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1.【例1】如图,一个高尔夫球在地面O点被击出,球的飞行路线是抛物线 $y = -\frac{1}{5}x^2 + \frac{8}{5}x$,其中y(单位:m)是飞行高度,x(单位:m)是球飞出的水平距离.
(1)求球飞行过程中的最大高度；
(2)求球飞行过程中的最大水平距离.
(1)求球飞行过程中的最大高度；
(2)求球飞行过程中的最大水平距离.
答案
1. 解:(1)$y = -\frac{1}{5}x^2 + \frac{8}{5}x = -\frac{1}{5}(x-4)^2 + \frac{16}{5}$.
∴ 抛物线的顶点坐标为$(4,\frac{16}{5})$,即球飞行过程中的最大高度为$\frac{16}{5}$ m.
(2)令$y=0$,则$-\frac{1}{5}x^2 + \frac{8}{5}x = 0$. 解得$x_1=0,x_2=8$.
∴ 球飞行过程中的最大水平距离为8 m.
∴ 抛物线的顶点坐标为$(4,\frac{16}{5})$,即球飞行过程中的最大高度为$\frac{16}{5}$ m.
(2)令$y=0$,则$-\frac{1}{5}x^2 + \frac{8}{5}x = 0$. 解得$x_1=0,x_2=8$.
∴ 球飞行过程中的最大水平距离为8 m.
解析
【分析】
(1) 求球飞行的最大高度，本质是求开口向下的二次函数的最大值：已知抛物线解析式二次项系数为负，开口向下，顶点的纵坐标就是函数的最大值，因此可以将一般式配方为顶点式，直接得到顶点纵坐标即为最大高度。
(2) 求最大水平距离，就是球落地时的水平距离，此时飞行高度y=0，因此令解析式中y=0，解对应的一元二次方程，舍去代表击出点的x=0，剩下的正根就是最大水平距离。
【解析】
(1) 对二次函数配方得：
$\begin{aligned}y &= -\frac{1}{5}x^2 + \frac{8}{5}x\\&= -\frac{1}{5}(x^2-8x)\\&= -\frac{1}{5}(x^2-8x+16-16)\\&= -\frac{1}{5}(x-4)^2 + \frac{16}{5}\end{aligned}$
$\because a=-\frac{1}{5}＜0$，抛物线开口向下，顶点坐标为$(4,\frac{16}{5})$
$\therefore$ 球飞行过程中的最大高度为$\frac{16}{5}$ m。
(2) 球落地时高度$y=0$，令$y=0$，则：
$-\frac{1}{5}x^2 + \frac{8}{5}x = 0$
整理得$x(x-8)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=8$
$x=0$为初始击出点，因此球飞行的最大水平距离为8 m。
【答案】
(1) $\frac{16}{5}$ m；(2) 8 m
【知识点】
二次函数的最值；二次函数与一元二次方程；抛物线实际应用
【点评】
本题是二次函数在运动场景的基础应用，解题核心是结合实际意义将问题转化为二次函数的性质、二次方程求解问题，掌握二次函数基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 求球飞行的最大高度，本质是求开口向下的二次函数的最大值：已知抛物线解析式二次项系数为负，开口向下，顶点的纵坐标就是函数的最大值，因此可以将一般式配方为顶点式，直接得到顶点纵坐标即为最大高度。
(2) 求最大水平距离，就是球落地时的水平距离，此时飞行高度y=0，因此令解析式中y=0，解对应的一元二次方程，舍去代表击出点的x=0，剩下的正根就是最大水平距离。
【解析】
(1) 对二次函数配方得：
$\begin{aligned}y &= -\frac{1}{5}x^2 + \frac{8}{5}x\\&= -\frac{1}{5}(x^2-8x)\\&= -\frac{1}{5}(x^2-8x+16-16)\\&= -\frac{1}{5}(x-4)^2 + \frac{16}{5}\end{aligned}$
$\because a=-\frac{1}{5}＜0$，抛物线开口向下，顶点坐标为$(4,\frac{16}{5})$
$\therefore$ 球飞行过程中的最大高度为$\frac{16}{5}$ m。
(2) 球落地时高度$y=0$，令$y=0$，则：
$-\frac{1}{5}x^2 + \frac{8}{5}x = 0$
整理得$x(x-8)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=8$
$x=0$为初始击出点，因此球飞行的最大水平距离为8 m。
【答案】
(1) $\frac{16}{5}$ m；(2) 8 m
【知识点】
二次函数的最值；二次函数与一元二次方程；抛物线实际应用
【点评】
本题是二次函数在运动场景的基础应用，解题核心是结合实际意义将问题转化为二次函数的性质、二次方程求解问题，掌握二次函数基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
3.【例2】(人教九上P₅₃探究2改编)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽(AB)为4 m时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m.当水面下降2.5 m时,求水面的宽度增加了多少.
答案
3. 解:如图,建立平面直角坐标系
.由题可知抛物线的顶点C的坐标为$(0,2)$.
∴ 设抛物线的解析式为$y = ax^2 + 2(a ≠ 0)$.
把点$B(2,0)$代入,得$a=-0.5$.
∴ 抛物线的解析式为$y = -0.5x^2 + 2$.
把$y=-2.5$代入,得$-2.5 = -0.5x^2 + 2$. 解得$x=\pm3$.
∴ 水面宽度增加了$2 × 3 - 4 = 2(\mathrm{m})$.
解析
【分析】
这是抛物线型的二次函数实际应用问题，解题思路如下：首先建立合适的平面直角坐标系简化计算，选择AB所在直线为x轴、AB中点为坐标原点，此时抛物线顶点落在y轴上，可直接设顶点式的二次函数解析式；接着代入已知点B的坐标求出解析式的未知系数，得到完整的抛物线表达式；再根据水面下降的高度确定对应点的纵坐标，代入解析式求出横坐标，得到下降后的水面宽度，最后与原宽度作差即可得到宽度增加量。
【解析】
解：如图，建立平面直角坐标系。
由题意得抛物线顶点C的坐标为$(0,2)$，点B的坐标为$(2,0)$。
设抛物线的解析式为$y = ax^2 + 2(a ≠ 0)$，将$B(2,0)$代入解析式：
$0 = a× 2^2 + 2$，解得$a=-0.5$
因此抛物线的解析式为$y = -0.5x^2 + 2$
当水面下降2.5m时，此时水面对应的纵坐标为$y=-2.5$，将其代入解析式：
$-2.5 = -0.5x^2 + 2$
整理得$x^2=9$，解得$x=\pm3$
此时水面宽度为$3 - (-3) = 6\mathrm{m}$，因此宽度增加量为$6 - 4 = 2\mathrm{m}$
【答案】
如图,建立平面直角坐标系。
由题可知抛物线的顶点C的坐标为$(0,2)$。
∴ 设抛物线的解析式为$y = ax^2 + 2(a ≠ 0)$。
把点$B(2,0)$代入,得$a=-0.5$。
∴ 抛物线的解析式为$y = -0.5x^2 + 2$。
把$y=-2.5$代入,得$-2.5 = -0.5x^2 + 2$。 解得$x=\pm3$。
∴ 水面宽度增加了$2 × 3 - 4 = 2(\mathrm{m})$。
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图像与性质
【点评】
本题是典型的抛物线类实际应用问题，解题的关键是建立合理的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数的代数问题求解，考查了二次函数解析式的求解及函数值、自变量的互算能力。
【难度系数】
0.7
这是抛物线型的二次函数实际应用问题，解题思路如下：首先建立合适的平面直角坐标系简化计算，选择AB所在直线为x轴、AB中点为坐标原点，此时抛物线顶点落在y轴上，可直接设顶点式的二次函数解析式；接着代入已知点B的坐标求出解析式的未知系数，得到完整的抛物线表达式；再根据水面下降的高度确定对应点的纵坐标，代入解析式求出横坐标，得到下降后的水面宽度，最后与原宽度作差即可得到宽度增加量。
【解析】
解：如图，建立平面直角坐标系
。由题意得抛物线顶点C的坐标为$(0,2)$，点B的坐标为$(2,0)$。
设抛物线的解析式为$y = ax^2 + 2(a ≠ 0)$，将$B(2,0)$代入解析式：
$0 = a× 2^2 + 2$，解得$a=-0.5$
因此抛物线的解析式为$y = -0.5x^2 + 2$
当水面下降2.5m时，此时水面对应的纵坐标为$y=-2.5$，将其代入解析式：
$-2.5 = -0.5x^2 + 2$
整理得$x^2=9$，解得$x=\pm3$
此时水面宽度为$3 - (-3) = 6\mathrm{m}$，因此宽度增加量为$6 - 4 = 2\mathrm{m}$
【答案】
如图,建立平面直角坐标系
。由题可知抛物线的顶点C的坐标为$(0,2)$。
∴ 设抛物线的解析式为$y = ax^2 + 2(a ≠ 0)$。
把点$B(2,0)$代入,得$a=-0.5$。
∴ 抛物线的解析式为$y = -0.5x^2 + 2$。
把$y=-2.5$代入,得$-2.5 = -0.5x^2 + 2$。 解得$x=\pm3$。
∴ 水面宽度增加了$2 × 3 - 4 = 2(\mathrm{m})$。
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图像与性质
【点评】
本题是典型的抛物线类实际应用问题，解题的关键是建立合理的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数的代数问题求解，考查了二次函数解析式的求解及函数值、自变量的互算能力。
【难度系数】
0.7
2. 校运会上,小明参加铅球比赛,若某次试掷,铅球飞行的高度$y$(单位:m)与水平距离$x$(单位:m)之间的函数关系式为$y = -\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$。
(1)求小明这次试掷的成绩；
(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m。
(1)求小明这次试掷的成绩；
(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m。
答案
2. 解:(1)由题意可知,当$y=0$时,$-\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3} = 0$.
解得$x_1=10,x_2=-2$(舍去).
答:小明这次试掷的成绩是10 m.
(2)由$x = -\frac{b}{2a}$,可知对称轴为$x=4$.
当$x=4$时,$y_{最大} = -\frac{1}{12} × 4^2 + \frac{2}{3} × 4 + \frac{5}{3} = 3 ＜ 4$.
∴ 铅球行进高度不能达到4 m.
解得$x_1=10,x_2=-2$(舍去).
答:小明这次试掷的成绩是10 m.
(2)由$x = -\frac{b}{2a}$,可知对称轴为$x=4$.
当$x=4$时,$y_{最大} = -\frac{1}{12} × 4^2 + \frac{2}{3} × 4 + \frac{5}{3} = 3 ＜ 4$.
∴ 铅球行进高度不能达到4 m.
解析
【分析】
(1) 试掷成绩是铅球落地时对应的水平距离，此时铅球高度$y=0$，因此只需将$y=0$代入函数解析式，求解得到的一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，得到的正根就是试掷成绩。
(2) 要判断铅球行进高度能否达到4m，观察二次函数解析式，二次项系数为负，抛物线开口向下，函数存在最大值，因此先求出该二次函数的最大高度，再和4m比较即可得出结论。
【解析】
(1) 当铅球落地时，高度$y=0$，将$y=0$代入函数解析式，得：
$-\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3} = 0$
方程两边同时乘12消去分母，整理得$x^2 -8x -20=0$
因式分解得：$(x-10)(x+2)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=-2$
因为水平距离不能为负，所以舍去$x_2=-2$。
(2) 对于二次函数$y = -\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$，其中$a=-\frac{1}{12}＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{2}{3}}{2×(-\frac{1}{12})}=4$
将$x=4$代入解析式，得最大高度：
$y_{最大}= -\frac{1}{12} × 4^2 + \frac{2}{3} × 4 + \frac{5}{3} = 3\ \mathrm{m}$
因为$3＜4$，所以铅球行进高度无法达到4m。
【答案】
(1) 小明这次试掷的成绩是10 m；
(2) 铅球行进高度不能达到4 m。
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是将实际问题转化为二次函数与一元二次方程的相关问题，结合实际意义舍去不符合要求的解，是二次函数应用类的基础题型，能很好地考查学生知识迁移和结合实际解题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 试掷成绩是铅球落地时对应的水平距离，此时铅球高度$y=0$，因此只需将$y=0$代入函数解析式，求解得到的一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，得到的正根就是试掷成绩。
(2) 要判断铅球行进高度能否达到4m，观察二次函数解析式，二次项系数为负，抛物线开口向下，函数存在最大值，因此先求出该二次函数的最大高度，再和4m比较即可得出结论。
【解析】
(1) 当铅球落地时，高度$y=0$，将$y=0$代入函数解析式，得：
$-\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3} = 0$
方程两边同时乘12消去分母，整理得$x^2 -8x -20=0$
因式分解得：$(x-10)(x+2)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=-2$
因为水平距离不能为负，所以舍去$x_2=-2$。
(2) 对于二次函数$y = -\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$，其中$a=-\frac{1}{12}＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{2}{3}}{2×(-\frac{1}{12})}=4$
将$x=4$代入解析式，得最大高度：
$y_{最大}= -\frac{1}{12} × 4^2 + \frac{2}{3} × 4 + \frac{5}{3} = 3\ \mathrm{m}$
因为$3＜4$，所以铅球行进高度无法达到4m。
【答案】
(1) 小明这次试掷的成绩是10 m；
(2) 铅球行进高度不能达到4 m。
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是将实际问题转化为二次函数与一元二次方程的相关问题，结合实际意义舍去不符合要求的解，是二次函数应用类的基础题型，能很好地考查学生知识迁移和结合实际解题的能力。
【难度系数】
0.8
4. (2025 广东)如图,某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km,主塔高0.27 km,主缆可视为抛物线,主缆垂度0.178 5 km,主缆最低处距离桥面0.001 5 km,桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系,并求该抛物线的表达式.
答案
4. 解:建立平面直角坐标系如图所示
,则抛物线顶点坐标为$(0,0.0015)$,$A(\frac{1.7}{2},0.27-0.09)$,即$A(0.85,0.18)$.设该抛物线的表达式为$y = ax^2 + 0.0015(a ≠ 0)$.
将$A(0.85,0.18)$代入$y = ax^2 + 0.0015$,得
$0.18 = 0.85^2 a + 0.0015$. 解得$a = \frac{21}{85}$.
∴ 该抛物线的表达式为$y = \frac{21}{85}x^2 + 0.0015$.(答案不唯一)
解析
【分析】
解决这类实际抛物线问题，首先要建立便于计算的平面直角坐标系，通常将抛物线对称轴设为y轴，可让解析式不含一次项，简化计算。本题我们选择桥面所在直线为x轴，主缆最低点的竖直方向为y轴建立坐标系：首先确定抛物线顶点坐标，主缆最低处距离桥面0.0015km，因此顶点坐标为$(0,0.0015)$；再确定抛物线上另一已知点的坐标：主跨总长度为1.7km，因此右侧主塔横坐标为$1.7÷2=0.85$，主塔总高0.27km是到海平面的高度，桥面距离海平面0.09km，因此主塔顶部高出桥面的高度为$0.27-0.09=0.18km$，即右侧主塔顶部点A的坐标为$(0.85,0.18)$。最后设抛物线顶点式，将已知点代入求解参数即可得到解析式。
【解析】
解：建立平面直角坐标系如图所示，
由题意得抛物线顶点坐标为$(0,0.0015)$，
右侧主塔顶部点A的横坐标为$\frac{1.7}{2}=0.85$，纵坐标为$0.27-0.09=0.18$，即$A(0.85,0.18)$。
设该抛物线的表达式为$y = ax^2 + 0.0015(a ≠ 0)$，
将$A(0.85,0.18)$代入表达式得：
$0.18 = 0.85^2 a + 0.0015$
计算得$0.7225a = 0.1785$，解得$a = \frac{21}{85}$。
因此该抛物线的表达式为$y = \frac{21}{85}x^2 + 0.0015$。
【答案】
建立平面直角坐标系如图所示，该抛物线的表达式为$\boldsymbol{y = \frac{21}{85}x^2 + 0.0015}$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数顶点式
【点评】
本题结合实际桥梁场景考查二次函数的应用，解题核心是合理建立平面直角坐标系，将实际长度转化为对应点的坐标，再利用待定系数法求解解析式，做题时要注意区分各段高度对应的坐标含义，避免坐标计算错误。
【难度系数】
0.7
解决这类实际抛物线问题，首先要建立便于计算的平面直角坐标系，通常将抛物线对称轴设为y轴，可让解析式不含一次项，简化计算。本题我们选择桥面所在直线为x轴，主缆最低点的竖直方向为y轴建立坐标系：首先确定抛物线顶点坐标，主缆最低处距离桥面0.0015km，因此顶点坐标为$(0,0.0015)$；再确定抛物线上另一已知点的坐标：主跨总长度为1.7km，因此右侧主塔横坐标为$1.7÷2=0.85$，主塔总高0.27km是到海平面的高度，桥面距离海平面0.09km，因此主塔顶部高出桥面的高度为$0.27-0.09=0.18km$，即右侧主塔顶部点A的坐标为$(0.85,0.18)$。最后设抛物线顶点式，将已知点代入求解参数即可得到解析式。
【解析】
解：建立平面直角坐标系如图所示
，由题意得抛物线顶点坐标为$(0,0.0015)$，
右侧主塔顶部点A的横坐标为$\frac{1.7}{2}=0.85$，纵坐标为$0.27-0.09=0.18$，即$A(0.85,0.18)$。
设该抛物线的表达式为$y = ax^2 + 0.0015(a ≠ 0)$，
将$A(0.85,0.18)$代入表达式得：
$0.18 = 0.85^2 a + 0.0015$
计算得$0.7225a = 0.1785$，解得$a = \frac{21}{85}$。
因此该抛物线的表达式为$y = \frac{21}{85}x^2 + 0.0015$。
【答案】
建立平面直角坐标系如图所示
，该抛物线的表达式为$\boldsymbol{y = \frac{21}{85}x^2 + 0.0015}$（答案不唯一）【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数顶点式
【点评】
本题结合实际桥梁场景考查二次函数的应用，解题核心是合理建立平面直角坐标系，将实际长度转化为对应点的坐标，再利用待定系数法求解解析式，做题时要注意区分各段高度对应的坐标含义，避免坐标计算错误。
【难度系数】
0.7
