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10.若等腰三角形的一个角是$80°$，则它的底角是。
答案
解：分两种情况讨论：
① 当已知的$80°$角为等腰三角形的顶角时，
底角$=\frac{180° - 80°}{2}=50°$，符合三角形内角和定理；
② 当已知的$80°$角为等腰三角形的底角时，
由等腰三角形两底角相等，得另一个底角也为$80°$，此时顶角为$180° - 80° × 2=20°$，符合三角形内角和定理。
综上，它的底角是$\boldsymbol{50°}$或$\boldsymbol{80°}$。
① 当已知的$80°$角为等腰三角形的顶角时，
底角$=\frac{180° - 80°}{2}=50°$，符合三角形内角和定理；
② 当已知的$80°$角为等腰三角形的底角时，
由等腰三角形两底角相等，得另一个底角也为$80°$，此时顶角为$180° - 80° × 2=20°$，符合三角形内角和定理。
综上，它的底角是$\boldsymbol{50°}$或$\boldsymbol{80°}$。
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的角度计算，解题时首先要明确等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。由于题干没有说明已知的80°角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分类讨论，每种情况计算后要验证是否符合三角形内角和定理，避免漏解或错解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当已知的$80°$角为等腰三角形的顶角时，
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为$180°$，可得底角$=\frac{180° - 80°}{2}=50°$，符合三角形内角和定理；
② 当已知的$80°$角为等腰三角形的底角时，
由等腰三角形两底角相等，得另一个底角也为$80°$，此时顶角为$180° - 80° × 2=20°$，符合三角形内角和定理。
综上，它的底角是$50°$或$80°$。
【答案】
$50°$或$80°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题关键是明确当题干未指定已知角是顶角还是底角时，必须分类讨论，且每一种情况都要验证是否满足三角形内角和定理，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
本题考查等腰三角形的角度计算，解题时首先要明确等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。由于题干没有说明已知的80°角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分类讨论，每种情况计算后要验证是否符合三角形内角和定理，避免漏解或错解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当已知的$80°$角为等腰三角形的顶角时，
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为$180°$，可得底角$=\frac{180° - 80°}{2}=50°$，符合三角形内角和定理；
② 当已知的$80°$角为等腰三角形的底角时，
由等腰三角形两底角相等，得另一个底角也为$80°$，此时顶角为$180° - 80° × 2=20°$，符合三角形内角和定理。
综上，它的底角是$50°$或$80°$。
【答案】
$50°$或$80°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题关键是明确当题干未指定已知角是顶角还是底角时，必须分类讨论，且每一种情况都要验证是否满足三角形内角和定理，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
11.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,BC=DC,CE⊥AD于点E.若AD=12,AB=7,则DE的长为.
答案
$\frac{5}{2}$（或2.5）
解析
【分析】
遇到角平分线相关的几何题，可优先考虑利用角平分线的性质作辅助线：过角平分线上的点作角两边的垂线，得到相等的垂线段。本题中AC平分∠BAD，CE⊥AD，因此我们过C作CF⊥AB交AB的延长线于F，可得CE=CF。再结合已知BC=DC，可证两组直角三角形全等，得到对应线段相等，最后通过线段的和差关系即可求出DE的长度。
【解析】
解：过点C作$CF⊥ AB$，交AB的延长线于点F。
∵AC平分$∠ BAD$，$CE⊥ AD$，$CF⊥ AB$，
∴$CF=CE$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠ F=∠ CED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CFB$和$\mathrm{Rt}△ CED$中：
$\begin{cases}CF=CE \\BC=DC\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ CFB≌\mathrm{Rt}△ CED(\mathrm{HL})$，得$BF=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ AFC$和$\mathrm{Rt}△ AEC$中：
$\begin{cases}CF=CE \\AC=AC\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ AFC≌\mathrm{Rt}△ AEC(\mathrm{HL})$，得$AF=AE$。
∵$AF=AB+BF$，$AE=AD-DE$，且$BF=DE$，
∴$AB+DE=AD-DE$。
代入$AB=7$，$AD=12$，得：
$7+DE=12-DE$，
$2DE=5$，
解得$DE=\frac{5}{2}=2.5$。
【答案】
$\frac{5}{2}$（或2.5）
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题的核心是通过构造辅助线得到全等三角形，将分散的线段条件转化为可计算的和差关系，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
遇到角平分线相关的几何题，可优先考虑利用角平分线的性质作辅助线：过角平分线上的点作角两边的垂线，得到相等的垂线段。本题中AC平分∠BAD，CE⊥AD，因此我们过C作CF⊥AB交AB的延长线于F，可得CE=CF。再结合已知BC=DC，可证两组直角三角形全等，得到对应线段相等，最后通过线段的和差关系即可求出DE的长度。
【解析】
解：过点C作$CF⊥ AB$，交AB的延长线于点F。
∵AC平分$∠ BAD$，$CE⊥ AD$，$CF⊥ AB$，
∴$CF=CE$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠ F=∠ CED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CFB$和$\mathrm{Rt}△ CED$中：
$\begin{cases}CF=CE \\BC=DC\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ CFB≌\mathrm{Rt}△ CED(\mathrm{HL})$，得$BF=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ AFC$和$\mathrm{Rt}△ AEC$中：
$\begin{cases}CF=CE \\AC=AC\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ AFC≌\mathrm{Rt}△ AEC(\mathrm{HL})$，得$AF=AE$。
∵$AF=AB+BF$，$AE=AD-DE$，且$BF=DE$，
∴$AB+DE=AD-DE$。
代入$AB=7$，$AD=12$，得：
$7+DE=12-DE$，
$2DE=5$，
解得$DE=\frac{5}{2}=2.5$。
【答案】
$\frac{5}{2}$（或2.5）
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题的核心是通过构造辅助线得到全等三角形，将分散的线段条件转化为可计算的和差关系，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
12.提升题＞如图，$CA⊥AB$，垂足为$A$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，射线$BM⊥AB$，垂足为$B$。一动点$E$从点$A$出发，以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿射线$AN$运动，$D$为射线$BM$上一动点，随着点$E$运动而运动，且始终保持$ED=CB$。当点$E$运动$\mathrm{s}$时，点$B$，$D$，$E$组成的三角形与点$A$，$B$，$C$组成的三角形全等。
答案
解：设点E运动的时间为$ t $秒，则$ AE = 2t\ \mathrm{cm} $。
由题意得$ ∠ A = ∠ EBD = 90° $，且斜边$ ED = CB $，分4种情况讨论：
1. 当$ BE = AC = 4\ \mathrm{cm} $，点E在线段AB上时：
$ AE = AB - BE = 8 - 4 = 4\ \mathrm{cm} $，
$ t = \frac{4}{2} = 2\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BED \ (\mathrm{HL}) $。
2. 当$ BE = AC = 4\ \mathrm{cm} $，点E在点B右侧的射线AN上时：
$ AE = AB + BE = 8 + 4 = 12\ \mathrm{cm} $，
$ t = \frac{12}{2} = 6\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BED \ (\mathrm{HL}) $。
3. 当$ BE = AB = 8\ \mathrm{cm} $，点E与点A重合时：
$ AE = 0\ \mathrm{cm} $，
$ t = 0\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BDE \ (\mathrm{HL}) $。
4. 当$ BE = AB = 8\ \mathrm{cm} $，点E在点B右侧的射线AN上时：
$ AE = AB + BE = 8 + 8 = 16\ \mathrm{cm} $，
$ t = \frac{16}{2} = 8\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BDE \ (\mathrm{HL}) $。
综上，答案为$\boldsymbol{0或2或6或8}$。
由题意得$ ∠ A = ∠ EBD = 90° $，且斜边$ ED = CB $，分4种情况讨论：
1. 当$ BE = AC = 4\ \mathrm{cm} $，点E在线段AB上时：
$ AE = AB - BE = 8 - 4 = 4\ \mathrm{cm} $，
$ t = \frac{4}{2} = 2\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BED \ (\mathrm{HL}) $。
2. 当$ BE = AC = 4\ \mathrm{cm} $，点E在点B右侧的射线AN上时：
$ AE = AB + BE = 8 + 4 = 12\ \mathrm{cm} $，
$ t = \frac{12}{2} = 6\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BED \ (\mathrm{HL}) $。
3. 当$ BE = AB = 8\ \mathrm{cm} $，点E与点A重合时：
$ AE = 0\ \mathrm{cm} $，
$ t = 0\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BDE \ (\mathrm{HL}) $。
4. 当$ BE = AB = 8\ \mathrm{cm} $，点E在点B右侧的射线AN上时：
$ AE = AB + BE = 8 + 8 = 16\ \mathrm{cm} $，
$ t = \frac{16}{2} = 8\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BDE \ (\mathrm{HL}) $。
综上，答案为$\boldsymbol{0或2或6或8}$。
解析
【分析】
本题考查直角三角形全等的判定，解题思路如下：首先明确题中$△ ACB$和$△ BDE$均为直角三角形，已知斜边$ED=CB$，根据HL判定定理，只需满足一组直角边对应相等即可证明两三角形全等。接下来需分两类情况讨论：一是全等时直角边的对应关系（$BE=AC$或$BE=AB$），二是动点E的位置（与点A重合、在线段AB上、在点B右侧的射线AN上），不要遗漏任何一种情况，最后结合E的运动速度计算对应时间即可。
【解析】
设点E运动的时间为$ t $秒，则$ AE = 2t\ \mathrm{cm} $。
由题意得$ ∠ A = ∠ EBD = 90° $，且斜边$ ED = CB $，分4种情况讨论：
1. 当$ BE = AC = 4\ \mathrm{cm} $，点E在线段AB上时：
$ AE = AB - BE = 8 - 4 = 4\ \mathrm{cm} $，
$ t = \frac{4}{2} = 2\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BED \ (\mathrm{HL}) $。
2. 当$ BE = AC = 4\ \mathrm{cm} $，点E在点B右侧的射线AN上时：
$ AE = AB + BE = 8 + 4 = 12\ \mathrm{cm} $，
$ t = \frac{12}{2} = 6\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BED \ (\mathrm{HL}) $。
3. 当$ BE = AB = 8\ \mathrm{cm} $，点E与点A重合时：
$ AE = 0\ \mathrm{cm} $，
$ t = \frac{0}{2} = 0\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BDE \ (\mathrm{HL}) $。
4. 当$ BE = AB = 8\ \mathrm{cm} $，点E在点B右侧的射线AN上时：
$ AE = AB + BE = 8 + 8 = 16\ \mathrm{cm} $，
$ t = \frac{16}{2} = 8\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BDE \ (\mathrm{HL}) $。
【答案】
$\boldsymbol{0或2或6或8}$
【知识点】
直角三角形全等判定，分类讨论思想，动点问题计算
【点评】
本题是动点结合全等判定的典型习题，解题核心是抓住HL判定的成立条件，对全等的对应边情况、动点的所有可能位置进行全面分类，避免因漏解导致答案不完整。
【难度系数】
0.3
本题考查直角三角形全等的判定，解题思路如下：首先明确题中$△ ACB$和$△ BDE$均为直角三角形，已知斜边$ED=CB$，根据HL判定定理，只需满足一组直角边对应相等即可证明两三角形全等。接下来需分两类情况讨论：一是全等时直角边的对应关系（$BE=AC$或$BE=AB$），二是动点E的位置（与点A重合、在线段AB上、在点B右侧的射线AN上），不要遗漏任何一种情况，最后结合E的运动速度计算对应时间即可。
【解析】
设点E运动的时间为$ t $秒，则$ AE = 2t\ \mathrm{cm} $。
由题意得$ ∠ A = ∠ EBD = 90° $，且斜边$ ED = CB $，分4种情况讨论：
1. 当$ BE = AC = 4\ \mathrm{cm} $，点E在线段AB上时：
$ AE = AB - BE = 8 - 4 = 4\ \mathrm{cm} $，
$ t = \frac{4}{2} = 2\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BED \ (\mathrm{HL}) $。
2. 当$ BE = AC = 4\ \mathrm{cm} $，点E在点B右侧的射线AN上时：
$ AE = AB + BE = 8 + 4 = 12\ \mathrm{cm} $，
$ t = \frac{12}{2} = 6\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BED \ (\mathrm{HL}) $。
3. 当$ BE = AB = 8\ \mathrm{cm} $，点E与点A重合时：
$ AE = 0\ \mathrm{cm} $，
$ t = \frac{0}{2} = 0\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BDE \ (\mathrm{HL}) $。
4. 当$ BE = AB = 8\ \mathrm{cm} $，点E在点B右侧的射线AN上时：
$ AE = AB + BE = 8 + 8 = 16\ \mathrm{cm} $，
$ t = \frac{16}{2} = 8\ \mathrm{s} $，此时$ \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ BDE \ (\mathrm{HL}) $。
【答案】
$\boldsymbol{0或2或6或8}$
【知识点】
直角三角形全等判定，分类讨论思想，动点问题计算
【点评】
本题是动点结合全等判定的典型习题，解题核心是抓住HL判定的成立条件，对全等的对应边情况、动点的所有可能位置进行全面分类，避免因漏解导致答案不完整。
【难度系数】
0.3
三、解答题
13.一个三角形的三边长分别为$a,b,c$，且$b=2,c=7$.
(1)当各边长均为整数时，可以组成个不同的三角形；
(2)若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？
13.一个三角形的三边长分别为$a,b,c$，且$b=2,c=7$.
(1)当各边长均为整数时，可以组成个不同的三角形；
(2)若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？
答案
解：
(1) 根据三角形三边关系，可得 $ c - b ＜ a ＜ c + b $，
将 $ b=2,c=7 $ 代入，得 $ 7-2 ＜ a ＜ 7+2 $，即 $ 5 ＜ a ＜ 9 $。
因为边长a为整数，所以a可取6、7、8，共3个值，即可以组成3个不同的三角形。
(2) 若该三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当腰长为2时，三边长为2,2,7，
因为 $ 2+2=4 ＜ 7 $，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去该情况；
② 当腰长为7时，三边长为2,7,7，
满足 $ 5＜7＜9 $，符合三角形三边关系。
此时三角形周长为 $ 2+7+7=16 $。
答：该等腰三角形的周长是16。
(1) 根据三角形三边关系，可得 $ c - b ＜ a ＜ c + b $，
将 $ b=2,c=7 $ 代入，得 $ 7-2 ＜ a ＜ 7+2 $，即 $ 5 ＜ a ＜ 9 $。
因为边长a为整数，所以a可取6、7、8，共3个值，即可以组成3个不同的三角形。
(2) 若该三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当腰长为2时，三边长为2,2,7，
因为 $ 2+2=4 ＜ 7 $，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去该情况；
② 当腰长为7时，三边长为2,7,7，
满足 $ 5＜7＜9 $，符合三角形三边关系。
此时三角形周长为 $ 2+7+7=16 $。
答：该等腰三角形的周长是16。
解析
【分析】
本题围绕三角形三边关系和等腰三角形的性质设置问题，解题思路清晰明确：
1. 第(1)问核心是运用三角形三边关系确定未知边a的取值范围。首先回忆三角形“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”的性质，代入已知的b、c边长求出a的取值区间，再结合a为整数的限制，统计符合条件的a的个数即可。
2. 第(2)问是等腰三角形的分类讨论问题，等腰三角形的腰长未明确给出，因此需要分腰长为2、腰长为7两种情况分别验证，每种情况都要先判断三边长是否满足三角形三边关系，舍去无法构成三角形的情况，再对符合条件的情况计算周长。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，可得 $ c - b ＜ a ＜ c + b $，
将 $ b=2,c=7 $ 代入，得 $ 7-2 ＜ a ＜ 7+2 $，即 $ 5 ＜ a ＜ 9 $。
因为边长a为整数，所以a可取6、7、8，共3个值，即可以组成3个不同的三角形。
(2) 若该三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当腰长为2时，三边长为2,2,7，
因为 $ 2+2=4 ＜ 7 $，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去该情况；
② 当腰长为7时，三边长为2,7,7，
满足 $ 5＜7＜9 $，符合三角形三边关系。
此时三角形周长为 $ 2+7+7=16 $。
综上，该等腰三角形的周长是16。
【答案】
(1) 3；(2) 16
【知识点】
三角形三边关系；等腰三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题是三角形板块的基础常规题型，重点考查三角形三边关系的应用，易错点为解答等腰三角形相关问题时漏分类，或分类后未验证三边是否能构成三角形导致错解。
【难度系数】
0.75
本题围绕三角形三边关系和等腰三角形的性质设置问题，解题思路清晰明确：
1. 第(1)问核心是运用三角形三边关系确定未知边a的取值范围。首先回忆三角形“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”的性质，代入已知的b、c边长求出a的取值区间，再结合a为整数的限制，统计符合条件的a的个数即可。
2. 第(2)问是等腰三角形的分类讨论问题，等腰三角形的腰长未明确给出，因此需要分腰长为2、腰长为7两种情况分别验证，每种情况都要先判断三边长是否满足三角形三边关系，舍去无法构成三角形的情况，再对符合条件的情况计算周长。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，可得 $ c - b ＜ a ＜ c + b $，
将 $ b=2,c=7 $ 代入，得 $ 7-2 ＜ a ＜ 7+2 $，即 $ 5 ＜ a ＜ 9 $。
因为边长a为整数，所以a可取6、7、8，共3个值，即可以组成3个不同的三角形。
(2) 若该三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当腰长为2时，三边长为2,2,7，
因为 $ 2+2=4 ＜ 7 $，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去该情况；
② 当腰长为7时，三边长为2,7,7，
满足 $ 5＜7＜9 $，符合三角形三边关系。
此时三角形周长为 $ 2+7+7=16 $。
综上，该等腰三角形的周长是16。
【答案】
(1) 3；(2) 16
【知识点】
三角形三边关系；等腰三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题是三角形板块的基础常规题型，重点考查三角形三边关系的应用，易错点为解答等腰三角形相关问题时漏分类，或分类后未验证三边是否能构成三角形导致错解。
【难度系数】
0.75
14.如图,已知$AB// CD$,$AC$平分$∠ BAD$.(1)求证$AD=DC$;(2)若$∠ D=120°$,$AC⊥ CB$,求$∠ B$的度数.
（第14题）
（第14题）答案
(1) 证明：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ DCA = ∠ CAB$。
∵ $AC$ 平分 $∠ BAD$，
∴ $∠ DAC = ∠ CAB$，
∴ $∠ DCA = ∠ DAC$，
∴ $AD = DC$。
---
(2) 解：
在 $△ ADC$ 中，$∠ D = 120°$，$∠ DCA = ∠ DAC$，
∴ $∠ DAC = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
∴ $∠ CAB = ∠ DAC = 30°$。
∵ $AC⊥ CB$，
∴ $∠ ACB = 90°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ CAB = 90° - 30° = 60°$。
答：$∠ B$ 的度数为 $60°$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ DCA = ∠ CAB$。
∵ $AC$ 平分 $∠ BAD$，
∴ $∠ DAC = ∠ CAB$，
∴ $∠ DCA = ∠ DAC$，
∴ $AD = DC$。
---
(2) 解：
在 $△ ADC$ 中，$∠ D = 120°$，$∠ DCA = ∠ DAC$，
∴ $∠ DAC = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
∴ $∠ CAB = ∠ DAC = 30°$。
∵ $AC⊥ CB$，
∴ $∠ ACB = 90°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ CAB = 90° - 30° = 60°$。
答：$∠ B$ 的度数为 $60°$。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 要证明$AD=DC$，可通过“等角对等边”推导，即证明$△ ADC$中两个内角相等。首先根据平行线的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义，通过等量代换得到两个角相等，即可证得对应边相等。
(2) 求$∠ B$的度数，先利用第(1)问的结论，在等腰$△ ADC$中结合三角形内角和算出$∠ DAC$的度数，再根据角平分线性质得到$∠ CAB$的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出$∠ B$的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB//CD$，
∴ $∠DCA = ∠CAB$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AC$ 平分 $∠BAD$，
∴ $∠DAC = ∠CAB$（角平分线的定义），
∴ $∠DCA = ∠DAC$，
∴ $AD = DC$（等角对等边）。
(2) 解：
在 $△ ADC$ 中，$∠ D = 120°$，$∠ DCA = ∠ DAC$，
由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ DAC = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
∴ $∠ CAB = ∠ DAC = 30°$。
∵ $AC⊥ CB$，
∴ $∠ ACB = 90°$（垂直的定义），
在$Rt△ ACB$中，两锐角互余，
∴ $∠ B = 90° - ∠ CAB = 90° - 30° = 60°$。
【答案】
(1) 证明成立，$AD=DC$；
(2) $∠ B$的度数为$\boldsymbol{60°}$。
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是角的等量代换，需要熟练掌握平行线、角平分线、等腰三角形和直角三角形的相关基础定理，梳理清楚角与角、边与角的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 要证明$AD=DC$，可通过“等角对等边”推导，即证明$△ ADC$中两个内角相等。首先根据平行线的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义，通过等量代换得到两个角相等，即可证得对应边相等。
(2) 求$∠ B$的度数，先利用第(1)问的结论，在等腰$△ ADC$中结合三角形内角和算出$∠ DAC$的度数，再根据角平分线性质得到$∠ CAB$的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出$∠ B$的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB//CD$，
∴ $∠DCA = ∠CAB$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AC$ 平分 $∠BAD$，
∴ $∠DAC = ∠CAB$（角平分线的定义），
∴ $∠DCA = ∠DAC$，
∴ $AD = DC$（等角对等边）。
(2) 解：
在 $△ ADC$ 中，$∠ D = 120°$，$∠ DCA = ∠ DAC$，
由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ DAC = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
∴ $∠ CAB = ∠ DAC = 30°$。
∵ $AC⊥ CB$，
∴ $∠ ACB = 90°$（垂直的定义），
在$Rt△ ACB$中，两锐角互余，
∴ $∠ B = 90° - ∠ CAB = 90° - 30° = 60°$。
【答案】
(1) 证明成立，$AD=DC$；
(2) $∠ B$的度数为$\boldsymbol{60°}$。
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是角的等量代换，需要熟练掌握平行线、角平分线、等腰三角形和直角三角形的相关基础定理，梳理清楚角与角、边与角的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
15.如图,点A,B,D,E在同一条直线上,AD=EB,AC//EF,∠C=∠F.求证△ABC≌△EDF.
答案
证明：
∵ AD = EB，
∴ AD - BD = EB - BD，
即 AB = ED。
∵ AC // EF，
∴ ∠A = ∠E。
在△ABC和△EDF中，
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠F, \\∠A = ∠E, \\AB = ED,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △EDF（AAS）。
∵ AD = EB，
∴ AD - BD = EB - BD，
即 AB = ED。
∵ AC // EF，
∴ ∠A = ∠E。
在△ABC和△EDF中，
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠F, \\∠A = ∠E, \\AB = ED,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △EDF（AAS）。
解析
【分析】
要证明△ABC≌△EDF，首先结合三角形全等的判定定理梳理已知条件：已知∠C=∠F，由AC//EF可根据平行线的性质得到一组内错角相等，此时还缺一组边相等的条件；再根据AD=EB，将两条线段同时减去公共部分BD，即可得到AB=ED，三组条件满足AAS的全等判定，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD = EB，
∴ AD - BD = EB - BD，
即 AB = ED。
∵ AC // EF，
∴ ∠A = ∠E。
在△ABC和△EDF中，
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠F, \\∠A = ∠E, \\AB = ED,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △EDF（AAS）。
【答案】
证明：
∵ AD = EB，
∴ AD - BD = EB - BD，
即 AB = ED。
∵ AC // EF，
∴ ∠A = ∠E。
在△ABC和△EDF中，
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠F, \\∠A = ∠E, \\AB = ED,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △EDF（AAS）。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的AAS判定；线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是结合已知条件推导全等所需的边、角相等关系，需要熟练掌握平行线的性质和全等三角形的判定定理，是几何证明的常考基础类型。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC≌△EDF，首先结合三角形全等的判定定理梳理已知条件：已知∠C=∠F，由AC//EF可根据平行线的性质得到一组内错角相等，此时还缺一组边相等的条件；再根据AD=EB，将两条线段同时减去公共部分BD，即可得到AB=ED，三组条件满足AAS的全等判定，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD = EB，
∴ AD - BD = EB - BD，
即 AB = ED。
∵ AC // EF，
∴ ∠A = ∠E。
在△ABC和△EDF中，
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠F, \\∠A = ∠E, \\AB = ED,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △EDF（AAS）。
【答案】
证明：
∵ AD = EB，
∴ AD - BD = EB - BD，
即 AB = ED。
∵ AC // EF，
∴ ∠A = ∠E。
在△ABC和△EDF中，
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠F, \\∠A = ∠E, \\AB = ED,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △EDF（AAS）。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的AAS判定；线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是结合已知条件推导全等所需的边、角相等关系，需要熟练掌握平行线的性质和全等三角形的判定定理，是几何证明的常考基础类型。
【难度系数】
0.8
