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一、选择题
1. 将多项式$a^2x + axy - a^2xy$进行因式分解时，应提取的公因式是（）
A.$a$
B.$a^2$
C.$ay$
D.$ax$
1. 将多项式$a^2x + axy - a^2xy$进行因式分解时，应提取的公因式是（）
A.$a$
B.$a^2$
C.$ay$
D.$ax$
答案
D
解析
【分析】
要确定多项式因式分解时提取的公因式，需牢记公因式的确定三步法：①找各项系数的最大公约数；②找各项都含有的相同字母；③取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式。首先观察多项式的三个项，系数的最大公约数是1；再看公共字母，y只在后两项存在，不是所有项共有，排除含y的选项C；a的最低次是1次，排除含a²的选项B；最后对比剩余选项，x是三个项都有的字母，所以公因式包含x，即可选出正确答案。
【解析】
多项式$a^2x + axy - a^2xy$的三项分别为$a^2x$、$axy$、$-a^2xy$，按公因式确定规则计算：
1. 系数部分：三项系数为1、1、-1，最大公约数是1；
2. 公共字母：三项共同含有的字母为a、x，y仅在后两项出现，不属于公共字母；
3. 字母的最低次幂：a的最低次数为1，x的最低次数为1。
因此公因式为$1× a× x=ax$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定；提公因式法因式分解
【点评】
本题考查提公因式法中公因式的确定，属于基础类题型，熟练掌握找公因式的三个步骤，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
要确定多项式因式分解时提取的公因式，需牢记公因式的确定三步法：①找各项系数的最大公约数；②找各项都含有的相同字母；③取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式。首先观察多项式的三个项，系数的最大公约数是1；再看公共字母，y只在后两项存在，不是所有项共有，排除含y的选项C；a的最低次是1次，排除含a²的选项B；最后对比剩余选项，x是三个项都有的字母，所以公因式包含x，即可选出正确答案。
【解析】
多项式$a^2x + axy - a^2xy$的三项分别为$a^2x$、$axy$、$-a^2xy$，按公因式确定规则计算：
1. 系数部分：三项系数为1、1、-1，最大公约数是1；
2. 公共字母：三项共同含有的字母为a、x，y仅在后两项出现，不属于公共字母；
3. 字母的最低次幂：a的最低次数为1，x的最低次数为1。
因此公因式为$1× a× x=ax$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定；提公因式法因式分解
【点评】
本题考查提公因式法中公因式的确定，属于基础类题型，熟练掌握找公因式的三个步骤，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
2.对于①$x-3xy=x(1-3y)$，②$(x+3)(x-1)=x^2+2x-3$从左到右的变形，表述正确的是()
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是分解因式，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是分解因式
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是分解因式，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是分解因式
答案
C
解析
【分析】
首先要明确两个核心概念：一是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式乘积的形式；二是整式乘法的定义，即把几个整式相乘的形式展开为一个多项式的形式，二者是互逆的变形过程。解题时分别判断两个式子的变形方向：①看是否是从多项式变为整式乘积的形式，②看是否是从整式乘积变为多项式的形式，再对应选项得出结论。
【解析】
首先明确概念：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，变形结果是“积的形式”；
2. 整式乘法：把几个整式相乘，运算结果是一个多项式，变形结果是“和差的形式”。
对两个式子分别判断：
①式左边是多项式$x-3xy$，右边是两个整式$x$和$(1-3y)$的乘积，符合因式分解的特征，因此①是因式分解；
②式左边是两个整式$(x+3)$和$(x-1)$的乘积，右边是展开后的多项式$x^2+2x-3$，符合整式乘法的特征，因此②是乘法运算。
综上，①是分解因式，②是乘法运算，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法运算；因式分解与整式乘法的互逆性
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是抓住两类变形的本质区别：因式分解的最终结果是几个整式的乘积，整式乘法的最终结果是多项式，熟练掌握概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
首先要明确两个核心概念：一是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式乘积的形式；二是整式乘法的定义，即把几个整式相乘的形式展开为一个多项式的形式，二者是互逆的变形过程。解题时分别判断两个式子的变形方向：①看是否是从多项式变为整式乘积的形式，②看是否是从整式乘积变为多项式的形式，再对应选项得出结论。
【解析】
首先明确概念：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，变形结果是“积的形式”；
2. 整式乘法：把几个整式相乘，运算结果是一个多项式，变形结果是“和差的形式”。
对两个式子分别判断：
①式左边是多项式$x-3xy$，右边是两个整式$x$和$(1-3y)$的乘积，符合因式分解的特征，因此①是因式分解；
②式左边是两个整式$(x+3)$和$(x-1)$的乘积，右边是展开后的多项式$x^2+2x-3$，符合整式乘法的特征，因此②是乘法运算。
综上，①是分解因式，②是乘法运算，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法运算；因式分解与整式乘法的互逆性
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是抓住两类变形的本质区别：因式分解的最终结果是几个整式的乘积，整式乘法的最终结果是多项式，熟练掌握概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
3.下列分解因式中,正确的有()
①$x^3 + 2xy + x = x(x^2 + 2y)$；
②$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$；
③$-x^2 + y^2 = (x + y)(x - y)$.
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
①$x^3 + 2xy + x = x(x^2 + 2y)$；
②$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$；
③$-x^2 + y^2 = (x + y)(x - y)$.
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
答案
C
解析
【分析】
要判断因式分解是否正确，需依据因式分解的定义和运算法则，逐个验证每个式子：首先看提公因式是否漏项，其次看公式运用是否正确、符号是否匹配，也可以将分解后的结果展开，对比是否与原式相等。
【解析】
我们逐一分析三个式子：
1. 分析①：对$x^3 + 2xy + x$提公因式$x$时，每一项都要除以公因式，第三项$x÷ x=1$，因此正确结果应为$x(x^2+2y+1)$，原式漏了常数项1，故①错误。
2. 分析②：$x^2+4x+4$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，其中$a=x$，$b=2$，代入得$(x+2)^2$，与原式相等，故②正确。
3. 分析③：$-x^2+y^2=y^2-x^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，正确结果应为$(y+x)(y-x)=-(x+y)(x-y)$，原式右边展开为$x^2-y^2$，与原式符号相反，故③错误。
综上，正确的只有1个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题属于因式分解的基础判断题，易错点为提公因式时漏写常数项、运用平方差公式时混淆符号，做完后可通过展开结果验证是否与原式一致，提高正确率。
【难度系数】
0.7
要判断因式分解是否正确，需依据因式分解的定义和运算法则，逐个验证每个式子：首先看提公因式是否漏项，其次看公式运用是否正确、符号是否匹配，也可以将分解后的结果展开，对比是否与原式相等。
【解析】
我们逐一分析三个式子：
1. 分析①：对$x^3 + 2xy + x$提公因式$x$时，每一项都要除以公因式，第三项$x÷ x=1$，因此正确结果应为$x(x^2+2y+1)$，原式漏了常数项1，故①错误。
2. 分析②：$x^2+4x+4$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，其中$a=x$，$b=2$，代入得$(x+2)^2$，与原式相等，故②正确。
3. 分析③：$-x^2+y^2=y^2-x^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，正确结果应为$(y+x)(y-x)=-(x+y)(x-y)$，原式右边展开为$x^2-y^2$，与原式符号相反，故③错误。
综上，正确的只有1个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题属于因式分解的基础判断题，易错点为提公因式时漏写常数项、运用平方差公式时混淆符号，做完后可通过展开结果验证是否与原式一致，提高正确率。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4.已知整式 $x^2 - x + k$ 可以因式分解为 $(x + m)(x - 5)$，则 $m$ 的值为。
4.已知整式 $x^2 - x + k$ 可以因式分解为 $(x + m)(x - 5)$，则 $m$ 的值为。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。首先将因式分解的结果$(x+m)(x-5)$展开为多项式形式，再根据两个多项式相等时，对应同类项的系数相等，列出关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
先将等式右侧的整式展开：
$\begin{aligned}(x+m)(x-5)&=x^2 -5x + mx -5m\\&=x^2 + (m-5)x -5m\end{aligned}$
已知整式$x^2 -x +k$因式分解后为$(x+m)(x-5)$，因此两个多项式相等，对应同类项的系数相等，观察一次项系数可得：
$m - 5 = -1$
解得：$m = 5 - 1 = 4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1.因式分解与整式乘法的互逆性
2.多项式对应系数相等
3.一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解因式分解和整式乘法是互逆运算，通过展开乘积式、对比对应项系数列方程即可求解，掌握该方法即可快速完成此类题目。
【难度系数】
0.8
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。首先将因式分解的结果$(x+m)(x-5)$展开为多项式形式，再根据两个多项式相等时，对应同类项的系数相等，列出关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
先将等式右侧的整式展开：
$\begin{aligned}(x+m)(x-5)&=x^2 -5x + mx -5m\\&=x^2 + (m-5)x -5m\end{aligned}$
已知整式$x^2 -x +k$因式分解后为$(x+m)(x-5)$，因此两个多项式相等，对应同类项的系数相等，观察一次项系数可得：
$m - 5 = -1$
解得：$m = 5 - 1 = 4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1.因式分解与整式乘法的互逆性
2.多项式对应系数相等
3.一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解因式分解和整式乘法是互逆运算，通过展开乘积式、对比对应项系数列方程即可求解，掌握该方法即可快速完成此类题目。
【难度系数】
0.8
5.若$4a=7-b$,则代数式$16a^2+8ab+b^2$的值为。
答案
$\boldsymbol{49}$
解析
【分析】
首先观察所求代数式$16a^2+8ab+b^2$的结构，发现它符合完全平方和公式的展开形式，因此可以先利用完全平方公式将其因式分解为$(4a+b)^2$。再看已知条件$4a=7-b$，通过移项变形就能得到$4a+b$的值，最后整体代入分解后的式子计算即可得到结果。
【解析】
1. 对代数式$16a^2+8ab+b^2$因式分解：
根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，取$m=4a$，$n=b$，可得：
$16a^2+8ab+b^2=(4a)^2 + 2×4a× b + b^2=(4a+b)^2$
2. 变形已知条件：
已知$4a=7-b$，将$-b$移到等号左侧，得$4a + b =7$
3. 整体代入求值：
把$4a + b =7$代入$(4a+b)^2$，得：
$(4a+b)^2=7^2=49$
【答案】
$\boldsymbol{49}$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，将所求代数式因式分解后，结合已知条件变形进行整体代入求值，避免了分别求a、b的值的复杂计算，体现了整体代入思想的应用。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式$16a^2+8ab+b^2$的结构，发现它符合完全平方和公式的展开形式，因此可以先利用完全平方公式将其因式分解为$(4a+b)^2$。再看已知条件$4a=7-b$，通过移项变形就能得到$4a+b$的值，最后整体代入分解后的式子计算即可得到结果。
【解析】
1. 对代数式$16a^2+8ab+b^2$因式分解：
根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，取$m=4a$，$n=b$，可得：
$16a^2+8ab+b^2=(4a)^2 + 2×4a× b + b^2=(4a+b)^2$
2. 变形已知条件：
已知$4a=7-b$，将$-b$移到等号左侧，得$4a + b =7$
3. 整体代入求值：
把$4a + b =7$代入$(4a+b)^2$，得：
$(4a+b)^2=7^2=49$
【答案】
$\boldsymbol{49}$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，将所求代数式因式分解后，结合已知条件变形进行整体代入求值，避免了分别求a、b的值的复杂计算，体现了整体代入思想的应用。
【难度系数】
0.8
6.如图,将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块,其中有2块是边长为a的大正方形,2块是边长为b的小正方形,5块完全相同的小长方形,且$a＞b$.观察图形,可以发现代数式$2a^2 +5ab +2b^2$分解因式的结果为.
答案
$\boldsymbol{(2a+b)(a+2b)}$
解析
【分析】
解题可以从两个角度思考：①几何角度：代数式$2a^2 +5ab +2b^2$是图中所有裁剪块的面积之和，也就是整个大长方形的总面积，而长方形面积=长×宽，所以只要求出大长方形的长和宽，两者的乘积就是因式分解的结果；②代数角度：可以直接用十字相乘法对二次三项式$2a^2 +5ab +2b^2$进行因式分解。
【解析】
方法一（几何法）：
1. 计算所有裁剪块的总面积：2块边长为a的正方形面积为$2a^2$，2块边长为b的正方形面积为$2b^2$，5块小长方形的面积和为$5ab$，因此总面积$S=2a^2 +5ab +2b^2$。
2. 求大长方形的长和宽：观察图形可得，大长方形的长为$a+2b$，宽为$2a+b$，因此大长方形面积也可表示为$S=(2a+b)(a+2b)$。
3. 因为两种方式表示的是同一图形的面积，因此$2a^2 +5ab +2b^2=(2a+b)(a+2b)$。
方法二（十字相乘法）：
对$2a^2 +5ab +2b^2$进行十字相乘：
把二次项系数2拆为$2×1$，常数项$2b^2$拆为$b×2b$，交叉验证：$2a×2b + a× b=5ab$，符合一次项系数，因此可分解为$(2a+b)(a+2b)$。
【答案】
$\boldsymbol{(2a+b)(a+2b)}$
【知识点】
因式分解；十字相乘法；几何面积表示
【点评】
本题是数形结合的典型题型，既可以通过几何图形的面积关系推导因式分解结果，也可以直接用代数方法分解多项式，能帮助学生理解因式分解和整式乘法的互逆关系。
【难度系数】
0.7
解题可以从两个角度思考：①几何角度：代数式$2a^2 +5ab +2b^2$是图中所有裁剪块的面积之和，也就是整个大长方形的总面积，而长方形面积=长×宽，所以只要求出大长方形的长和宽，两者的乘积就是因式分解的结果；②代数角度：可以直接用十字相乘法对二次三项式$2a^2 +5ab +2b^2$进行因式分解。
【解析】
方法一（几何法）：
1. 计算所有裁剪块的总面积：2块边长为a的正方形面积为$2a^2$，2块边长为b的正方形面积为$2b^2$，5块小长方形的面积和为$5ab$，因此总面积$S=2a^2 +5ab +2b^2$。
2. 求大长方形的长和宽：观察图形可得，大长方形的长为$a+2b$，宽为$2a+b$，因此大长方形面积也可表示为$S=(2a+b)(a+2b)$。
3. 因为两种方式表示的是同一图形的面积，因此$2a^2 +5ab +2b^2=(2a+b)(a+2b)$。
方法二（十字相乘法）：
对$2a^2 +5ab +2b^2$进行十字相乘：
把二次项系数2拆为$2×1$，常数项$2b^2$拆为$b×2b$，交叉验证：$2a×2b + a× b=5ab$，符合一次项系数，因此可分解为$(2a+b)(a+2b)$。
【答案】
$\boldsymbol{(2a+b)(a+2b)}$
【知识点】
因式分解；十字相乘法；几何面积表示
【点评】
本题是数形结合的典型题型，既可以通过几何图形的面积关系推导因式分解结果，也可以直接用代数方法分解多项式，能帮助学生理解因式分解和整式乘法的互逆关系。
【难度系数】
0.7
7.若a,b,c是一个三角形的三边长，则$a^2 - b^2 - c^2 - 2bc$ （填“＞”“＜”或“=”）0.
答案
$＜$
解析
【分析】
解题时首先观察代数式的结构，发现后三项可凑成完全平方的形式，因此先通过添括号对代数式变形，再依次运用完全平方公式、平方差公式进行因式分解，最后结合三角形三边关系判断每个因式的正负性，最终确定整个代数式的符号。
【解析】
先对原式进行因式分解：
$a^2 - b^2 - c^2 - 2bc$
$=a^2 - (b^2 + 2bc + c^2)$
根据完全平方公式$b^2+2bc+c^2=(b+c)^2$，可得：
原式$=a^2 - (b+c)^2$
再根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，可得：
原式$=(a + b + c)(a - b - c)$
∵a、b、c是三角形的三边长，三角形边长均为正数
∴$a + b + c ＞ 0$
又
∵三角形任意两边之和大于第三边，即$b + c ＞ a$
∴$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$
正数与负数相乘结果为负，因此$(a + b + c)(a - b - c) ＜ 0$
即$a^2 - b^2 - c^2 - 2bc ＜ 0$
【答案】
$＜$
【知识点】
因式分解；三角形三边关系；乘法公式
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，解题核心是正确对代数式因式分解，再结合三角形三边的性质判断符号，同时考查学生对因式分解方法的掌握和灵活运用知识的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察代数式的结构，发现后三项可凑成完全平方的形式，因此先通过添括号对代数式变形，再依次运用完全平方公式、平方差公式进行因式分解，最后结合三角形三边关系判断每个因式的正负性，最终确定整个代数式的符号。
【解析】
先对原式进行因式分解：
$a^2 - b^2 - c^2 - 2bc$
$=a^2 - (b^2 + 2bc + c^2)$
根据完全平方公式$b^2+2bc+c^2=(b+c)^2$，可得：
原式$=a^2 - (b+c)^2$
再根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，可得：
原式$=(a + b + c)(a - b - c)$
∵a、b、c是三角形的三边长，三角形边长均为正数
∴$a + b + c ＞ 0$
又
∵三角形任意两边之和大于第三边，即$b + c ＞ a$
∴$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$
正数与负数相乘结果为负，因此$(a + b + c)(a - b - c) ＜ 0$
即$a^2 - b^2 - c^2 - 2bc ＜ 0$
【答案】
$＜$
【知识点】
因式分解；三角形三边关系；乘法公式
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，解题核心是正确对代数式因式分解，再结合三角形三边的性质判断符号，同时考查学生对因式分解方法的掌握和灵活运用知识的能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
8.分解因式：
(1)$(x+y)^2 -14(x+y)+49$；
(2)$10x^n(x-y)-5x^{n+1}(x-y)$。
8.分解因式：
(1)$(x+y)^2 -14(x+y)+49$；
(2)$10x^n(x-y)-5x^{n+1}(x-y)$。
答案
解：
(1) 原式$=(x+y)^2 - 2·(x+y)·7 +7^2$
$=(x+y-7)^2$
(2) 原式$=5x^n(x-y)·2 - 5x^n(x-y)· x$
$=5x^n(x-y)(2-x)$
(1) 原式$=(x+y)^2 - 2·(x+y)·7 +7^2$
$=(x+y-7)^2$
(2) 原式$=5x^n(x-y)·2 - 5x^n(x-y)· x$
$=5x^n(x-y)(2-x)$
解析
【分析】
(1) 观察第(1)题的结构，可将$(x+y)$看作一个整体，原式符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2$的形式，其中$a$对应$(x+y)$，$b$对应$7$，直接套用完全平方公式即可完成分解；
(2) 观察第(2)题，两项都含有公共因式，先确定公因式：系数的最大公约数是5，相同因式$x$的最低次幂是$x^n$，还有相同多项式因式$(x-y)$，因此公因式为$5x^n(x-y)$，提取公因式后化简剩余部分即可。
【解析】
(1) 先将原式转化为完全平方公式的标准形式：
原式$=(x+y)^2 - 2·(x+y)·7 +7^2$
根据完全平方差公式计算得：$=(x+y-7)^2$
(2) 拆分两项，提取公因式$5x^n(x-y)$：
原式$=5x^n(x-y)·2 - 5x^n(x-y)· x$
提取公因式后合并剩余项得：$=5x^n(x-y)(2-x)$
【答案】
(1) $(x+y-7)^2$；(2) $5x^n(x-y)(2-x)$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时需先观察式子特征选择合适的分解方法，运用公式法时要准确识别公式结构，用提公因式法时要找全所有公因式，分解后注意检查结果是否分解彻底。
【难度系数】
0.8
(1) 观察第(1)题的结构，可将$(x+y)$看作一个整体，原式符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2$的形式，其中$a$对应$(x+y)$，$b$对应$7$，直接套用完全平方公式即可完成分解；
(2) 观察第(2)题，两项都含有公共因式，先确定公因式：系数的最大公约数是5，相同因式$x$的最低次幂是$x^n$，还有相同多项式因式$(x-y)$，因此公因式为$5x^n(x-y)$，提取公因式后化简剩余部分即可。
【解析】
(1) 先将原式转化为完全平方公式的标准形式：
原式$=(x+y)^2 - 2·(x+y)·7 +7^2$
根据完全平方差公式计算得：$=(x+y-7)^2$
(2) 拆分两项，提取公因式$5x^n(x-y)$：
原式$=5x^n(x-y)·2 - 5x^n(x-y)· x$
提取公因式后合并剩余项得：$=5x^n(x-y)(2-x)$
【答案】
(1) $(x+y-7)^2$；(2) $5x^n(x-y)(2-x)$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时需先观察式子特征选择合适的分解方法，运用公式法时要准确识别公式结构，用提公因式法时要找全所有公因式，分解后注意检查结果是否分解彻底。
【难度系数】
0.8
9.如图,在一块边长为a的正方形木板上,锯掉边长为b的4个小正方形.当$a=18\ \mathrm{dm},b=6\ \mathrm{dm}$时,求剩余部分的面积.
（单位:dm）
（单位:dm）
答案
解：
剩余部分的面积等于大正方形的面积减去4个小正方形的面积，因此剩余面积的表达式为：
$S = a^2 - 4b^2$
利用平方差公式因式分解得：
$S=(a+2b)(a-2b)$
将$a=18\ \mathrm{dm}$，$b=6\ \mathrm{dm}$代入上式：
$\begin{aligned}S&=(18 + 2×6)×(18 - 2×6)\\&=(18+12)×(18-12)\\&=30×6\\&=180\ (\mathrm{dm}^2)\end{aligned}$
答：剩余部分的面积为$180\ \mathrm{dm}^2$。
剩余部分的面积等于大正方形的面积减去4个小正方形的面积，因此剩余面积的表达式为：
$S = a^2 - 4b^2$
利用平方差公式因式分解得：
$S=(a+2b)(a-2b)$
将$a=18\ \mathrm{dm}$，$b=6\ \mathrm{dm}$代入上式：
$\begin{aligned}S&=(18 + 2×6)×(18 - 2×6)\\&=(18+12)×(18-12)\\&=30×6\\&=180\ (\mathrm{dm}^2)\end{aligned}$
答：剩余部分的面积为$180\ \mathrm{dm}^2$。
解析
【分析】
计算剩余部分的面积可采用“大减小”的割补思路：剩余面积等于大正方形的面积减去4个挖去的小正方形的面积之和。首先根据该思路写出面积的代数式，观察代数式特征可发现其符合平方差公式的形式，利用平方差公式因式分解能简化后续代入计算的步骤，最后将a、b的数值代入计算即可得到结果。
【解析】
剩余部分的面积为大正方形面积减去4个小正方形的面积，据此列表达式：
$S = a^2 - 4b^2$
利用平方差公式因式分解得：
$S=(a+2b)(a-2b)$
将$a=18\ \mathrm{dm}$，$b=6\ \mathrm{dm}$代入上式：
$\begin{aligned}S&=(18 + 2×6)×(18 - 2×6)\\&=(18+12)×(18-12)\\&=30×6\\&=180\ (\mathrm{dm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{180\ \mathrm{dm}^2}$
【知识点】
正方形面积计算，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算方法，结合因式分解可有效简化计算过程，降低计算出错率，需熟练掌握割补法求面积的思路以及平方差公式的灵活运用。
【难度系数】
0.8
计算剩余部分的面积可采用“大减小”的割补思路：剩余面积等于大正方形的面积减去4个挖去的小正方形的面积之和。首先根据该思路写出面积的代数式，观察代数式特征可发现其符合平方差公式的形式，利用平方差公式因式分解能简化后续代入计算的步骤，最后将a、b的数值代入计算即可得到结果。
【解析】
剩余部分的面积为大正方形面积减去4个小正方形的面积，据此列表达式：
$S = a^2 - 4b^2$
利用平方差公式因式分解得：
$S=(a+2b)(a-2b)$
将$a=18\ \mathrm{dm}$，$b=6\ \mathrm{dm}$代入上式：
$\begin{aligned}S&=(18 + 2×6)×(18 - 2×6)\\&=(18+12)×(18-12)\\&=30×6\\&=180\ (\mathrm{dm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{180\ \mathrm{dm}^2}$
【知识点】
正方形面积计算，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算方法，结合因式分解可有效简化计算过程，降低计算出错率，需熟练掌握割补法求面积的思路以及平方差公式的灵活运用。
【难度系数】
0.8
