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21. 如图，$△ ABC$，$△ CDE$都是等边三角形，$AD$与$BE$相交于点$O$，$M$，$N$分别是线段$AD$，$BE$的中点.
(1)求$∠ AOE$的度数；
(2)求证：$△ MNC$是等边三角形.
(1)求$∠ AOE$的度数；
(2)求证：$△ MNC$是等边三角形.
答案
解：(1)
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠ACD=∠BCE \\CD=CE\end{array} $
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAD=∠CBE。
∵∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠OAB+∠OBA=∠BAC+∠CAD+∠ABO=∠BAC+∠CBE+∠ABO=∠BAC+∠ABC=120°，
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=60°，
∴∠AOE=180°-∠AOB=120°。
(2)证明：
由△ACD≌△BCE，得AD=BE。
∵M，N分别是AD，BE的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD，BN=$\frac{1}{2}$BE，
∴AM=BN。
在△ACM和△BCN中，
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠CAM=∠CBN \\AM=BN\end{array} $
∴△ACM≌△BCN(SAS)，
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN。
∵∠ACB=∠ACM+∠BCM=60°，
∴∠BCN+∠BCM=∠MCN=60°，
又∵CM=CN，
∴△MNC是等边三角形。
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠ACD=∠BCE \\CD=CE\end{array} $
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAD=∠CBE。
∵∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠OAB+∠OBA=∠BAC+∠CAD+∠ABO=∠BAC+∠CBE+∠ABO=∠BAC+∠ABC=120°，
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=60°，
∴∠AOE=180°-∠AOB=120°。
(2)证明：
由△ACD≌△BCE，得AD=BE。
∵M，N分别是AD，BE的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD，BN=$\frac{1}{2}$BE，
∴AM=BN。
在△ACM和△BCN中，
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠CAM=∠CBN \\AM=BN\end{array} $
∴△ACM≌△BCN(SAS)，
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN。
∵∠ACB=∠ACM+∠BCM=60°，
∴∠BCN+∠BCM=∠MCN=60°，
又∵CM=CN，
∴△MNC是等边三角形。
解析
【分析】
(1)求∠AOE的度数时，先利用等边三角形边相等、内角为60°的性质，证明△ACD和△BCE全等，得到对应角相等，再通过角的转化求出△AOB中两个内角的和，结合三角形内角和求出∠AOB，最后根据邻补角的关系算出∠AOE。
(2)证明△MNC是等边三角形时，先借助第一问的全等结论得到AD=BE，结合中点性质得到AM=BN，再证明△ACM和△BCN全等，推出CM=CN且对应角相等，进一步推导得到∠MCN=60°，最后根据等边三角形的判定定理即可得证。
【解析】
(1)
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠ACD=∠BCE \\CD=CE\end{array} $
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAD=∠CBE。
∵∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠OAB+∠OBA=∠BAC+∠CAD+∠ABO=∠BAC+∠CBE+∠ABO=∠BAC+∠ABC=120°，
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=60°，
∴∠AOE=180°-∠AOB=120°。
(2)证明：
由△ACD≌△BCE，得AD=BE。
∵M，N分别是AD，BE的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD，BN=$\frac{1}{2}$BE，
∴AM=BN。
在△ACM和△BCN中，
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠CAM=∠CBN \\AM=BN\end{array} $
∴△ACM≌△BCN(SAS)，
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN。
∵∠ACB=∠ACM+∠BCM=60°，
∴∠BCN+∠BCM=∠MCN=60°，
又
∵CM=CN，
∴△MNC是等边三角形。
【答案】
(1)$\boldsymbol{∠AOE=120°}$；(2)△MNC是等边三角形，证明成立。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形与特殊三角形结合的典型题型，解题核心是熟练掌握SAS全等判定方法，灵活运用等边三角形的边角性质完成角和边的转化，对逻辑推理能力有一定要求，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
(1)求∠AOE的度数时，先利用等边三角形边相等、内角为60°的性质，证明△ACD和△BCE全等，得到对应角相等，再通过角的转化求出△AOB中两个内角的和，结合三角形内角和求出∠AOB，最后根据邻补角的关系算出∠AOE。
(2)证明△MNC是等边三角形时，先借助第一问的全等结论得到AD=BE，结合中点性质得到AM=BN，再证明△ACM和△BCN全等，推出CM=CN且对应角相等，进一步推导得到∠MCN=60°，最后根据等边三角形的判定定理即可得证。
【解析】
(1)
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠ACD=∠BCE \\CD=CE\end{array} $
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAD=∠CBE。
∵∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠OAB+∠OBA=∠BAC+∠CAD+∠ABO=∠BAC+∠CBE+∠ABO=∠BAC+∠ABC=120°，
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=60°，
∴∠AOE=180°-∠AOB=120°。
(2)证明：
由△ACD≌△BCE，得AD=BE。
∵M，N分别是AD，BE的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD，BN=$\frac{1}{2}$BE，
∴AM=BN。
在△ACM和△BCN中，
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠CAM=∠CBN \\AM=BN\end{array} $
∴△ACM≌△BCN(SAS)，
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN。
∵∠ACB=∠ACM+∠BCM=60°，
∴∠BCN+∠BCM=∠MCN=60°，
又
∵CM=CN，
∴△MNC是等边三角形。
【答案】
(1)$\boldsymbol{∠AOE=120°}$；(2)△MNC是等边三角形，证明成立。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形与特殊三角形结合的典型题型，解题核心是熟练掌握SAS全等判定方法，灵活运用等边三角形的边角性质完成角和边的转化，对逻辑推理能力有一定要求，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
22. 提升题▶在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接OA，OA与x轴正半轴的夹角为$60°$.点B的坐标为$(-2,0)$，C为OA上的动点，以BC为边，向上作等边三角形BCD.
(1)如图①，当点C与点O重合时，$∠ AOD=$；
(2)如图②，求证：点D在$∠ AOB$的平分线上；
(3)若点C在直线OA上运动，当$△ BCD$的周长最小时，求点C的横坐标.
（备用图）
(1)如图①，当点C与点O重合时，$∠ AOD=$；
(2)如图②，求证：点D在$∠ AOB$的平分线上；
(3)若点C在直线OA上运动，当$△ BCD$的周长最小时，求点C的横坐标.
（备用图）
答案
$\boldsymbol{60°}$
(2) 证明：
将$△ BOC$绕点B逆时针旋转$60°$，得到$△ BED$。
$\because △ BCD$是等边三角形，
$\therefore BC=BD$，$∠ CBD=60°$，点C旋转后与点D重合，
$\therefore △ BOC ≌ △ BED$，
$\therefore BO=BE$，$∠ OBE=60°$，$∠ BED=∠ BOC=120°$。
$\because BO=BE$，$∠ OBE=60°$，
$\therefore △ BOE$是等边三角形，
$\therefore ∠ BEO=60°$，
$\therefore ∠ BED+∠ BEO=120°+60°=180°$，
即点D、E、O三点共线。
$\because ∠ AOB=120°$，$∠ BOE=60°$，
$\therefore ∠ AOE=∠ AOB-∠ BOE=60°$，
$\therefore ∠ BOE=∠ AOE$，即OE平分$∠ AOB$，
$\therefore$ 点D在$∠ AOB$的平分线上。
(3) 解：
$\because △ BCD$是等边三角形，
$\therefore △ BCD$的周长$=3BC$，
因此当BC取得最小值时，$△ BCD$的周长最小。
由垂线段最短可知，当$BC ⊥$直线OA时，BC的长度最小。
由OA与x轴正半轴夹角为$60°$，可得直线OA的解析式为$y=\sqrt{3}x$。
$\because BC ⊥ OA$，
$\therefore$ 直线BC的斜率为$-\frac{1}{\sqrt{3}}$，又$B(-2,0)$，
$\therefore$ 直线BC的解析式为$y=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x+2)$。
联立两直线方程：
$\begin{cases}y=\sqrt{3}x \\y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}(x+2)\end{cases}$
将$y=\sqrt{3}x$代入第二个方程，得：
$\sqrt{3}x=-\frac{x+2}{\sqrt{3}}$
两边同乘$\sqrt{3}$整理得：$3x=-x-2$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
$\therefore$ 点C的横坐标为$\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$。
(2) 证明：
将$△ BOC$绕点B逆时针旋转$60°$，得到$△ BED$。
$\because △ BCD$是等边三角形，
$\therefore BC=BD$，$∠ CBD=60°$，点C旋转后与点D重合，
$\therefore △ BOC ≌ △ BED$，
$\therefore BO=BE$，$∠ OBE=60°$，$∠ BED=∠ BOC=120°$。
$\because BO=BE$，$∠ OBE=60°$，
$\therefore △ BOE$是等边三角形，
$\therefore ∠ BEO=60°$，
$\therefore ∠ BED+∠ BEO=120°+60°=180°$，
即点D、E、O三点共线。
$\because ∠ AOB=120°$，$∠ BOE=60°$，
$\therefore ∠ AOE=∠ AOB-∠ BOE=60°$，
$\therefore ∠ BOE=∠ AOE$，即OE平分$∠ AOB$，
$\therefore$ 点D在$∠ AOB$的平分线上。
(3) 解：
$\because △ BCD$是等边三角形，
$\therefore △ BCD$的周长$=3BC$，
因此当BC取得最小值时，$△ BCD$的周长最小。
由垂线段最短可知，当$BC ⊥$直线OA时，BC的长度最小。
由OA与x轴正半轴夹角为$60°$，可得直线OA的解析式为$y=\sqrt{3}x$。
$\because BC ⊥ OA$，
$\therefore$ 直线BC的斜率为$-\frac{1}{\sqrt{3}}$，又$B(-2,0)$，
$\therefore$ 直线BC的解析式为$y=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x+2)$。
联立两直线方程：
$\begin{cases}y=\sqrt{3}x \\y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}(x+2)\end{cases}$
将$y=\sqrt{3}x$代入第二个方程，得：
$\sqrt{3}x=-\frac{x+2}{\sqrt{3}}$
两边同乘$\sqrt{3}$整理得：$3x=-x-2$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
$\therefore$ 点C的横坐标为$\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$。
解析
【分析】
(1) 当点C与点O重合时，等边△BCD即等边△BOD，可得∠BOD=60°；由OA与x轴正半轴夹角为60°，可知∠AOB=180°-60°=120°，用∠AOB减去∠BOD即可求出∠AOD的度数。
(2) 要证点D在∠AOB的平分线上，需证OD将∠AOB分为两个相等的60°角。结合等边△BCD边长相等、夹角为60°的性质，可将△BOC绕点B逆时针旋转60°构造全等三角形，先证△BOE为等边三角形，再推导D、E、O三点共线，即可得到OD平分∠AOB的结论。
(3) 等边三角形周长为边长的3倍，因此△BCD周长最小等价于BC的长度最小；根据垂线段最短的性质，当BC⊥直线OA时BC最短，先求出直线OA和直线BC的解析式，联立两个解析式求解，即可得到点C的横坐标。
【解析】
(1) 当C与O重合时，△BCD为等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵OA与x轴正半轴夹角为60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=120°-60°=60°。
(2) 证明：将△BOC绕点B逆时针旋转60°，得到△BED。
∵△BCD是等边三角形，
∴BC=BD，∠CBD=60°，点C旋转后与点D重合，
∴△BOC ≌ △BED，
∴BO=BE，∠OBE=60°，∠BED=∠BOC=120°。
∵BO=BE，∠OBE=60°，
∴△BOE是等边三角形，
∴∠BEO=60°，
∴∠BED+∠BEO=120°+60°=180°，
即点D、E、O三点共线。
∵∠AOB=120°，∠BOE=60°，
∴∠AOE=∠AOB-∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠AOE，即OE平分∠AOB，
∵D在OE上，
∴点D在∠AOB的平分线上。
(3) 解：
∵△BCD是等边三角形，
∴△BCD的周长=3BC，因此当BC取得最小值时，△BCD的周长最小。
由垂线段最短可知，当BC⊥直线OA时，BC的长度最小。
由OA与x轴正半轴的夹角为60°，可得直线OA的解析式为$y=\sqrt{3}x$。
∵BC⊥OA，点B坐标为$(-2,0)$，
∴直线BC的解析式为$y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+2)$。
联立两直线方程：
$\begin{cases}y=\sqrt{3}x \\y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+2)\end{cases}$
将$y=\sqrt{3}x$代入第二个方程，得：
$\sqrt{3}x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+2)$
两边同除以$\sqrt{3}$整理得：$3x=-x-2$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$
(2) 证明如上
(3) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的应用
【点评】
本题为几何与代数结合的综合题，考查了旋转构造全等、角平分线判定、最值转化等核心考点，解题时需灵活运用转化思想，将周长最小问题转化为垂线段最短问题，对几何变换思维和一次函数的运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
(1) 当点C与点O重合时，等边△BCD即等边△BOD，可得∠BOD=60°；由OA与x轴正半轴夹角为60°，可知∠AOB=180°-60°=120°，用∠AOB减去∠BOD即可求出∠AOD的度数。
(2) 要证点D在∠AOB的平分线上，需证OD将∠AOB分为两个相等的60°角。结合等边△BCD边长相等、夹角为60°的性质，可将△BOC绕点B逆时针旋转60°构造全等三角形，先证△BOE为等边三角形，再推导D、E、O三点共线，即可得到OD平分∠AOB的结论。
(3) 等边三角形周长为边长的3倍，因此△BCD周长最小等价于BC的长度最小；根据垂线段最短的性质，当BC⊥直线OA时BC最短，先求出直线OA和直线BC的解析式，联立两个解析式求解，即可得到点C的横坐标。
【解析】
(1) 当C与O重合时，△BCD为等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵OA与x轴正半轴夹角为60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=120°-60°=60°。
(2) 证明：将△BOC绕点B逆时针旋转60°，得到△BED。
∵△BCD是等边三角形，
∴BC=BD，∠CBD=60°，点C旋转后与点D重合，
∴△BOC ≌ △BED，
∴BO=BE，∠OBE=60°，∠BED=∠BOC=120°。
∵BO=BE，∠OBE=60°，
∴△BOE是等边三角形，
∴∠BEO=60°，
∴∠BED+∠BEO=120°+60°=180°，
即点D、E、O三点共线。
∵∠AOB=120°，∠BOE=60°，
∴∠AOE=∠AOB-∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠AOE，即OE平分∠AOB，
∵D在OE上，
∴点D在∠AOB的平分线上。
(3) 解：
∵△BCD是等边三角形，
∴△BCD的周长=3BC，因此当BC取得最小值时，△BCD的周长最小。
由垂线段最短可知，当BC⊥直线OA时，BC的长度最小。
由OA与x轴正半轴的夹角为60°，可得直线OA的解析式为$y=\sqrt{3}x$。
∵BC⊥OA，点B坐标为$(-2,0)$，
∴直线BC的解析式为$y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+2)$。
联立两直线方程：
$\begin{cases}y=\sqrt{3}x \\y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+2)\end{cases}$
将$y=\sqrt{3}x$代入第二个方程，得：
$\sqrt{3}x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+2)$
两边同除以$\sqrt{3}$整理得：$3x=-x-2$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$
(2) 证明如上
(3) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的应用
【点评】
本题为几何与代数结合的综合题，考查了旋转构造全等、角平分线判定、最值转化等核心考点，解题时需灵活运用转化思想，将周长最小问题转化为垂线段最短问题，对几何变换思维和一次函数的运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
