=2.6\ \mathrm{m}$，即点$E$的纵坐标为$2.6$，将$y=2.6$代入$L_2$的表达式，得：
$2.6=\dfrac{3}{500}(x+50)^2 + 2$
解得$x_1=-40$，$x_2=-60$。
又因为$FO ＜ OD$，$OD=50\ \mathrm{m}$，即$|x|＜50$，因此取$x=-40$，故$FO$的长为$40\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{3}{500}(x-50)^2 + 2$
(2) $40\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数对称性，二次函数实际应用
【点评】
本题结合悬索桥的生活场景考查二次函数的应用，需要熟练掌握根据顶点设二次函数解析式的方法，以及二次函数关于y轴对称的解析式变化规律，解题时注意结合实际限制条件对解进行取舍，侧重考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求缆索$L_1$的抛物线表达式，首先确定已知点坐标：OC长100m，$L_1$的最低点是顶点P，因此$L_1$的对称轴为$x=50$，结合$PD=2m$得顶点P坐标为$(50,2)$，又知桥塔AO高17m，故A点坐标为$(0,17)$。选用二次函数顶点式设解析式，代入A点坐标即可求出未知系数a，得到$L_1$的表达式。
(2) 由于$L_1$和$L_2$关于y轴对称，将$L_1$表达式中的$x$替换为$-x$即可得到$L_2$的表达式。已知$EF=2.6m$，即E点纵坐标为2.6，代入$L_2$的表达式求出对应的x值，再结合$FO＜OD$（OD长50m，即E点横坐标的绝对值小于50）筛选符合条件的结果，x的绝对值就是FO的长度。
【解析】
(1) 由题意得，缆索$L_1$的顶点$P$的坐标为$(50,2)$，点$A$的坐标为$(0,17)$。
设缆索$L_1$所在抛物线的函数表达式为$y = a(x-50)^2 + 2\ (a≠0)$。
把$(0,17)$代入表达式，得：
$17 = a(0-50)^2 + 2$
解得$a=\dfrac{3}{500}$
因此缆索$L_1$所在抛物线的函数表达式为$y=\dfrac{3}{500}(x-50)^2 + 2$。
(2) 因为缆索$L_1$与$L_2$所在抛物线关于$y$轴对称，所以$L_2$的函数表达式为$y=\dfrac{3}{500}(x+50)^2 + 2$。
已知$EF=2.6\ \mathrm{m}$，即点$E$的纵坐标为$2.6$，将$y=2.6$代入$L_2$的表达式，得：
$2.6=\dfrac{3}{500}(x+50)^2 + 2$
解得$x_1=-40$，$x_2=-60$。
又因为$FO ＜ OD$，$OD=50\ \mathrm{m}$，即$|x|＜50$，因此取$x=-40$，故$FO$的长为$40\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{3}{500}(x-50)^2 + 2$
(2) $40\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数对称性，二次函数实际应用
【点评】
本题结合悬索桥的生活场景考查二次函数的应用，需要熟练掌握根据顶点设二次函数解析式的方法，以及二次函数关于y轴对称的解析式变化规律，解题时注意结合实际限制条件对解进行取舍，侧重考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
