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16.(1)如图①，已知BE,CD是$△ ABC$的角平分线，请你仅用无刻度的直尺作出$∠ BAC$的平分线；
(2)如图②，已知$∠ ABC=∠ DCB$，且BD,CA分别平分$∠ ABC$与$∠ DCB$，AC与BD相交于点O，请你仅用无刻度的直尺作出$∠ BOC$的平分线。
(2)如图②，已知$∠ ABC=∠ DCB$，且BD,CA分别平分$∠ ABC$与$∠ DCB$，AC与BD相交于点O，请你仅用无刻度的直尺作出$∠ BOC$的平分线。
答案
解：
(1) 设BE与CD交于点P，作射线AP，则射线AP即为所求的∠BAC的平分线。
(2) 分别延长BA、CD，两延长线交于点P，作射线OP，则射线OP即为所求的∠BOC的平分线。
(1) 设BE与CD交于点P，作射线AP，则射线AP即为所求的∠BAC的平分线。
(2) 分别延长BA、CD，两延长线交于点P，作射线OP，则射线OP即为所求的∠BOC的平分线。
解析
【分析】
(1) 解题思路：根据三角形角平分线的性质，三角形的三条角平分线相交于同一点，已知BE、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，二者的交点必然在∠BAC的平分线上，因此只需连接该交点与点A，所得射线就是∠BAC的平分线。
(2) 解题思路：首先由已知∠ABC=∠DCB，延长BA、CD交于点P后可得到等腰△PBC；又BD、CA分别是两个底角的平分线，它们的交点O在∠BPC的平分线上，同时△BOC中∠OBC=∠OCB，也为等腰三角形，根据对称性，射线OP同时平分∠BOC，因此作射线OP即可。
【解析】
(1) ① 标记BE与CD的交点为点P；
② 由三角形三条角平分线交于同一点的性质可知，点P在∠BAC的平分线上，作射线AP，射线AP就是∠BAC的平分线。
(2) ① 分别延长BA、CD，两条延长线交于点P，此时△PBC中∠PBC=∠PCB，是等腰三角形；
② 因为BD平分∠ABC，CA平分∠DCB，二者交点O在∠BPC的角平分线上，结合等腰三角形的轴对称性，射线OP同时平分∠BOC，作射线OP，射线OP就是∠BOC的平分线。
【答案】
(1) 设BE与CD交于点P，作射线AP，则射线AP即为所求的∠BAC的平分线。
(2) 分别延长BA、CD，两延长线交于点P，作射线OP，则射线OP即为所求的∠BOC的平分线。
【知识点】
1. 三角形角平分线共点性质
2. 等腰三角形的性质
3. 无刻度直尺作图
【点评】
本题属于几何无刻度直尺作图题，解题核心是利用已学的三角形、等腰三角形的性质确定关键点位，不需要进行度量操作，能够有效考查对几何基本性质的理解与应用能力，熟练掌握三角形角平分线和等腰三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：根据三角形角平分线的性质，三角形的三条角平分线相交于同一点，已知BE、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，二者的交点必然在∠BAC的平分线上，因此只需连接该交点与点A，所得射线就是∠BAC的平分线。
(2) 解题思路：首先由已知∠ABC=∠DCB，延长BA、CD交于点P后可得到等腰△PBC；又BD、CA分别是两个底角的平分线，它们的交点O在∠BPC的平分线上，同时△BOC中∠OBC=∠OCB，也为等腰三角形，根据对称性，射线OP同时平分∠BOC，因此作射线OP即可。
【解析】
(1) ① 标记BE与CD的交点为点P；
② 由三角形三条角平分线交于同一点的性质可知，点P在∠BAC的平分线上，作射线AP，射线AP就是∠BAC的平分线。
(2) ① 分别延长BA、CD，两条延长线交于点P，此时△PBC中∠PBC=∠PCB，是等腰三角形；
② 因为BD平分∠ABC，CA平分∠DCB，二者交点O在∠BPC的角平分线上，结合等腰三角形的轴对称性，射线OP同时平分∠BOC，作射线OP，射线OP就是∠BOC的平分线。
【答案】
(1) 设BE与CD交于点P，作射线AP，则射线AP即为所求的∠BAC的平分线。
(2) 分别延长BA、CD，两延长线交于点P，作射线OP，则射线OP即为所求的∠BOC的平分线。
【知识点】
1. 三角形角平分线共点性质
2. 等腰三角形的性质
3. 无刻度直尺作图
【点评】
本题属于几何无刻度直尺作图题，解题核心是利用已学的三角形、等腰三角形的性质确定关键点位，不需要进行度量操作，能够有效考查对几何基本性质的理解与应用能力，熟练掌握三角形角平分线和等腰三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
17.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,4),B(-4,1),C(-1,2).
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A₁B₁C₁;
(2)请直接写出点C关于y轴的对称点C'的坐标:;
(3)在y轴上找一点P,使得△PAC的周长最小.(保留作图痕迹,不写作法)
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A₁B₁C₁;
(2)请直接写出点C关于y轴的对称点C'的坐标:;
(3)在y轴上找一点P,使得△PAC的周长最小.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
解：
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得$A_1(-3,-4)$，$B_1(-4,-1)$，$C_1(-1,-2)$，在坐标系中描出这三个点，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即得到$△ ABC$关于x轴的对称图形$△ A_1B_1C_1$。
(2) $\boldsymbol{(1,2)}$
(3) 由于AC的长度是定值，要使$△ PAC$的周长最小，只需$PA+PC$的值最小。作点C关于y轴的对称点$C'(1,2)$，连接$AC'$，直线$AC'$与y轴的交点即为所求的点P，保留作图痕迹即可。
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得$A_1(-3,-4)$，$B_1(-4,-1)$，$C_1(-1,-2)$，在坐标系中描出这三个点，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即得到$△ ABC$关于x轴的对称图形$△ A_1B_1C_1$。
(2) $\boldsymbol{(1,2)}$
(3) 由于AC的长度是定值，要使$△ PAC$的周长最小，只需$PA+PC$的值最小。作点C关于y轴的对称点$C'(1,2)$，连接$AC'$，直线$AC'$与y轴的交点即为所求的点P，保留作图痕迹即可。
解析
【分析】
本题分三个小问，解题思路如下：
(1) 作△ABC关于x轴的对称图形，可利用关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出三个顶点的对称点坐标，再依次描点连线即可得到对称图形。
(2) 求点C关于y轴的对称点坐标，根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，直接代入C点坐标计算即可。
(3) 要使△PAC周长最小，观察周长组成：△PAC的周长=PA+PC+AC，AC长度是固定值，因此只需PA+PC的值最小即可，属于轴对称最短路径问题，作其中一个点关于y轴的对称点，连接对称点与另一个点，连线与y轴的交点即为所求P点，依据是两点之间线段最短。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得A的对称点$A_1(-3,-4)$，B的对称点$B_1(-4,-1)$，C的对称点$C_1(-1,-2)$，在坐标系中依次描出三个点，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，所得$△ A_1B_1C_1$就是$△ ABC$关于x轴的对称图形。
(2) 关于y轴对称的点的坐标特征为：纵坐标不变，横坐标互为相反数，已知C点坐标为$(-1,2)$，则其对称点$C'$的横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标不变为2，因此$C'$坐标为$(1,2)$。
(3) $△ PAC$的周长$=PA+PC+AC$，AC长度为定值，因此要使周长最小，只需$PA+PC$的和最小。作点C关于y轴的对称点$C'(1,2)$，由轴对称性质可知$PC=PC'$，因此$PA+PC=PA+PC'$，根据两点之间线段最短，当A、P、$C'$三点共线时，$PA+PC'$的值最小，因此连接$AC'$，$AC'$与y轴的交点即为所求点P，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) $\boldsymbol{(1,2)}$；
(3) 作图见解析。
【知识点】
1. 坐标与轴对称变换
2. 轴对称点的坐标特征
3. 最短路径问题
【点评】
本题是平面直角坐标系与轴对称结合的基础应用题，既考查了坐标轴对称的坐标变化规律，又考查了最短路径的构造方法，能有效检验学生对轴对称性质的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
本题分三个小问，解题思路如下：
(1) 作△ABC关于x轴的对称图形，可利用关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出三个顶点的对称点坐标，再依次描点连线即可得到对称图形。
(2) 求点C关于y轴的对称点坐标，根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，直接代入C点坐标计算即可。
(3) 要使△PAC周长最小，观察周长组成：△PAC的周长=PA+PC+AC，AC长度是固定值，因此只需PA+PC的值最小即可，属于轴对称最短路径问题，作其中一个点关于y轴的对称点，连接对称点与另一个点，连线与y轴的交点即为所求P点，依据是两点之间线段最短。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得A的对称点$A_1(-3,-4)$，B的对称点$B_1(-4,-1)$，C的对称点$C_1(-1,-2)$，在坐标系中依次描出三个点，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，所得$△ A_1B_1C_1$就是$△ ABC$关于x轴的对称图形。
(2) 关于y轴对称的点的坐标特征为：纵坐标不变，横坐标互为相反数，已知C点坐标为$(-1,2)$，则其对称点$C'$的横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标不变为2，因此$C'$坐标为$(1,2)$。
(3) $△ PAC$的周长$=PA+PC+AC$，AC长度为定值，因此要使周长最小，只需$PA+PC$的和最小。作点C关于y轴的对称点$C'(1,2)$，由轴对称性质可知$PC=PC'$，因此$PA+PC=PA+PC'$，根据两点之间线段最短，当A、P、$C'$三点共线时，$PA+PC'$的值最小，因此连接$AC'$，$AC'$与y轴的交点即为所求点P，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) $\boldsymbol{(1,2)}$；
(3) 作图见解析。
【知识点】
1. 坐标与轴对称变换
2. 轴对称点的坐标特征
3. 最短路径问题
【点评】
本题是平面直角坐标系与轴对称结合的基础应用题，既考查了坐标轴对称的坐标变化规律，又考查了最短路径的构造方法，能有效检验学生对轴对称性质的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
18.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.
(1)若$∠ A=40°$,求$∠ EBC$的度数;
(2)若$AD=5$,$△ EBC$的周长为16,求$△ ABC$的周长.
(1)若$∠ A=40°$,求$∠ EBC$的度数;
(2)若$AD=5$,$△ EBC$的周长为16,求$△ ABC$的周长.
答案
解：
(1) ∵ AB=AC，∠A=40°，
∴ ∠ABC = ∠C = $\frac{1}{2}×(180° - ∠ A) = 70°$。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AE = BE，
∴ ∠ABE = ∠A = 40°，
∴ ∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = 70° - 40° = 30°。
(2) ∵ DE是AB的垂直平分线，AD=5，
∴ AB = 2AD = 10，且AE = BE。
∵ △EBC的周长为16，
∴ BE + EC + BC = 16，
将BE替换为AE，得 $AE + EC + BC = 16$，即 $AC + BC = 16$。
∴ △ABC的周长 = AB + AC + BC = 10 + 16 = 26。
答：(1) ∠EBC的度数为$30°$；(2) △ABC的周长为26。
(1) ∵ AB=AC，∠A=40°，
∴ ∠ABC = ∠C = $\frac{1}{2}×(180° - ∠ A) = 70°$。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AE = BE，
∴ ∠ABE = ∠A = 40°，
∴ ∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = 70° - 40° = 30°。
(2) ∵ DE是AB的垂直平分线，AD=5，
∴ AB = 2AD = 10，且AE = BE。
∵ △EBC的周长为16，
∴ BE + EC + BC = 16，
将BE替换为AE，得 $AE + EC + BC = 16$，即 $AC + BC = 16$。
∴ △ABC的周长 = AB + AC + BC = 10 + 16 = 26。
答：(1) ∠EBC的度数为$30°$；(2) △ABC的周长为26。
解析
【分析】
(1) 首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合已知∠A的度数，利用等腰三角形两底角相等的性质可求出∠ABC的度数；再根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而推出∠ABE=∠A，最后用∠ABC减去∠ABE即可得到∠EBC的度数。
(2) 先根据线段垂直平分线的性质，由AD=5求出AB的长度；再利用AE=BE，将△EBC的周长中的BE替换为AE，可得到AC+BC的长度，最后将AB、AC、BC的长度相加即可求出△ABC的周长。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，∠A=40°，
∴ ∠ABC = ∠C = $\frac{1}{2}×(180° - ∠ A) = 70°$。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AE = BE，
∴ ∠ABE = ∠A = 40°，
∴ ∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = 70° - 40° = 30°。
(2)
∵ DE是AB的垂直平分线，AD=5，
∴ AB = 2AD = 10，且AE = BE。
∵ △EBC的周长为16，
∴ BE + EC + BC = 16，
将BE替换为AE，得 $AE + EC + BC = 16$，即 $AC + BC = 16$。
∴ △ABC的周长 = AB + AC + BC = 10 + 16 = 26。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) $\boxed{26}$
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于几何基础常考题，解题关键是灵活运用线段垂直平分线的性质完成边角的等量代换，掌握相关性质后求解难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合已知∠A的度数，利用等腰三角形两底角相等的性质可求出∠ABC的度数；再根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而推出∠ABE=∠A，最后用∠ABC减去∠ABE即可得到∠EBC的度数。
(2) 先根据线段垂直平分线的性质，由AD=5求出AB的长度；再利用AE=BE，将△EBC的周长中的BE替换为AE，可得到AC+BC的长度，最后将AB、AC、BC的长度相加即可求出△ABC的周长。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，∠A=40°，
∴ ∠ABC = ∠C = $\frac{1}{2}×(180° - ∠ A) = 70°$。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AE = BE，
∴ ∠ABE = ∠A = 40°，
∴ ∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = 70° - 40° = 30°。
(2)
∵ DE是AB的垂直平分线，AD=5，
∴ AB = 2AD = 10，且AE = BE。
∵ △EBC的周长为16，
∴ BE + EC + BC = 16，
将BE替换为AE，得 $AE + EC + BC = 16$，即 $AC + BC = 16$。
∴ △ABC的周长 = AB + AC + BC = 10 + 16 = 26。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) $\boxed{26}$
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于几何基础常考题，解题关键是灵活运用线段垂直平分线的性质完成边角的等量代换，掌握相关性质后求解难度较低。
【难度系数】
0.7
