23. 提升题 已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且$ED=EC$.
(1)【特殊情况，探索结论】
如图①，当E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE （填“＞”“＜”或“=”）DB.
(2)【特例启发，解答题目】
如图②，当E为AB边上任意一点时，请判断线段AE与DB的大小关系，并说明理由.（提示：过点E作$EF// BC$，交AC于点F）
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且$ED=EC$.若$△ ABC$的边长为1，$AE=2$，则线段CD的长为 .

解：(1) $=$
(2) $AE = DB$，理由如下：
过点$E$作$EF// BC$，交$AC$于点$F$。
$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore ∠ A = ∠ ABC = ∠ ACB = 60°$，$AB = AC$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF = ∠ ABC = 60°$，$∠ AFE = ∠ ACB = 60°$，
$\therefore △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE = EF = AF$，
$\therefore AB - AE = AC - AF$，即$BE = CF$。
$\because ED = EC$，
$\therefore ∠ D = ∠ ECB$。
$\because ∠ ABC = ∠ D + ∠ DEB = 60°$，$∠ ACB = ∠ ECB + ∠ ECF = 60°$，
$\therefore ∠ DEB = ∠ ECF$。
又$\because ∠ EBD = 180° - ∠ ABC = 120°$，$∠ CFE = 180° - ∠ AFE = 120°$，
$\therefore ∠ EBD = ∠ CFE$。
在$△ EBD$和$△ CFE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ DEB = ∠ ECF \\BE = CF \\∠ EBD = ∠ CFE\end{array} $
$\therefore △ EBD ≌ △ CFE \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore BD = EF$，
又$\because AE = EF$，
$\therefore AE = BD$。
(3) $3$

【分析】
(1) 针对特殊情况，先利用等边三角形三线合一的性质得到CE平分∠ACB，结合等腰三角形等边对等角得到∠D的度数，再利用外角性质推导角相等得到DB=BE，结合E是中点即可得到AE与DB的关系。
(2) 按照提示作EF//BC，先根据平行线性质和等边三角形判定证得△AEF为等边三角形，得到AE=EF、BE=CF，再通过角的等量代换得到△EBD和△CFE的对应角相等，结合已知边相等证全等，即可将AE转化为BD得到结论。
(3) 点E在直线AB上且AE=2大于△ABC边长1，可直接沿用前两问推导的普遍结论AE=DB，结合D在CB延长线的位置关系，即可计算CD的长度。
【解析】
(1) 当E为AB中点时，△ABC是等边三角形，根据三线合一可得CE平分∠ACB，∠ECB=30°。
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°。
∵∠ABC是△BDE的外角，
∴∠ABC=∠D+∠DEB=60°，解得∠DEB=30°，
∴∠D=∠DEB，
∴DB=BE。
∵E是AB中点，
∴AE=BE，
∴AE=DB。
(2) AE=DB，理由如下：
过点$E$作$EF// BC$，交$AC$于点$F$。
$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore ∠ A = ∠ ABC = ∠ ACB = 60°$，$AB = AC$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF = ∠ ABC = 60°$，$∠ AFE = ∠ ACB = 60°$，
$\therefore △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE = EF = AF$，
$\therefore AB - AE = AC - AF$，即$BE = CF$。
$\because ED = EC$，
$\therefore ∠ D = ∠ ECB$。
$\because ∠ ABC = ∠ D + ∠ DEB = 60°$，$∠ ACB = ∠ ECB + ∠ ECF = 60°$，
$\therefore ∠ DEB = ∠ ECF$。
又$\because ∠ EBD = 180° - ∠ ABC = 120°$，$∠ CFE = 180° - ∠ AFE = 120°$，
$\therefore ∠ EBD = ∠ CFE$。
在$△ EBD$和$△ CFE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ DEB = ∠ ECF \\BE = CF \\∠ EBD = ∠ CFE\end{array} $
$\therefore △ EBD ≌ △ CFE \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore BD = EF$，
又$\because AE = EF$，
$\therefore AE = BD$。
(3) 由前两问可得普遍结论：$AE=DB$，已知$AE=2$，$\therefore DB=2$。
$\because △ABC$边长为1，$\therefore BC=1$，
又$\because D$在CB的延长线上，$\therefore CD=DB+BC=2+1=3$。
【答案】
(1) $=$；(2) $AE=DB$；(3) $3$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题按照特殊到一般的逻辑设置问题，既考查了三角形相关基础性质的应用，也锻炼了辅助线构造、几何逻辑推理的能力，拓展部分需要注意点在直线上的位置判断，对知识迁移应用能力有较高要求。
【难度系数】
0.6