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23. 提升题【素养再现】
有这样一个问题:如图①,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,直线$MN$经过点$C$,且$AD⊥ MN$于点$D$,$BE⊥ MN$于点$E$.求证:$DE=AD+BE$.
解决这个问题的关键是根据题意证明$△ CDA≌△ BEC$,得$AD=CE$,$CD=BE$.故$AD+BE=CE+CD=DE$.
【问题再思考】
(1)如图②,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,$AD⊥ MN$于点$D$,点$F$在直线$MN$上,连接$BF$,$∠ BFC=135°$.求证$AD=DF$.
【类比分析】
(2)如图③,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AD⊥ MN$于点$D$,点$Q$在直线$MN$上,$CQ=AC$,点$P$在$AC$的延长线上,$BP=BQ$,且$BP⊥ BQ$.若$AD=5$,$CP=3$,求$△ CQB$的面积.
【实际应用】
(3)如图④,某战区进行军演,营地和指挥部在海岸线$OC$上,早上8时,甲、乙两艘舰艇从营地$O$出发,甲舰艇以$70\ \mathrm{n mile/h}$的速度向北航行,乙舰艇以$30\ \mathrm{n mile/h}$的速度向西航行,10时分别到达海岛$A$和补给点$B$.从点$A$观测点$B$和指挥部$C$,测得$∠ BAC=90°$,$AB=AC$.乙舰艇继续向西航行至海岛$D$,海岛$D$到营地$O$的距离等于指挥部$C$到营地$O$的距离,即$OD=OC$.求海岛$D$到海岸线$OC$的距离.
有这样一个问题:如图①,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,直线$MN$经过点$C$,且$AD⊥ MN$于点$D$,$BE⊥ MN$于点$E$.求证:$DE=AD+BE$.
解决这个问题的关键是根据题意证明$△ CDA≌△ BEC$,得$AD=CE$,$CD=BE$.故$AD+BE=CE+CD=DE$.
【问题再思考】
(1)如图②,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,$AD⊥ MN$于点$D$,点$F$在直线$MN$上,连接$BF$,$∠ BFC=135°$.求证$AD=DF$.
【类比分析】
(2)如图③,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AD⊥ MN$于点$D$,点$Q$在直线$MN$上,$CQ=AC$,点$P$在$AC$的延长线上,$BP=BQ$,且$BP⊥ BQ$.若$AD=5$,$CP=3$,求$△ CQB$的面积.
【实际应用】
(3)如图④,某战区进行军演,营地和指挥部在海岸线$OC$上,早上8时,甲、乙两艘舰艇从营地$O$出发,甲舰艇以$70\ \mathrm{n mile/h}$的速度向北航行,乙舰艇以$30\ \mathrm{n mile/h}$的速度向西航行,10时分别到达海岛$A$和补给点$B$.从点$A$观测点$B$和指挥部$C$,测得$∠ BAC=90°$,$AB=AC$.乙舰艇继续向西航行至海岛$D$,海岛$D$到营地$O$的距离等于指挥部$C$到营地$O$的距离,即$OD=OC$.求海岛$D$到海岸线$OC$的距离.
答案
(1) 证明：
过点B作$BE ⊥ MN$于点E，
$\therefore ∠ BEC=90°$，
$\because AD ⊥ MN$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ DAC + ∠ ACD=90°$，$∠ ACD + ∠ BCE=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ DAC=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=CE$，$CD=BE$。
$\because ∠ BFC=135°$，
$\therefore ∠ BFE=180° - ∠ BFC=45°$，
又$\because ∠ BEF=90°$，
$\therefore △ BEF$为等腰直角三角形，
$\therefore BE=EF$，
$\therefore CD=EF$，
$\therefore CD + CF=EF + CF$，即$DF=CE$，
$\therefore AD=DF$。
---
(2) 解：
过点B作$BE ⊥ MN$于点E，
$\therefore ∠ BEC=∠ BEQ=90°$，
$\because AD ⊥ MN$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ DAC + ∠ ACD=90°$，$∠ ACD + ∠ BCE=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ DAC=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=CE=5$。
$\because BP ⊥ BQ$，
$\therefore ∠ PBQ=90°$，
$\therefore ∠ PBC + ∠ CBQ=90°$，
又$\because ∠ CBQ + ∠ EBQ=90°$，
$\therefore ∠ PBC=∠ EBQ$。
在$△ PBC$和$△ EBQ$中，
$\begin{cases}∠ BCP=∠ BEQ=90° \\∠ PBC=∠ EBQ \\BP=BQ\end{cases}$
$\therefore △ PBC ≌ △ EBQ \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE=CP=3$。
$\because$ 点B到直线MN的距离为$BE=3$，$CQ$在直线MN上，$CQ=AC$，结合全等性质得$CQ$边上的高为$BE=3$，
$\therefore S_{△ CQB}=\frac{1}{2} × CQ × BE=\frac{1}{2} × 5 × 3=\frac{15}{2}$。
---
(3) 解：
由题意得，航行时间为$10-8=2\ \mathrm{h}$，
$\therefore OA=70 × 2=140\ \mathrm{n mile}$，$OB=30 × 2=60\ \mathrm{n mile}$，$∠ AOB=90°$。
过点C作$CE ⊥ OA$于点E，
$\therefore ∠ CEA=90°=∠ AOB$，
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ OAB + ∠ EAC=90°$，$∠ OAB + ∠ OBA=90°$，
$\therefore ∠ OBA=∠ EAC$。
在$△ AOB$和$△ CEA$中，
$\begin{cases}∠ AOB=∠ CEA \\∠ OBA=∠ EAC \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ CEA \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore OB=AE=60$，
$\therefore$ 点C到x轴（东西方向轴）的距离$OE=OA - AE=140-60=80$。
过点D作$DF ⊥ OC$于点F，过点C作$CG ⊥ OD$于点G，
$\because OD=OC$，$∠ DFO=∠ CGO=90°$，$∠ DOF=∠ COG$，
$\therefore △ DOF ≌ △ COG \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore DF=CG=OE=80\ \mathrm{n mile}$。
答：海岛D到海岸线OC的距离为$80\ \mathrm{n mile}$。
过点B作$BE ⊥ MN$于点E，
$\therefore ∠ BEC=90°$，
$\because AD ⊥ MN$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ DAC + ∠ ACD=90°$，$∠ ACD + ∠ BCE=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ DAC=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=CE$，$CD=BE$。
$\because ∠ BFC=135°$，
$\therefore ∠ BFE=180° - ∠ BFC=45°$，
又$\because ∠ BEF=90°$，
$\therefore △ BEF$为等腰直角三角形，
$\therefore BE=EF$，
$\therefore CD=EF$，
$\therefore CD + CF=EF + CF$，即$DF=CE$，
$\therefore AD=DF$。
---
(2) 解：
过点B作$BE ⊥ MN$于点E，
$\therefore ∠ BEC=∠ BEQ=90°$，
$\because AD ⊥ MN$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ DAC + ∠ ACD=90°$，$∠ ACD + ∠ BCE=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ DAC=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=CE=5$。
$\because BP ⊥ BQ$，
$\therefore ∠ PBQ=90°$，
$\therefore ∠ PBC + ∠ CBQ=90°$，
又$\because ∠ CBQ + ∠ EBQ=90°$，
$\therefore ∠ PBC=∠ EBQ$。
在$△ PBC$和$△ EBQ$中，
$\begin{cases}∠ BCP=∠ BEQ=90° \\∠ PBC=∠ EBQ \\BP=BQ\end{cases}$
$\therefore △ PBC ≌ △ EBQ \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE=CP=3$。
$\because$ 点B到直线MN的距离为$BE=3$，$CQ$在直线MN上，$CQ=AC$，结合全等性质得$CQ$边上的高为$BE=3$，
$\therefore S_{△ CQB}=\frac{1}{2} × CQ × BE=\frac{1}{2} × 5 × 3=\frac{15}{2}$。
---
(3) 解：
由题意得，航行时间为$10-8=2\ \mathrm{h}$，
$\therefore OA=70 × 2=140\ \mathrm{n mile}$，$OB=30 × 2=60\ \mathrm{n mile}$，$∠ AOB=90°$。
过点C作$CE ⊥ OA$于点E，
$\therefore ∠ CEA=90°=∠ AOB$，
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ OAB + ∠ EAC=90°$，$∠ OAB + ∠ OBA=90°$，
$\therefore ∠ OBA=∠ EAC$。
在$△ AOB$和$△ CEA$中，
$\begin{cases}∠ AOB=∠ CEA \\∠ OBA=∠ EAC \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ CEA \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore OB=AE=60$，
$\therefore$ 点C到x轴（东西方向轴）的距离$OE=OA - AE=140-60=80$。
过点D作$DF ⊥ OC$于点F，过点C作$CG ⊥ OD$于点G，
$\because OD=OC$，$∠ DFO=∠ CGO=90°$，$∠ DOF=∠ COG$，
$\therefore △ DOF ≌ △ COG \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore DF=CG=OE=80\ \mathrm{n mile}$。
答：海岛D到海岸线OC的距离为$80\ \mathrm{n mile}$。
解析
【分析】
本题以"一线三垂直"全等模型为核心层层递进设计问题：
(1) 第(1)问先仿照题干给出的基础模型，过B作$BE⊥MN$构造一线三垂直结构，先证明$△ADC≌△CEB$得到$AD=CE$、$CD=BE$；再结合$∠BFC=135°$推出$△BEF$为等腰直角三角形，得到$BE=EF$，通过线段和的等量代换即可证得结论。
(2) 第(2)问同样先作$BE⊥MN$构造全等，先证$△ADC≌△CEB$得到$CE=AD=5$；再结合$BP⊥BQ$、$BP=BQ$的条件证明$△PBC≌△EBQ$，得到$△CQB$的边$CQ$上的高$BE=CP=3$，代入三角形面积公式即可计算。
(3) 第(3)问先根据行程公式算出$OA$、$OB$的长度，再构造垂线得到一线三垂直结构，证明$△AOB≌△CEA$得到$OE$的长度；最后利用$OD=OC$的条件证明三角形全等，即可得到海岛D到海岸线OC的距离等于$OE$的长度。
【解析】
(1) 证明：
过点B作$BE ⊥ MN$于点E，
$\therefore ∠ BEC=90°$，
$\because AD ⊥ MN$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ DAC + ∠ ACD=90°$，$∠ ACD + ∠ BCE=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ DAC=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=CE$，$CD=BE$。
$\because ∠ BFC=135°$，
$\therefore ∠ BFE=180° - ∠ BFC=45°$，
又$\because ∠ BEF=90°$，
$\therefore △ BEF$为等腰直角三角形，
$\therefore BE=EF$，
$\therefore CD=EF$，
$\therefore CD + CF=EF + CF$，即$DF=CE$，
$\therefore AD=DF$。
(2) 解：
过点B作$BE ⊥ MN$于点E，
$\therefore ∠ BEC=∠ BEQ=90°$，
$\because AD ⊥ MN$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ DAC + ∠ ACD=90°$，$∠ ACD + ∠ BCE=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ DAC=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=CE=5$。
$\because BP ⊥ BQ$，
$\therefore ∠ PBQ=90°$，
$\therefore ∠ PBC + ∠ CBQ=90°$，
又$\because ∠ CBQ + ∠ EBQ=90°$，
$\therefore ∠ PBC=∠ EBQ$。
在$△ PBC$和$△ EBQ$中，
$\begin{cases}∠ BCP=∠ BEQ=90° \\∠ PBC=∠ EBQ \\BP=BQ\end{cases}$
$\therefore △ PBC ≌ △ EBQ \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE=CP=3$。
$\because$ 点B到直线MN的距离为$BE=3$，$CQ$在直线MN上，$CQ=AC$，结合全等性质得$CQ$边上的高为$BE=3$，
$\therefore S_{△ CQB}=\frac{1}{2} × CQ × BE=\frac{1}{2} × 5 × 3=\frac{15}{2}$。
(3) 解：
由题意得，航行时间为$10-8=2\ \mathrm{h}$，
$\therefore OA=70 × 2=140\ \mathrm{n mile}$，$OB=30 × 2=60\ \mathrm{n mile}$，$∠ AOB=90°$。
过点C作$CE ⊥ OA$于点E，
$\therefore ∠ CEA=90°=∠ AOB$，
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ OAB + ∠ EAC=90°$，$∠ OAB + ∠ OBA=90°$，
$\therefore ∠ OBA=∠ EAC$。
在$△ AOB$和$△ CEA$中，
$\begin{cases}∠ AOB=∠ CEA \\∠ OBA=∠ EAC \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ CEA \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore OB=AE=60$，
$\therefore$ 点C到东西方向轴的距离$OE=OA - AE=140-60=80$。
过点D作$DF ⊥ OC$于点F，过点C作$CG ⊥ OD$于点G，
$\because OD=OC$，$∠ DFO=∠ CGO=90°$，$∠ DOF=∠ COG$，
$\therefore △ DOF ≌ △ COG \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore DF=CG=OE=80\ \mathrm{n mile}$。
答：海岛D到海岸线OC的距离为$80\ \mathrm{n mile}$。
【答案】
(1) 证明成立，$AD=DF$；
(2) $△ CQB$的面积为$\boldsymbol{\frac{15}{2}}$；
(3) 海岛D到海岸线OC的距离为$\boldsymbol{80\ \mathrm{n mile}}$。
【知识点】
全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质，几何模型实际应用
【点评】
本题围绕经典的“一线三垂直”全等模型设置梯度问题，从基础证明到变式拓展再到实际场景应用，既考查了学生对全等三角形、等腰直角三角形核心性质的掌握程度，也考查了学生构造辅助线、迁移运用几何模型解决综合问题的能力，对逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.4
本题以"一线三垂直"全等模型为核心层层递进设计问题：
(1) 第(1)问先仿照题干给出的基础模型，过B作$BE⊥MN$构造一线三垂直结构，先证明$△ADC≌△CEB$得到$AD=CE$、$CD=BE$；再结合$∠BFC=135°$推出$△BEF$为等腰直角三角形，得到$BE=EF$，通过线段和的等量代换即可证得结论。
(2) 第(2)问同样先作$BE⊥MN$构造全等，先证$△ADC≌△CEB$得到$CE=AD=5$；再结合$BP⊥BQ$、$BP=BQ$的条件证明$△PBC≌△EBQ$，得到$△CQB$的边$CQ$上的高$BE=CP=3$，代入三角形面积公式即可计算。
(3) 第(3)问先根据行程公式算出$OA$、$OB$的长度，再构造垂线得到一线三垂直结构，证明$△AOB≌△CEA$得到$OE$的长度；最后利用$OD=OC$的条件证明三角形全等，即可得到海岛D到海岸线OC的距离等于$OE$的长度。
【解析】
(1) 证明：
过点B作$BE ⊥ MN$于点E，
$\therefore ∠ BEC=90°$，
$\because AD ⊥ MN$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ DAC + ∠ ACD=90°$，$∠ ACD + ∠ BCE=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ DAC=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=CE$，$CD=BE$。
$\because ∠ BFC=135°$，
$\therefore ∠ BFE=180° - ∠ BFC=45°$，
又$\because ∠ BEF=90°$，
$\therefore △ BEF$为等腰直角三角形，
$\therefore BE=EF$，
$\therefore CD=EF$，
$\therefore CD + CF=EF + CF$，即$DF=CE$，
$\therefore AD=DF$。
(2) 解：
过点B作$BE ⊥ MN$于点E，
$\therefore ∠ BEC=∠ BEQ=90°$，
$\because AD ⊥ MN$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ DAC + ∠ ACD=90°$，$∠ ACD + ∠ BCE=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ DAC=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=CE=5$。
$\because BP ⊥ BQ$，
$\therefore ∠ PBQ=90°$，
$\therefore ∠ PBC + ∠ CBQ=90°$，
又$\because ∠ CBQ + ∠ EBQ=90°$，
$\therefore ∠ PBC=∠ EBQ$。
在$△ PBC$和$△ EBQ$中，
$\begin{cases}∠ BCP=∠ BEQ=90° \\∠ PBC=∠ EBQ \\BP=BQ\end{cases}$
$\therefore △ PBC ≌ △ EBQ \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE=CP=3$。
$\because$ 点B到直线MN的距离为$BE=3$，$CQ$在直线MN上，$CQ=AC$，结合全等性质得$CQ$边上的高为$BE=3$，
$\therefore S_{△ CQB}=\frac{1}{2} × CQ × BE=\frac{1}{2} × 5 × 3=\frac{15}{2}$。
(3) 解：
由题意得，航行时间为$10-8=2\ \mathrm{h}$，
$\therefore OA=70 × 2=140\ \mathrm{n mile}$，$OB=30 × 2=60\ \mathrm{n mile}$，$∠ AOB=90°$。
过点C作$CE ⊥ OA$于点E，
$\therefore ∠ CEA=90°=∠ AOB$，
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ OAB + ∠ EAC=90°$，$∠ OAB + ∠ OBA=90°$，
$\therefore ∠ OBA=∠ EAC$。
在$△ AOB$和$△ CEA$中，
$\begin{cases}∠ AOB=∠ CEA \\∠ OBA=∠ EAC \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ CEA \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore OB=AE=60$，
$\therefore$ 点C到东西方向轴的距离$OE=OA - AE=140-60=80$。
过点D作$DF ⊥ OC$于点F，过点C作$CG ⊥ OD$于点G，
$\because OD=OC$，$∠ DFO=∠ CGO=90°$，$∠ DOF=∠ COG$，
$\therefore △ DOF ≌ △ COG \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore DF=CG=OE=80\ \mathrm{n mile}$。
答：海岛D到海岸线OC的距离为$80\ \mathrm{n mile}$。
【答案】
(1) 证明成立，$AD=DF$；
(2) $△ CQB$的面积为$\boldsymbol{\frac{15}{2}}$；
(3) 海岛D到海岸线OC的距离为$\boldsymbol{80\ \mathrm{n mile}}$。
【知识点】
全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质，几何模型实际应用
【点评】
本题围绕经典的“一线三垂直”全等模型设置梯度问题，从基础证明到变式拓展再到实际场景应用，既考查了学生对全等三角形、等腰直角三角形核心性质的掌握程度，也考查了学生构造辅助线、迁移运用几何模型解决综合问题的能力，对逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.4
