登录
1. 下列图形中,是轴对称图形的是（）
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。接下来我们逐个验证四个选项是否符合该定义：先看每个图形是否能找到这样的一条对折直线，判断对折后两侧是否完全重合，最终选出符合要求的选项。
【解析】
根据轴对称图形的定义：若一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形。
对各选项逐一判断：
选项A：学士帽右侧带有流苏，不存在一条直线使得图形折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形；
选项B：图案中播放箭头朝右，下方支架结构不对称，不存在符合要求的折叠直线，不是轴对称图形；
选项C：打开的书本沿中间竖直的直线折叠时，左右两部分可以完全重合，属于轴对称图形；
选项D：灯泡内部的钥匙形图案、底部螺旋结构均不对称，不存在符合要求的折叠直线，不是轴对称图形。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查对轴对称图形定义的理解与应用，解题的关键是准确判断图形是否存在能让两侧完全重合的对折直线，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。接下来我们逐个验证四个选项是否符合该定义：先看每个图形是否能找到这样的一条对折直线，判断对折后两侧是否完全重合，最终选出符合要求的选项。
【解析】
根据轴对称图形的定义：若一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形。
对各选项逐一判断：
选项A：学士帽右侧带有流苏，不存在一条直线使得图形折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形；
选项B：图案中播放箭头朝右，下方支架结构不对称，不存在符合要求的折叠直线，不是轴对称图形；
选项C：打开的书本沿中间竖直的直线折叠时，左右两部分可以完全重合，属于轴对称图形；
选项D：灯泡内部的钥匙形图案、底部螺旋结构均不对称，不存在符合要求的折叠直线，不是轴对称图形。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查对轴对称图形定义的理解与应用，解题的关键是准确判断图形是否存在能让两侧完全重合的对折直线，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
2.若长度分别为a,2,4的三条线段能组成一个三角形,则a的值可能是
（）
A.1
B.2
C.3
D.6
（）
A.1
B.2
C.3
D.6
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题时先根据已知的两条边长2和4，求出第三条边a的取值范围，再将各选项的数值代入范围逐一判断，符合范围的即为正确答案。
【解析】
根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和
即 $4-2 ＜ a ＜ 4+2$
化简得 $2 ＜ a ＜ 6$
逐一判断选项：
A. 1 ＜ 2，不符合取值范围，排除；
B. 2 = 2，不符合取值范围，排除；
C. $2 ＜ 3 ＜ 6$，符合取值范围；
D. 6 = 6，不符合取值范围，排除。
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形三边关系的应用，解题关键是牢记三边关系准确求出未知边的取值范围，再对照选项筛选即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题时先根据已知的两条边长2和4，求出第三条边a的取值范围，再将各选项的数值代入范围逐一判断，符合范围的即为正确答案。
【解析】
根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和
即 $4-2 ＜ a ＜ 4+2$
化简得 $2 ＜ a ＜ 6$
逐一判断选项：
A. 1 ＜ 2，不符合取值范围，排除；
B. 2 = 2，不符合取值范围，排除；
C. $2 ＜ 3 ＜ 6$，符合取值范围；
D. 6 = 6，不符合取值范围，排除。
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形三边关系的应用，解题关键是牢记三边关系准确求出未知边的取值范围，再对照选项筛选即可。
【难度系数】
0.8
3.工人师傅常用角尺平分一个任意角.
作法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合(CM=CN),过角尺顶点C的射线OC即∠AOB的平分线.这种作法的依据是()
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.HL
作法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合(CM=CN),过角尺顶点C的射线OC即∠AOB的平分线.这种作法的依据是()
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.HL
答案
A
解析
【分析】
要确定这种平分角作法的依据，首先需要从作法中提取两个三角形的相等条件，再结合全等三角形的判定定理判断证明△OMC和△ONC全等所用的判定方法，全等后对应角相等即可推出OC是角平分线，据此选出正确选项。
【解析】
在$△ OMC$和$△ ONC$中：
$\begin{cases} OM=ON（已知） \\ CM=CN（已知） \\ OC=OC（公共边） \end{cases}$
$\therefore △ OMC ≌ △ ONC（SSS）$
$\therefore ∠ MOC=∠ NOC$（全等三角形的对应角相等）
即$OC$是$∠ AOB$的平分线，因此该作法的依据是SSS。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合实际操作场景考查全等三角形判定的应用，解题关键是从操作步骤中提炼出三组对应边相等的条件，属于基础应用型题目，能帮助学生理解数学知识在实际生活中的运用。
【难度系数】
0.8
要确定这种平分角作法的依据，首先需要从作法中提取两个三角形的相等条件，再结合全等三角形的判定定理判断证明△OMC和△ONC全等所用的判定方法，全等后对应角相等即可推出OC是角平分线，据此选出正确选项。
【解析】
在$△ OMC$和$△ ONC$中：
$\begin{cases} OM=ON（已知） \\ CM=CN（已知） \\ OC=OC（公共边） \end{cases}$
$\therefore △ OMC ≌ △ ONC（SSS）$
$\therefore ∠ MOC=∠ NOC$（全等三角形的对应角相等）
即$OC$是$∠ AOB$的平分线，因此该作法的依据是SSS。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合实际操作场景考查全等三角形判定的应用，解题关键是从操作步骤中提炼出三组对应边相等的条件，属于基础应用型题目，能帮助学生理解数学知识在实际生活中的运用。
【难度系数】
0.8
4.如图，把$△ ABC$沿线段$DE$折叠，使点$B$落在$AC$上的点$F$处.若$AC// DE$，$∠ A=70°$，$AB=AC$，则$∠ CEF$的度数为()
A.$40°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
A.$40°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先利用等腰三角形的内角和性质求出底角∠C的度数，再根据平行线的同位角相等得到∠DEB的度数，结合折叠前后对应角相等的性质得出∠DEF与∠DEB相等，最后根据平角为180°即可算出∠CEF的度数。
【解析】
1. 求等腰△ABC的底角度数：
∵ AB=AC，∠A=70°，三角形内角和为180°
∴ ∠B=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-70°)÷2=55°
2. 利用平行线性质求∠DEB：
∵ AC//DE
∴ ∠DEB=∠C=55°（两直线平行，同位角相等）
3. 利用折叠性质求∠DEF：
由折叠的性质可得△BDE≌△FDE，因此∠DEF=∠DEB=55°
4. 计算∠CEF：
∵ 点E在BC上，∠BED+∠DEF+∠CEF=180°（平角的定义）
∴ ∠CEF=180°-55°-55°=70°
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、折叠的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，需要结合多个基础几何性质推导角的等量关系，解题核心是找到折叠前后的相等角、平行线带来的同位角相等关系，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用等腰三角形的内角和性质求出底角∠C的度数，再根据平行线的同位角相等得到∠DEB的度数，结合折叠前后对应角相等的性质得出∠DEF与∠DEB相等，最后根据平角为180°即可算出∠CEF的度数。
【解析】
1. 求等腰△ABC的底角度数：
∵ AB=AC，∠A=70°，三角形内角和为180°
∴ ∠B=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-70°)÷2=55°
2. 利用平行线性质求∠DEB：
∵ AC//DE
∴ ∠DEB=∠C=55°（两直线平行，同位角相等）
3. 利用折叠性质求∠DEF：
由折叠的性质可得△BDE≌△FDE，因此∠DEF=∠DEB=55°
4. 计算∠CEF：
∵ 点E在BC上，∠BED+∠DEF+∠CEF=180°（平角的定义）
∴ ∠CEF=180°-55°-55°=70°
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、折叠的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，需要结合多个基础几何性质推导角的等量关系，解题核心是找到折叠前后的相等角、平行线带来的同位角相等关系，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 在$△ ABC$和$△ DEF$中,已知$∠ A=∠ D,AB=DE$.下列添加的条件中,不能判定$△ ABC≌△ DEF$的是
（）
A.$BC=EF$
B.$∠ C=∠ F$
C.$AC=DF$
D.$∠ B=∠ E$
（）
A.$BC=EF$
B.$∠ C=∠ F$
C.$AC=DF$
D.$∠ B=∠ E$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先先回忆全等三角形的常用判定定理：SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、SSS（边边边），注意SSA（边边角）不能判定三角形全等。首先明确题目已给条件：∠A=∠D，AB=DE，即一组对应角相等、一组对应边相等，接下来逐个验证选项是否符合判定定理即可，不符合的就是正确选项。
【解析】
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=DE，逐一分析选项：
选项A：添加BC=EF，此时满足两边及其中一边的对角对应相等（SSA），没有对应的全等判定定理，不能判定△ABC≌△DEF，符合题意；
选项B：添加∠C=∠F，此时满足两角及其中一角的对边对应相等（AAS），可以判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
选项C：添加AC=DF，此时满足两边及其夹角对应相等（SAS），可以判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
选项D：添加∠B=∠E，此时满足两角及其夹边对应相等（ASA），可以判定△ABC≌△DEF，不符合题意。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的实际应用，解题的核心是熟练掌握各类全等判定定理的适用条件，尤其要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆不同判定的要求。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先先回忆全等三角形的常用判定定理：SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、SSS（边边边），注意SSA（边边角）不能判定三角形全等。首先明确题目已给条件：∠A=∠D，AB=DE，即一组对应角相等、一组对应边相等，接下来逐个验证选项是否符合判定定理即可，不符合的就是正确选项。
【解析】
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=DE，逐一分析选项：
选项A：添加BC=EF，此时满足两边及其中一边的对角对应相等（SSA），没有对应的全等判定定理，不能判定△ABC≌△DEF，符合题意；
选项B：添加∠C=∠F，此时满足两角及其中一角的对边对应相等（AAS），可以判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
选项C：添加AC=DF，此时满足两边及其夹角对应相等（SAS），可以判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
选项D：添加∠B=∠E，此时满足两角及其夹边对应相等（ASA），可以判定△ABC≌△DEF，不符合题意。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的实际应用，解题的核心是熟练掌握各类全等判定定理的适用条件，尤其要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆不同判定的要求。
【难度系数】
0.8
6. 提升题 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,AD平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$于点E,下列结论:①$CD=ED$;②$AC+BE=AB$;③$∠ BDE=∠ BAC$;④$BE=DE$;⑤$S_{△ BDE}:S_{△ ACD}=BD:AC$.其中正确的有()
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
C
解析
【分析】
解题时我们结合已知条件，从角平分线的性质入手，依次结合全等三角形的判定与性质、直角三角形的角的关系、三角形面积公式，逐个验证5个结论是否成立：第一步利用角平分线性质判断结论①；第二步通过证明三角形全等得到边的等量关系，判断结论②；第三步利用直角三角形两锐角互余的性质判断结论③；第四步判断结论④是否依赖题目未给出的额外条件；第五步代入三角形面积公式化简比值，判断结论⑤，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
1. 验证结论①：
已知AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，且DE⊥AB，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得$CD=ED$，故①正确。
2. 验证结论②：
在$Rt△ ACD$和$Rt△ AED$中：
$\begin{cases} AD=AD \\ CD=ED \end{cases}$
∴$Rt△ ACD ≌ Rt△ AED$（HL），因此$AC=AE$。
又
∵$AB=AE+BE$，代入得$AB=AC+BE$，故②正确。
3. 验证结论③：
在$Rt△ ABC$中，$∠B+∠BAC=90°$；在$Rt△ BDE$中，$∠B+∠BDE=90°$。根据同角的余角相等，可得$∠BDE=∠BAC$，故③正确。
4. 验证结论④：
只有当$∠B=45°$时，$Rt△ BDE$为等腰直角三角形，才有$BE=DE$，题目未给出$∠B=45°$的条件，故④错误。
5. 验证结论⑤：
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2} × 底 × 高$，因此：
$S_{△ BDE}=\frac{1}{2} × BE × DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × CD$
由①知$CD=ED$，约去公共项后可得$S_{△ BDE}:S_{△ ACD}=BE:AC$，不是$BD:AC$，故⑤错误。
综上，正确的结论为①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题时要注意不要默认题目未给出的条件，判断结论时需严格结合已知条件推导，计算面积比时要准确代入公式化简。
【难度系数】
0.6
解题时我们结合已知条件，从角平分线的性质入手，依次结合全等三角形的判定与性质、直角三角形的角的关系、三角形面积公式，逐个验证5个结论是否成立：第一步利用角平分线性质判断结论①；第二步通过证明三角形全等得到边的等量关系，判断结论②；第三步利用直角三角形两锐角互余的性质判断结论③；第四步判断结论④是否依赖题目未给出的额外条件；第五步代入三角形面积公式化简比值，判断结论⑤，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
1. 验证结论①：
已知AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，且DE⊥AB，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得$CD=ED$，故①正确。
2. 验证结论②：
在$Rt△ ACD$和$Rt△ AED$中：
$\begin{cases} AD=AD \\ CD=ED \end{cases}$
∴$Rt△ ACD ≌ Rt△ AED$（HL），因此$AC=AE$。
又
∵$AB=AE+BE$，代入得$AB=AC+BE$，故②正确。
3. 验证结论③：
在$Rt△ ABC$中，$∠B+∠BAC=90°$；在$Rt△ BDE$中，$∠B+∠BDE=90°$。根据同角的余角相等，可得$∠BDE=∠BAC$，故③正确。
4. 验证结论④：
只有当$∠B=45°$时，$Rt△ BDE$为等腰直角三角形，才有$BE=DE$，题目未给出$∠B=45°$的条件，故④错误。
5. 验证结论⑤：
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2} × 底 × 高$，因此：
$S_{△ BDE}=\frac{1}{2} × BE × DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × CD$
由①知$CD=ED$，约去公共项后可得$S_{△ BDE}:S_{△ ACD}=BE:AC$，不是$BD:AC$，故⑤错误。
综上，正确的结论为①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题时要注意不要默认题目未给出的条件，判断结论时需严格结合已知条件推导，计算面积比时要准确代入公式化简。
【难度系数】
0.6
7.在平面直角坐标系中，点$P(1,-5)$关于$x$轴对称的点的坐标是。
答案
解：平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
点$P(1,-5)$的横坐标为1，纵坐标$-5$的相反数为$5$，因此点$P(1,-5)$关于$x$轴对称的点的坐标是$(1,5)$。
点$P(1,-5)$的横坐标为1，纵坐标$-5$的相反数为$5$，因此点$P(1,-5)$关于$x$轴对称的点的坐标是$(1,5)$。
解析
【分析】
解决本题首先要先明确平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。接下来提取已知点P的横、纵坐标，按照规律分别处理，就能得到对称点的坐标。
【解析】
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点P的坐标为$(1,-5)$，横坐标为1保持不变；纵坐标为$-5$，它的相反数是$5$。
因此点$P(1,-5)$关于x轴对称的点的坐标是$(1,5)$。
【答案】
$(1,5)$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征、相反数的概念
【点评】
本题属于基础题型，考查坐标轴对称时点的坐标变化规律的应用，熟练掌握对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要先明确平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。接下来提取已知点P的横、纵坐标，按照规律分别处理，就能得到对称点的坐标。
【解析】
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点P的坐标为$(1,-5)$，横坐标为1保持不变；纵坐标为$-5$，它的相反数是$5$。
因此点$P(1,-5)$关于x轴对称的点的坐标是$(1,5)$。
【答案】
$(1,5)$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征、相反数的概念
【点评】
本题属于基础题型，考查坐标轴对称时点的坐标变化规律的应用，熟练掌握对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8.如图,在$△ ABC$中,E是AC的中点,F是BE的中点,且$S_{△ ABC}=6\ \mathrm{cm}^2$,则阴影部分的面积为.
答案
$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}^2}$
解析
【分析】
解题核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分成两个面积相等的小三角形（原理是等底同高的三角形面积相等）。首先由E是AC中点，可知BE是△ABC的中线，能将△ABC分为面积相等的两部分；再由F是BE中点，可知CF、AF分别是△CBE、△ABE的中线，可将这两个三角形各自分为面积相等的两部分，最后建立阴影面积与总面积的关系即可求解。
【解析】
解：
∵E是AC的中点，
∴BE是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$。
又
∵F是BE的中点，
∴CF是△CBE的中线，AF是△ABE的中线，
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}S_{△ CBE}$，$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}$。
阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ CEF}+S_{△ ABF}=\frac{1}{2}S_{△ CBE}+\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{1}{2}(S_{△ CBE}+S_{△ ABE})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$3\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形中线的面积性质；等积变形
【点评】
本题属于三角形面积计算的基础常考题，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形面积的性质，两次运用该性质即可快速得到阴影部分和总面积的关系，计算难度低。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分成两个面积相等的小三角形（原理是等底同高的三角形面积相等）。首先由E是AC中点，可知BE是△ABC的中线，能将△ABC分为面积相等的两部分；再由F是BE中点，可知CF、AF分别是△CBE、△ABE的中线，可将这两个三角形各自分为面积相等的两部分，最后建立阴影面积与总面积的关系即可求解。
【解析】
解：
∵E是AC的中点，
∴BE是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$。
又
∵F是BE的中点，
∴CF是△CBE的中线，AF是△ABE的中线，
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}S_{△ CBE}$，$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}$。
阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ CEF}+S_{△ ABF}=\frac{1}{2}S_{△ CBE}+\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{1}{2}(S_{△ CBE}+S_{△ ABE})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$3\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形中线的面积性质；等积变形
【点评】
本题属于三角形面积计算的基础常考题，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形面积的性质，两次运用该性质即可快速得到阴影部分和总面积的关系，计算难度低。
【难度系数】
0.7
9.如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,
$AC=3,BC=4,AB=5$.若 $AD$ 平分
$∠ CAB$,交 $BC$ 于点 $D$,$E$,$F$ 分别是
$AD$,$AC$ 上的动点,则 $CE+EF$ 的最
小值为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
$AC=3,BC=4,AB=5$.若 $AD$ 平分
$∠ CAB$,交 $BC$ 于点 $D$,$E$,$F$ 分别是
$AD$,$AC$ 上的动点,则 $CE+EF$ 的最
小值为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
答案
解：
在AB边上取点$F'$，使$AF' = AF$，连接$EF'$。
∵ $AD$平分$∠ CAB$，
∴ $∠ CAE = ∠ F'AE$，
又∵ $AE = AE$，$AF = AF'$，
∴ $△ AEF ≌ △ AEF'$（SAS），
∴ $EF = EF'$，
∴ $CE + EF = CE + EF'$。
当$C$、$E$、$F'$三点共线，且$CF' ⊥ AB$时，$CE + EF'$取得最小值，该最小值即为$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AB$上的高。
由三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · h$
代入$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，得：
$\frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × h$
解得$h = \frac{12}{5}$。
故$CE+EF$的最小值为$\boldsymbol{\frac{12}{5}}$。
在AB边上取点$F'$，使$AF' = AF$，连接$EF'$。
∵ $AD$平分$∠ CAB$，
∴ $∠ CAE = ∠ F'AE$，
又∵ $AE = AE$，$AF = AF'$，
∴ $△ AEF ≌ △ AEF'$（SAS），
∴ $EF = EF'$，
∴ $CE + EF = CE + EF'$。
当$C$、$E$、$F'$三点共线，且$CF' ⊥ AB$时，$CE + EF'$取得最小值，该最小值即为$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AB$上的高。
由三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · h$
代入$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，得：
$\frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × h$
解得$h = \frac{12}{5}$。
故$CE+EF$的最小值为$\boldsymbol{\frac{12}{5}}$。
解析
【分析】
这是一道线段和最小值求解问题，解题思路如下：首先观察到AD是角平分线，可利用角平分线的对称性，将AC上的动点F通过对称转移到AB上，把EF转化为等长的线段，将CE+EF转化为两条共端点线段的和；再结合“两点之间线段最短”和“垂线段最短”的性质，确定两条线段和最小时的位置，此时的最小值就是点C到AB的垂线段长度，最后用三角形面积公式计算该垂线段长度即可。
【解析】
在AB边上取点$F'$，使$AF' = AF$，连接$EF'$。
∵ $AD$平分$∠ CAB$，
∴ $∠ CAE = ∠ F'AE$，
又
∵ $AE = AE$，$AF = AF'$，
∴ $△ AEF ≌ △ AEF'$（SAS），
∴ $EF = EF'$，
∴ $CE + EF = CE + EF'$。
当$C$、$E$、$F'$三点共线，且$CF' ⊥ AB$时，$CE + EF'$取得最小值，该最小值即为$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AB$上的高。
由三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · h$
代入$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，得：
$\frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × h$
解得$h = \frac{12}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{12}{5}}$
【知识点】
角平分线的性质，最短路径问题，三角形面积计算
【点评】
本题属于典型的最短路径类题型，解题关键是利用角平分线的对称性完成线段的等量转化，将分散的线段求和问题转化为点到直线的最短距离问题，同时考查了面积法求三角形高的常用技巧，能有效考察学生的转化思想和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6
这是一道线段和最小值求解问题，解题思路如下：首先观察到AD是角平分线，可利用角平分线的对称性，将AC上的动点F通过对称转移到AB上，把EF转化为等长的线段，将CE+EF转化为两条共端点线段的和；再结合“两点之间线段最短”和“垂线段最短”的性质，确定两条线段和最小时的位置，此时的最小值就是点C到AB的垂线段长度，最后用三角形面积公式计算该垂线段长度即可。
【解析】
在AB边上取点$F'$，使$AF' = AF$，连接$EF'$。
∵ $AD$平分$∠ CAB$，
∴ $∠ CAE = ∠ F'AE$，
又
∵ $AE = AE$，$AF = AF'$，
∴ $△ AEF ≌ △ AEF'$（SAS），
∴ $EF = EF'$，
∴ $CE + EF = CE + EF'$。
当$C$、$E$、$F'$三点共线，且$CF' ⊥ AB$时，$CE + EF'$取得最小值，该最小值即为$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AB$上的高。
由三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · h$
代入$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，得：
$\frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × h$
解得$h = \frac{12}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{12}{5}}$
【知识点】
角平分线的性质，最短路径问题，三角形面积计算
【点评】
本题属于典型的最短路径类题型，解题关键是利用角平分线的对称性完成线段的等量转化，将分散的线段求和问题转化为点到直线的最短距离问题，同时考查了面积法求三角形高的常用技巧，能有效考察学生的转化思想和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6
