12.若等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为$50°$，则该等腰三角形的顶角为。

解：分两种情况计算：
① 若等腰三角形的顶角为锐角，腰上的高线在三角形内部：
由高线定义，结合直角三角形两锐角互余，可得顶角 = 90° - 50° = 40°；
② 若等腰三角形的顶角为钝角，腰上的高线在三角形外部：
由高线定义，结合直角三角形两锐角互余，可得顶角的邻补角 = 90° - 50° = 40°，因此顶角 = 180° - 40° = 140°。
综上，该等腰三角形的顶角为$\boldsymbol{40°}$或$\boldsymbol{140°}$。

【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形的顶角可能为锐角也可能为钝角，两种情况下腰上的高线位置不同：锐角顶角时高线在三角形内部，钝角顶角时高线在三角形外部，因此需要分两种情况讨论。再结合高线的定义得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质分别计算顶角的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
分两种情况计算：
① 若等腰三角形的顶角为锐角，腰上的高线在三角形内部：
由高线定义可知高线与腰的夹角为90°，结合直角三角形两锐角互余，可得顶角 = 90° - 50° = 40°；
② 若等腰三角形的顶角为钝角，腰上的高线在三角形外部：
由高线定义可知高线与腰的延长线夹角为90°，结合直角三角形两锐角互余，可得顶角的邻补角 = 90° - 50° = 40°，因此顶角 = 180° - 40° = 140°。
综上，该等腰三角形的顶角为40°或140°。
【答案】
$\boldsymbol{40°}$或$\boldsymbol{140°}$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，三角形高线的定义
【点评】
本题易错点是容易忽略顶角为钝角的情况，仅计算出40°这一个结果，解题时要注意结合等腰三角形的特征分情况讨论，考虑高线在三角形内部和外部两种情形，避免漏解。
【难度系数】
0.6

三、解答题
13. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在$BC$，$AB$的延长线上. 若$∠ EBD = 107°$，$∠ CAD = 26°$，$∠ D = 39°$，求$∠ BAC$的度数.

解：
∵ ∠EBD = 107°，且∠EBD + ∠ABD = 180°，
∴ ∠ABD = 180° - 107° = 73°。
在△ABD中，由三角形内角和为180°得：
∠ABD + ∠BAD + ∠D = 180°，
∴ ∠BAD = 180° - ∠ABD - ∠D = 180° - 73° - 39° = 68°。
又∵ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD，∠CAD = 26°，
∴ ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 68° - 26° = 42°。
答：∠BAC的度数为42°。

【分析】
要求∠BAC的度数，观察图形可知∠BAD=∠BAC+∠CAD，已知∠CAD=26°，因此只需先求出∠BAD的度数即可。∠BAD是△ABD的内角，已知∠D=39°，因此需要先求出△ABD中另一个内角∠ABD的度数。∠ABD与已知的∠EBD是邻补角，二者和为180°，据此可先算出∠ABD，再结合三角形内角和定理算出∠BAD，最后减去∠CAD就能得到∠BAC的度数。
【解析】
∵ ∠EBD = 107°，且∠EBD + ∠ABD = 180°，
∴ ∠ABD = 180° - 107° = 73°。
在△ABD中，由三角形内角和为180°得：
∠ABD + ∠BAD + ∠D = 180°，
∴ ∠BAD = 180° - ∠ABD - ∠D = 180° - 73° - 39° = 68°。
又
∵ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD，∠CAD = 26°，
∴ ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 68° - 26° = 42°。
【答案】
42°
【知识点】
邻补角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是理清图中角的数量关系，结合邻补角性质和三角形内角和定理逐步推导即可，考查了基础的几何推理计算能力。
【难度系数】
0.75

14. 如图，已知 $AB = AC$，$∠ ABD = ∠ ACD$，求证 $AD ⊥ BC$。

证明：
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$。
又∵ $∠ ABD = ∠ ACD$，
∴ $∠ ABC - ∠ ABD = ∠ ACB - ∠ ACD$，
即 $∠ DBC = ∠ DCB$，
∴ $DB = DC$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\DB = DC \\AD = AD\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SSS），
∴ $∠ BAD = ∠ CAD$，即$AD$平分$∠ BAC$。
又∵ $AB = AC$，由等腰三角形“三线合一”的性质，
可得 $AD ⊥ BC$。

【分析】
要证明$AD ⊥ BC$，已知$AB=AC$，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此只需证明$AD$是$∠ BAC$的角平分线即可。首先利用$AB=AC$得到$∠ ABC=∠ ACB$，结合已知$∠ ABD=∠ ACD$，可推出$∠ DBC=∠ DCB$，进而得到$DB=DC$；再通过SSS判定证明$△ ABD ≌ △ ACD$，得到$∠ BAD=∠ CAD$，即$AD$平分$∠ BAC$，最后结合等腰三角形三线合一的性质即可证得$AD ⊥ BC$。
【解析】
证明：
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$（等边对等角）。
又
∵ $∠ ABD = ∠ ACD$，
∴ $∠ ABC - ∠ ABD = ∠ ACB - ∠ ACD$，
即 $∠ DBC = ∠ DCB$，
∴ $DB = DC$（等角对等边）。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB = AC \\DB = DC \\AD = AD \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SSS），
∴ $∠ BAD = ∠ CAD$，即$AD$平分$∠ BAC$。
又
∵ $AB = AC$，由等腰三角形“三线合一”的性质，
可得 $AD ⊥ BC$。
【答案】
$AD ⊥ BC$
【知识点】
1. 等腰三角形边角性质
2. 全等三角形SSS判定
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过已知角的关系推导出边相等，进而证明三角形全等得到角平分线，最终利用等腰三角形的特殊性质完成证明，能够锻炼学生的逻辑推导能力和几何证明的规范书写能力。
【难度系数】
0.7

15.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,P是AD上的一点,且PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F.求证PE=PF.

证明：
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的高平分顶角，三线合一）。
又∵ PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。

【分析】
要证明PE=PF，首先观察PE、PF的几何意义：二者分别是点P到∠BAC两边AB、AC的垂线段长度，根据角平分线的性质，只要证明点P在∠BAC的角平分线上即可。结合已知条件△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推得AD就是∠BAC的角平分线，而P在AD上，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的高平分顶角，三线合一）。
又
∵ PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
【答案】
证明：
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的高平分顶角，三线合一）。
又
∵ PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
【知识点】
等腰三角形三线合一；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是先利用等腰三角形的三线合一性质得到角平分线，再结合角平分线的性质推导线段相等，解题时需准确对应性质的适用条件，避免混淆定理。
【难度系数】
0.8

16.如图,点E,F在线段BC上,∠A=∠D,∠B=∠C,BE=CF,AF与DE相交于点M.求证△ABF≌△DCE.

证明：
∵ $BE = CF$，
∴ $BE + EF = CF + EF$，
即 $BF = CE$。
在$△ ABF$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ D, \\∠ B = ∠ C, \\BF = CE,\end{cases}$
∴ $△ ABF ≌ △ DCE$（AAS）。

【分析】
要证明△ABF≌△DCE，首先结合已知条件明确：题目已给出两组对应角相等（∠A=∠D，∠B=∠C），根据全等三角形的判定规则，只需再找到一组对应边相等即可完成证明。已知BE=CF，观察图形可知BF=BE+EF、CE=CF+EF，根据等式的性质，在BE=CF的基础上同时加上公共线段EF，即可得到BF=CE，刚好是两个三角形的一组对应边，凑齐AAS的判定条件即可证明全等。
【解析】
证明：
∵ $BE = CF$，
∴ $BE + EF = CF + EF$，
即 $BF = CE$。
在$△ ABF$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}∠A = ∠D, \\∠B = ∠C, \\BF = CE,\end{cases}$
∴ $△ ABF ≌ △ DCE$（AAS）。
【答案】
证明：
∵ $BE = CF$，
∴ $BE + EF = CF + EF$，
即 $BF = CE$。
在$△ ABF$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}∠A = ∠D, \\∠B = ∠C, \\BF = CE,\end{cases}$
∴ $△ ABF ≌ △ DCE$（AAS）。
【知识点】
全等三角形的判定、线段和差性质、AAS判定定理
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，核心考查对AAS全等判定定理的应用，解题关键是通过已知线段相等关系推导得到两个三角形的对应边相等，熟练掌握全等判定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.85

17. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC = 30°$, $∠ ACB = 50°$, $DE, FG$ 分别为 $AB$, $AC$ 的垂直平分线, $E, G$ 分别为垂足.
(1) 求 $∠ DAF$ 的度数;
(2) 若 $△ DAF$ 的周长为 20, 求 $BC$ 的长.
(第17题)

解：
(1) 在$△ ABC$中，
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 30° - 50° = 100°$。
$\because DE$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore DA = DB$，
$\therefore ∠ DAB = ∠ ABC = 30°$。
$\because FG$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore FA = FC$，
$\therefore ∠ FAC = ∠ ACB = 50°$。
$\therefore ∠ DAF = ∠ BAC - ∠ DAB - ∠ FAC = 100° - 30° - 50° = 20°$。
(2) $\because △ DAF$的周长为20，
$\therefore AD + DF + AF = 20$。
由$DA=DB$，$FA=FC$，可得：
$BC = BD + DF + FC = AD + DF + AF = 20$。
答：(1)$∠ DAF$的度数为$20°$；(2)$BC$的长为20。

【分析】
(1) 求∠DAF的度数时，首先利用三角形内角和定理算出△ABC中∠BAC的度数；再根据线段垂直平分线的性质，得到DA=DB、FA=FC，结合等腰三角形等边对等角的性质，推出∠DAB=∠ABC，∠FAC=∠ACB；最后用∠BAC减去∠DAB和∠FAC的度数，即可得到∠DAF的度数。
(2) 求BC的长时，先拆分BC的线段构成：BC=BD+DF+FC，结合垂直平分线得到的DA=DB、FA=FC，将BD替换为AD、FC替换为AF，可发现BC的长度恰好等于△DAF的周长，结合已知的周长数值就能求出BC的长。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 30° - 50° = 100°$。
$\because DE$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore DA = DB$，
$\therefore ∠ DAB = ∠ ABC = 30°$。
$\because FG$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore FA = FC$，
$\therefore ∠ FAC = ∠ ACB = 50°$。
$\therefore ∠ DAF = ∠ BAC - ∠ DAB - ∠ FAC = 100° - 30° - 50° = 20°$。
(2) $\because △ DAF$的周长为20，
$\therefore AD + DF + AF = 20$。
由$DA=DB$，$FA=FC$，可得：
$BC = BD + DF + FC = AD + DF + AF = 20$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$；(2) $\boldsymbol{20}$
【知识点】
三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础常考题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题时运用转化思想，将所求角、线段与已知条件建立关联即可求解，是垂直平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7