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19. 如图，△ABC为等边三角形，D为BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作等边三角形CDE，连接AE.
(1)求证BD=AE；
(2)判断AE与BC的位置关系，并说明理由.
(1)求证BD=AE；
(2)判断AE与BC的位置关系，并说明理由.
答案
(1) 证明：
∵ $△ ABC$和$△ CDE$都是等边三角形，
∴ $BC=AC$，$CD=CE$，$∠ BCA=∠ DCE=60°$，
∴ $∠ BCA + ∠ ACD = ∠ DCE + ∠ ACD$，
即 $∠ BCD = ∠ ACE$。
在$△ BCD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases}BC=AC \\∠ BCD=∠ ACE \\CD=CE\end{cases}$
∴ $△ BCD ≌ △ ACE$（SAS），
∴ $BD=AE$。
---
(2) 解：$AE// BC$，理由如下：
由(1)得$△ BCD ≌ △ ACE$，
∴ $∠ CAE = ∠ B$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠ B = ∠ BCA = 60°$，
∴ $∠ CAE = 60°$，
∴ $∠ CAE = ∠ BCA$，
∴ $AE// BC$（内错角相等，两直线平行）。
∵ $△ ABC$和$△ CDE$都是等边三角形，
∴ $BC=AC$，$CD=CE$，$∠ BCA=∠ DCE=60°$，
∴ $∠ BCA + ∠ ACD = ∠ DCE + ∠ ACD$，
即 $∠ BCD = ∠ ACE$。
在$△ BCD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases}BC=AC \\∠ BCD=∠ ACE \\CD=CE\end{cases}$
∴ $△ BCD ≌ △ ACE$（SAS），
∴ $BD=AE$。
---
(2) 解：$AE// BC$，理由如下：
由(1)得$△ BCD ≌ △ ACE$，
∴ $∠ CAE = ∠ B$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠ B = ∠ BCA = 60°$，
∴ $∠ CAE = 60°$，
∴ $∠ CAE = ∠ BCA$，
∴ $AE// BC$（内错角相等，两直线平行）。
解析
【分析】
(1) 要证明BD=AE，可通过证明两条线段所在的△BCD和△ACE全等求解。已知两个等边三角形，可先得到BC=AC、CD=CE，且∠BCA=∠DCE=60°，给两个等角同时加上公共角∠ACD，即可得到夹角∠BCD=∠ACE，满足SAS全等的条件，证得三角形全等后对应边相等即可得结论。
(2) 判断AE与BC的位置关系，可通过角的关系判定平行。由(1)的全等可得∠CAE=∠B，结合等边三角形∠B=∠BCA=60°，可得∠CAE=∠BCA，这两个角是内错角，根据内错角相等即可判定两直线平行。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC和△CDE都是等边三角形，
∴ BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴ ∠BCA + ∠ACD = ∠DCE + ∠ACD，
即 ∠BCD = ∠ACE。
在△BCD和△ACE中，
$\begin{cases}BC=AC \\∠BCD=∠ACE \\CD=CE\end{cases}$
∴ △BCD ≌ △ACE（SAS），
∴ BD=AE。
(2) 解：AE//BC，理由如下：
由(1)得△BCD ≌ △ACE，
∴ ∠CAE = ∠B。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B = ∠BCA = 60°，
∴ ∠CAE = 60°，
∴ ∠CAE = ∠BCA，
∴ AE//BC（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) BD=AE得证；(2) AE//BC
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形与等边三角形结合的典型基础题，解题核心是利用等边三角形的边角性质构造全等条件，再通过全等的性质推导角的关系判断直线位置，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明BD=AE，可通过证明两条线段所在的△BCD和△ACE全等求解。已知两个等边三角形，可先得到BC=AC、CD=CE，且∠BCA=∠DCE=60°，给两个等角同时加上公共角∠ACD，即可得到夹角∠BCD=∠ACE，满足SAS全等的条件，证得三角形全等后对应边相等即可得结论。
(2) 判断AE与BC的位置关系，可通过角的关系判定平行。由(1)的全等可得∠CAE=∠B，结合等边三角形∠B=∠BCA=60°，可得∠CAE=∠BCA，这两个角是内错角，根据内错角相等即可判定两直线平行。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC和△CDE都是等边三角形，
∴ BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴ ∠BCA + ∠ACD = ∠DCE + ∠ACD，
即 ∠BCD = ∠ACE。
在△BCD和△ACE中，
$\begin{cases}BC=AC \\∠BCD=∠ACE \\CD=CE\end{cases}$
∴ △BCD ≌ △ACE（SAS），
∴ BD=AE。
(2) 解：AE//BC，理由如下：
由(1)得△BCD ≌ △ACE，
∴ ∠CAE = ∠B。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B = ∠BCA = 60°，
∴ ∠CAE = 60°，
∴ ∠CAE = ∠BCA，
∴ AE//BC（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) BD=AE得证；(2) AE//BC
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形与等边三角形结合的典型基础题，解题核心是利用等边三角形的边角性质构造全等条件，再通过全等的性质推导角的关系判断直线位置，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
20.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G.
(1)求证:AD是EF的垂直平分线；
(2)若△ABC的面积为8，AB=3，DF=2，求AC的长.
(1)求证:AD是EF的垂直平分线；
(2)若△ABC的面积为8，AB=3，DF=2，求AC的长.
答案
(1) 证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴ $DE = DF$，$∠ AED = ∠ AFD = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中，
$\begin{cases}AD=AD \\DE=DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AFD$（HL），
∴ $AE = AF$。
∵ $DE=DF$，$AE=AF$，
∴ 点A、点D都在EF的垂直平分线上，
∴ AD是EF的垂直平分线。
---
(2) 解：
由角平分线性质得$DE=DF=2$，
∵ $S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ACD}$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB · DE + \frac{1}{2} AC · DF$。
将$S_{△ ABC}=8$，$AB=3$，$DE=DF=2$代入得：
$8 = \frac{1}{2} × 3 × 2 + \frac{1}{2} × AC × 2$
化简得：$8 = 3 + AC$，
解得：$AC=5$。
答：AC的长为5。
∵ AD是△ABC的角平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴ $DE = DF$，$∠ AED = ∠ AFD = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中，
$\begin{cases}AD=AD \\DE=DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AFD$（HL），
∴ $AE = AF$。
∵ $DE=DF$，$AE=AF$，
∴ 点A、点D都在EF的垂直平分线上，
∴ AD是EF的垂直平分线。
---
(2) 解：
由角平分线性质得$DE=DF=2$，
∵ $S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ACD}$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB · DE + \frac{1}{2} AC · DF$。
将$S_{△ ABC}=8$，$AB=3$，$DE=DF=2$代入得：
$8 = \frac{1}{2} × 3 × 2 + \frac{1}{2} × AC × 2$
化简得：$8 = 3 + AC$，
解得：$AC=5$。
答：AC的长为5。
解析
【分析】
(1) 要证明AD是EF的垂直平分线，需证明点A、D均在EF的垂直平分线上，即证AE=AF、DE=DF。首先根据角平分线的性质可得DE=DF，再通过HL定理证明Rt△AED和Rt△AFD全等，即可得到AE=AF，结合两点确定一条直线，就能推出AD是EF的垂直平分线。
(2) 求AC的长可利用面积拆分法：△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积之和，两个小三角形的高DE、DF可通过角平分线的性质得二者相等，代入已知面积、AB长度等数值列方程，即可求出AC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴ $DE = DF$，$∠ AED = ∠ AFD = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中，
$\begin{cases}AD=AD \\DE=DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AFD$（HL），
∴ $AE = AF$。
∵ $DE=DF$，$AE=AF$，
∴ 点A、点D都在EF的垂直平分线上，
∴ AD是EF的垂直平分线。
(2) 解：
由角平分线性质得$DE=DF=2$，
∵ $S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ACD}$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB · DE + \frac{1}{2} AC · DF$。
将$S_{△ ABC}=8$，$AB=3$，$DE=DF=2$代入得：
$8 = \frac{1}{2} × 3 × 2 + \frac{1}{2} × AC × 2$
化简得：$8 = 3 + AC$，
解得：$AC=5$。
【答案】
(1) 已证AD是EF的垂直平分线；
(2) $\boxed{5}$
【知识点】
角平分线的性质
全等三角形的判定
线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，既考察了角平分线、全等三角形、垂直平分线相关定理的应用，也考察了利用面积和列方程求解线段长度的常用技巧，解题时注意逻辑严谨、步骤规范即可顺利完成。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD是EF的垂直平分线，需证明点A、D均在EF的垂直平分线上，即证AE=AF、DE=DF。首先根据角平分线的性质可得DE=DF，再通过HL定理证明Rt△AED和Rt△AFD全等，即可得到AE=AF，结合两点确定一条直线，就能推出AD是EF的垂直平分线。
(2) 求AC的长可利用面积拆分法：△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积之和，两个小三角形的高DE、DF可通过角平分线的性质得二者相等，代入已知面积、AB长度等数值列方程，即可求出AC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴ $DE = DF$，$∠ AED = ∠ AFD = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AED$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中，
$\begin{cases}AD=AD \\DE=DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AFD$（HL），
∴ $AE = AF$。
∵ $DE=DF$，$AE=AF$，
∴ 点A、点D都在EF的垂直平分线上，
∴ AD是EF的垂直平分线。
(2) 解：
由角平分线性质得$DE=DF=2$，
∵ $S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ACD}$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB · DE + \frac{1}{2} AC · DF$。
将$S_{△ ABC}=8$，$AB=3$，$DE=DF=2$代入得：
$8 = \frac{1}{2} × 3 × 2 + \frac{1}{2} × AC × 2$
化简得：$8 = 3 + AC$，
解得：$AC=5$。
【答案】
(1) 已证AD是EF的垂直平分线；
(2) $\boxed{5}$
【知识点】
角平分线的性质
全等三角形的判定
线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，既考察了角平分线、全等三角形、垂直平分线相关定理的应用，也考察了利用面积和列方程求解线段长度的常用技巧，解题时注意逻辑严谨、步骤规范即可顺利完成。
【难度系数】
0.7
