21.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BA延长线上一点,E是AC的中点.
(1)实践与操作:利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法).
①作$∠ DAC$的平分线AM;
②连接BE并延长,交AM于点F.
(2)猜想与证明:AF与BC有怎样的位置关系和数量关系?请证明.

(1) 作图：
按要求作出∠DAC的平分线AM，连接BE延长交AM于点F，保留尺规作图痕迹，标注对应字母即可。
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(2) 猜想：$AF// BC$，且$AF=BC$，证明如下：
证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB$。
$\because ∠ DAC$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ DAC = ∠ ABC + ∠ ACB = 2∠ ACB$。
$\because AM$平分$∠ DAC$，
$\therefore ∠ DAC = 2∠ FAC$，
$\therefore ∠ FAC = ∠ ACB$，
$\therefore AF// BC$。
$\because E$是$AC$的中点，
$\therefore AE = CE$。
在$△ AEF$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ FAE = ∠ C \\AE = CE \\∠ AEF = ∠ CEB\end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ CEB \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AF = BC$。
综上，$AF// BC$且$AF=BC$。

【分析】
本题分为作图和证明两部分。①作图部分：回忆角平分线的尺规作图方法，即可画出∠DAC的平分线AM，再延长BE与AM相交标注点F即可。②证明部分：判断位置关系优先考虑平行或垂直，结合已知AB=AC可得△ABC是等腰三角形，两底角相等，∠DAC是△ABC的外角，可得∠DAC等于两底角之和，再结合AM是角平分线，可推导出∠FAC=∠ACB，由内错角相等即可证AF与BC平行；再推导数量关系，E是AC中点，有一组边相等，加上前面得到的角相等、对顶角相等，可通过ASA证明△AEF和△CEB全等，即可得到AF和BC相等的结论。
【解析】
(1) 作图：使用尺规作∠DAC的平分线AM，标注字母M，再延长BE，与AM的交点标注为F，保留作图痕迹即可。
(2) 猜想：$AF// BC$，且$AF=BC$，证明如下：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB$。
$\because ∠ DAC$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ DAC = ∠ ABC + ∠ ACB = 2∠ ACB$。
$\because AM$平分$∠ DAC$，
$\therefore ∠ DAC = 2∠ FAC$，
$\therefore ∠ FAC = ∠ ACB$，
$\therefore AF// BC$。
$\because E$是$AC$的中点，
$\therefore AE = CE$。
在$△ AEF$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ FAE = ∠ C \\AE = CE \\∠ AEF = ∠ CEB\end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ CEB \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AF = BC$。
综上，$AF// BC$且$AF=BC$。
【答案】
(1) 按尺规作图要求作出∠DAC的平分线AM，延长BE交AM于点F，保留作图痕迹即可；
(2) $AF// BC$且$AF=BC$
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 等腰三角形的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题将基础尺规作图与几何证明相结合，既考查了动手操作能力，也考查了等腰三角形性质、平行线判定、全等三角形证明等核心几何知识，是几何综合应用的典型基础题，需要熟练掌握角的等量推导和全等三角形的证明思路。
【难度系数】
0.7

22. 提升题 如图，在长方形ABCD中，已知AB=6 cm，BC=10 cm，点P以4 cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以a cm/s的速度由点C向点D运动。若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值。

解：设运动时间为$ t \, \mathrm{s} $，由题意得：
$ BP = 4t \, \mathrm{cm} $，$ PC = (10 - 4t) \, \mathrm{cm} $，$ CQ = at \, \mathrm{cm} $。
∵ 四边形$ ABCD $是长方形，
∴ $ ∠ B = ∠ C = 90° $，两个三角形均为直角三角形，分两种全等对应情况讨论：
① 当$ △ ABP ≌ △ PCQ $时，对应边满足$ AB = PC $，$ BP = CQ $：
由$ 6 = 10 - 4t $，解得$ t = 1 $。
将$ t=1 $代入$ 4t = at $，得$ 4 × 1 = a × 1 $，解得$ a = 4 $。
② 当$ △ ABP ≌ △ QCP $时，对应边满足$ AB = CQ $，$ BP = CP $：
由$ 4t = 10 - 4t $，解得$ t = \frac{5}{4} $。
将$ t=\frac{5}{4} $代入$ 6 = at $，得$ 6 = a × \frac{5}{4} $，解得$ a = \frac{24}{5} $。
综上，$ a $的值为$ 4 $或$ \frac{24}{5} $。

【分析】
这是一道矩形背景下的动点与全等三角形结合的题目，解题思路如下：首先根据点的运动速度和时间，表示出两个三角形各边的长度；再利用矩形的性质可知两个要判定全等的三角形都是直角三角形，∠B和∠C为对应直角，但直角边的对应关系不唯一，因此需要分两种情况讨论全等的对应边；最后根据全等三角形对应边相等的性质列方程，先求解时间t，再代入计算a的值，注意不要漏解。
【解析】
设运动时间为$ t \, \mathrm{s} $，由题意得：
$ BP = 4t \, \mathrm{cm} $，$ PC = (10 - 4t) \, \mathrm{cm} $，$ CQ = at \, \mathrm{cm} $。
∵ 四边形$ ABCD $是长方形，
∴ $ ∠ B = ∠ C = 90° $，△ABP和△PCQ均为直角三角形，分两种全等对应情况讨论：
① 当$ △ ABP ≌ △ PCQ $时，对应边满足$ AB = PC $，$ BP = CQ $：
由$ 6 = 10 - 4t $，解得$ t = 1 $。
将$ t=1 $代入$ 4t = at $，得$ 4 × 1 = a × 1 $，解得$ a = 4 $。
② 当$ △ ABP ≌ △ QCP $时，对应边满足$ AB = CQ $，$ BP = CP $：
由$ 4t = 10 - 4t $，解得$ t = \frac{5}{4} $。
将$ t=\frac{5}{4} $代入$ 6 = at $，得$ 6 = a × \frac{5}{4} $，解得$ a = \frac{24}{5} $。
综上，$ a $的值为$ 4 $或$ \frac{24}{5} $。
【答案】
$ a $的值为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{\dfrac{24}{5}}$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是动点与全等三角形结合的典型习题，解题的核心是明确全等三角形对应关系不唯一，需结合边长特征分类讨论，根据对应边相等列方程求解，解题时容易遗漏其中一种对应情况导致漏解，需要特别注意。
【难度系数】
0.6