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18.在平面直角坐标系中，$△ ABC$的位置如图所示.
(1)请画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$(不写画法)，直接写出$A_1,B_1,C_1$三点的坐标；
(2)将$△ ABC$沿$y$轴向下平移3个单位长度得到$△ A_2B_2C_2$，并求出$△ A_2B_2C_2$的面积；
(3)在$y$轴上找出点$P$，使得点$P$到点$A$，$B$的距离之和最短.(保留作图痕迹，不写作法).
(1)请画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$(不写画法)，直接写出$A_1,B_1,C_1$三点的坐标；
(2)将$△ ABC$沿$y$轴向下平移3个单位长度得到$△ A_2B_2C_2$，并求出$△ A_2B_2C_2$的面积；
(3)在$y$轴上找出点$P$，使得点$P$到点$A$，$B$的距离之和最短.(保留作图痕迹，不写作法).
答案
解：
(1) 画出△A₁B₁C₁如图所示，
$A_1(4,1)$，$B_1(2,3)$，$C_1(-1,-2)$。
(2) 画出△A₂B₂C₂如图所示，
平移不改变图形面积，因此：
$\begin{aligned}S_{△ A_2B_2C_2}&=S_{△ ABC}\\&=5×5 -\frac{1}{2}×2×2 -\frac{1}{2}×3×5 -\frac{1}{2}×5×3\\&=25-2-7.5-7.5\\&=8\end{aligned}$
即$△ A_2B_2C_2$的面积为8。
(3) 作点A关于y轴的对称点$A_1$，连接$A_1B$，与y轴的交点即为所求的点P，保留作图痕迹如图所示。
(1) 画出△A₁B₁C₁如图所示，
$A_1(4,1)$，$B_1(2,3)$，$C_1(-1,-2)$。
(2) 画出△A₂B₂C₂如图所示，
平移不改变图形面积，因此：
$\begin{aligned}S_{△ A_2B_2C_2}&=S_{△ ABC}\\&=5×5 -\frac{1}{2}×2×2 -\frac{1}{2}×3×5 -\frac{1}{2}×5×3\\&=25-2-7.5-7.5\\&=8\end{aligned}$
即$△ A_2B_2C_2$的面积为8。
(3) 作点A关于y轴的对称点$A_1$，连接$A_1B$，与y轴的交点即为所求的点P，保留作图痕迹如图所示。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先明确关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数。先读取原△ABC三个顶点的坐标，再根据规律得到对称点A₁、B₁、C₁的坐标，顺次连接三点即可得到对称图形。
(2) 求解第二问时，依据平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，可知△A₂B₂C₂的面积与△ABC的面积相等。计算网格内三角形面积采用割补法，将三角形置于外围矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可。
(3) 求解第三问时，属于“一动点在定直线上，到两定点距离之和最短”的问题，结合轴对称性质和两点之间线段最短的原理，作点A关于y轴的对称点，连接对称点与点B，与y轴的交点就是所求的点P。
【解析】
(1) 原△ABC的顶点坐标为A(-4,1)，B(-2,3)，C(1,-2)，关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标取相反数，因此A₁(4,1)，B₁(2,3)，C₁(-1,-2)，顺次连接A₁、B₁、C₁得到△A₁B₁C₁。
(2) 将A、B、C三点沿y轴向下平移3个单位，横坐标不变，纵坐标减3，得到△A₂B₂C₂。由平移性质可知$S_{△ A_2B_2C_2}=S_{△ ABC}$，用割补法计算：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=5×5 -\frac{1}{2}×2×2 -\frac{1}{2}×3×5 -\frac{1}{2}×5×3\\&=25-2-7.5-7.5\\&=8\end{aligned}$
因此△A₂B₂C₂的面积为8。
(3) 作点A关于y轴的对称点A₁，连接A₁B，A₁B与y轴的交点即为所求的点P，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) $A_1(4,1)$，$B_1(2,3)$，$C_1(-1,-2)$，画图略；
(2) △A₂B₂C₂的面积为$\boxed{8}$，画图略；
(3) 连接A关于y轴的对称点A₁与点B，与y轴的交点即为P，作图略。
【知识点】
1. 关于y轴对称的坐标特征
2. 平移的性质
3. 最短路径作图
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，覆盖了图形变换、面积计算、最短路径三个核心考点，解题的关键是熟练掌握坐标变换的规律，灵活运用割补法求网格图形面积，理解轴对称解决最短路径问题的原理。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，先明确关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数。先读取原△ABC三个顶点的坐标，再根据规律得到对称点A₁、B₁、C₁的坐标，顺次连接三点即可得到对称图形。
(2) 求解第二问时，依据平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，可知△A₂B₂C₂的面积与△ABC的面积相等。计算网格内三角形面积采用割补法，将三角形置于外围矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可。
(3) 求解第三问时，属于“一动点在定直线上，到两定点距离之和最短”的问题，结合轴对称性质和两点之间线段最短的原理，作点A关于y轴的对称点，连接对称点与点B，与y轴的交点就是所求的点P。
【解析】
(1) 原△ABC的顶点坐标为A(-4,1)，B(-2,3)，C(1,-2)，关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标取相反数，因此A₁(4,1)，B₁(2,3)，C₁(-1,-2)，顺次连接A₁、B₁、C₁得到△A₁B₁C₁。
(2) 将A、B、C三点沿y轴向下平移3个单位，横坐标不变，纵坐标减3，得到△A₂B₂C₂。由平移性质可知$S_{△ A_2B_2C_2}=S_{△ ABC}$，用割补法计算：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=5×5 -\frac{1}{2}×2×2 -\frac{1}{2}×3×5 -\frac{1}{2}×5×3\\&=25-2-7.5-7.5\\&=8\end{aligned}$
因此△A₂B₂C₂的面积为8。
(3) 作点A关于y轴的对称点A₁，连接A₁B，A₁B与y轴的交点即为所求的点P，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) $A_1(4,1)$，$B_1(2,3)$，$C_1(-1,-2)$，画图略；
(2) △A₂B₂C₂的面积为$\boxed{8}$，画图略；
(3) 连接A关于y轴的对称点A₁与点B，与y轴的交点即为P，作图略。
【知识点】
1. 关于y轴对称的坐标特征
2. 平移的性质
3. 最短路径作图
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，覆盖了图形变换、面积计算、最短路径三个核心考点，解题的关键是熟练掌握坐标变换的规律，灵活运用割补法求网格图形面积，理解轴对称解决最短路径问题的原理。
【难度系数】
0.7
19.如图，AD是$△ ABC$的角平分线，过点D作直线$DF // BA$，交$△ ABC$的外角平分线AF于点F，DF与AC相交于点E.求证$DE=EF$.
答案
证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ DF // BA，
∴ ∠BAD = ∠EDA，
∴ ∠CAD = ∠EDA，
∴ DE = AE。
∵ AF是△ABC的外角平分线，
∴ AF平分∠BAC的外角，即∠FAM = ∠FAE（M为BA延长线上的点）。
∵ DF // BA，
∴ ∠FAM = ∠AFE，
∴ ∠FAE = ∠AFE，
∴ EF = AE。
∴ DE = EF。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ DF // BA，
∴ ∠BAD = ∠EDA，
∴ ∠CAD = ∠EDA，
∴ DE = AE。
∵ AF是△ABC的外角平分线，
∴ AF平分∠BAC的外角，即∠FAM = ∠FAE（M为BA延长线上的点）。
∵ DF // BA，
∴ ∠FAM = ∠AFE，
∴ ∠FAE = ∠AFE，
∴ EF = AE。
∴ DE = EF。
解析
【分析】
要证明DE=EF，可通过寻找与两条线段都相等的中间量，借助等量代换推导结论。首先结合已知的角平分线和平行线条件，利用“平行线的内错角相等+角平分线定义”推导等角，再根据“等角对等边”分别证明DE、EF都等于公共线段AE，即可得到DE=EF的结论。
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ DF // BA，
∴ ∠BAD = ∠EDA，
∴ ∠CAD = ∠EDA，
∴ DE = AE。
∵ AF是△ABC的外角平分线，
∴ AF平分∠BAC的外角，即∠FAM = ∠FAE（M为BA延长线上的点）。
∵ DF // BA，
∴ ∠FAM = ∠AFE，
∴ ∠FAE = ∠AFE，
∴ EF = AE。
∴ DE = EF。
【答案】
DE=EF，得证
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是典型的几何基础综合题，核心考查“角平分线+平行线”构造等腰三角形的常用模型，解题关键是找到公共线段AE作为等量桥梁，利用等角对等边建立待证线段的等量关系，这类模型在几何线段相等的证明问题中应用非常广泛。
【难度系数】
0.7
要证明DE=EF，可通过寻找与两条线段都相等的中间量，借助等量代换推导结论。首先结合已知的角平分线和平行线条件，利用“平行线的内错角相等+角平分线定义”推导等角，再根据“等角对等边”分别证明DE、EF都等于公共线段AE，即可得到DE=EF的结论。
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ DF // BA，
∴ ∠BAD = ∠EDA，
∴ ∠CAD = ∠EDA，
∴ DE = AE。
∵ AF是△ABC的外角平分线，
∴ AF平分∠BAC的外角，即∠FAM = ∠FAE（M为BA延长线上的点）。
∵ DF // BA，
∴ ∠FAM = ∠AFE，
∴ ∠FAE = ∠AFE，
∴ EF = AE。
∴ DE = EF。
【答案】
DE=EF，得证
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是典型的几何基础综合题，核心考查“角平分线+平行线”构造等腰三角形的常用模型，解题关键是找到公共线段AE作为等量桥梁，利用等角对等边建立待证线段的等量关系，这类模型在几何线段相等的证明问题中应用非常广泛。
【难度系数】
0.7
20.如图，一艘船上午8时从海岛A出发，以15 n mile/h的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得$∠ NAC=30°$，$∠ NBC=60°$.若这艘船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，则还要经过多长时间，船与灯塔C之间的距离最短？
答案
解：过点C作CD⊥AN，垂足为D，此时CD的长度即为船与灯塔C的最短距离。
由题意得，$AB = 15×(10-8) = 30\ (\mathrm{n mile})$。
$\because ∠ NAC=30°$，$∠ NBC=60°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ NBC - ∠ NAC = 30°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ NAC$，
$\therefore BC = AB = 30\ (\mathrm{n mile})$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CDB=90°$，$∠ NBC=60°$，
$\therefore ∠ BCD = 90° - 60° = 30°$，
$\therefore BD = \frac{1}{2}BC = 15\ (\mathrm{n mile})$。
$\therefore$ 所需航行时间为 $15÷15 = 1\ (\mathrm{h})$。
答：还要经过1小时，船与灯塔C之间的距离最短。
由题意得，$AB = 15×(10-8) = 30\ (\mathrm{n mile})$。
$\because ∠ NAC=30°$，$∠ NBC=60°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ NBC - ∠ NAC = 30°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ NAC$，
$\therefore BC = AB = 30\ (\mathrm{n mile})$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CDB=90°$，$∠ NBC=60°$，
$\therefore ∠ BCD = 90° - 60° = 30°$，
$\therefore BD = \frac{1}{2}BC = 15\ (\mathrm{n mile})$。
$\therefore$ 所需航行时间为 $15÷15 = 1\ (\mathrm{h})$。
答：还要经过1小时，船与灯塔C之间的距离最短。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确“点到直线的所有连线中，垂线段最短”，因此过点C作CD⊥AN于D，船航行到D点时与灯塔C的距离最近，所求即为船从B航行到D的时间。解题步骤可分为四步：第一步根据航行速度和时间计算AB的长度；第二步利用三角形外角的性质推导角的关系，得到等腰三角形，求出BC的长度；第三步在直角三角形BCD中，利用30°角对应的直角边性质算出BD的长度；最后用BD的长度除以航行速度得到所需时间。
【解析】
过点C作CD⊥AN，垂足为D，此时CD的长度即为船与灯塔C的最短距离。
由题意得，航行速度为15 n mile/h，从A到B的航行时间为$10-8=2\ \mathrm{h}$，因此$AB = 15×(10-8) = 30\ (\mathrm{n mile})$。
$\because ∠NBC$是$△ ABC$的外角，$\therefore ∠NBC = ∠NAC + ∠ACB$，
又$\because ∠ NAC=30°$，$∠ NBC=60°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ NBC - ∠ NAC = 60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ NAC$，
根据等角对等边可得$BC = AB = 30\ (\mathrm{n mile})$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CDB=90°$，$∠ CBD=60°$，
$\therefore ∠ BCD = 90° - 60° = 30°$，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×30=15\ (\mathrm{n mile})$。
所需航行时间为路程除以速度，即 $15÷15 = 1\ (\mathrm{h})$。
【答案】
还要经过1小时，船与灯塔C之间的距离最短。
【知识点】
垂线段最短；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合航行实际场景考查几何性质的应用，解题核心是先确定最短距离对应的线段，再通过角度关系推导边长，考查了将实际问题转化为几何问题的能力，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确“点到直线的所有连线中，垂线段最短”，因此过点C作CD⊥AN于D，船航行到D点时与灯塔C的距离最近，所求即为船从B航行到D的时间。解题步骤可分为四步：第一步根据航行速度和时间计算AB的长度；第二步利用三角形外角的性质推导角的关系，得到等腰三角形，求出BC的长度；第三步在直角三角形BCD中，利用30°角对应的直角边性质算出BD的长度；最后用BD的长度除以航行速度得到所需时间。
【解析】
过点C作CD⊥AN，垂足为D，此时CD的长度即为船与灯塔C的最短距离。
由题意得，航行速度为15 n mile/h，从A到B的航行时间为$10-8=2\ \mathrm{h}$，因此$AB = 15×(10-8) = 30\ (\mathrm{n mile})$。
$\because ∠NBC$是$△ ABC$的外角，$\therefore ∠NBC = ∠NAC + ∠ACB$，
又$\because ∠ NAC=30°$，$∠ NBC=60°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ NBC - ∠ NAC = 60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ NAC$，
根据等角对等边可得$BC = AB = 30\ (\mathrm{n mile})$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CDB=90°$，$∠ CBD=60°$，
$\therefore ∠ BCD = 90° - 60° = 30°$，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×30=15\ (\mathrm{n mile})$。
所需航行时间为路程除以速度，即 $15÷15 = 1\ (\mathrm{h})$。
【答案】
还要经过1小时，船与灯塔C之间的距离最短。
【知识点】
垂线段最短；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合航行实际场景考查几何性质的应用，解题核心是先确定最短距离对应的线段，再通过角度关系推导边长，考查了将实际问题转化为几何问题的能力，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
